![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170718083928677-1013938730.png\")
\n\n我们可以看到在$\\Delta ADH$内部的点，由线性规划知识可知并不满足条件$1\\leqslant a-b\\leqslant 2$，$2\\leqslant a+b\\leqslant 4$，\n\n因此得到单个的$a、b$的取值范围是$\\cfrac{3}{2}\\leqslant a \\leqslant 3$和$0\\leqslant b \\leqslant \\cfrac{3}{2}$是错的，显然扩大了单个$a、b$的取值范围。\n\n正解分析：由线性规划可知，\n\n当直线$l_0：4x-2y=0$经过点$A(\\cfrac{3}{2}，\\cfrac{1}{2})$时，\n\n$z=4x-2y$有最小值，且$z_{min}=4\\times\\cfrac{3}{2}-2\\times\\cfrac{1}{2}=5$；\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170718083940396-163818500.png\")
\n\n当直线$l_0：4x-2y=0$经过点$C(3，1)$时，\n\n$z=4x-2y$有最大值，且$z_{max}=4\\times3-2\\times1=10$；\n\n>* 已知二元函数的积商的范围，求其积商的范围；\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170719094531458-68993996.png\")
\n\n法2： 分析，变形使用不等式的性质，得到$\\begin{cases} \\Delta \\ge 0 \\\\ x_1+x_2>2 \\\\ (x_1-1)\\cdot (x_2-1)>0 \\end{cases}$\n\n法3： 分析，有对应的函数图像转化得到不等式组，$\\begin{cases} \\Delta \\ge 0 \\\\ -\\cfrac{m-1}{2}>1 \\\\ f(1)>0 \\end{cases}$\n",
"BlogId": 294450,
"Description": "收集整理不等式性质使用中的易错题目，分析出错原因，提出避免错误的方法。",
"DateUpdated": "2024-06-25T10:09:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2016-08-10T10:11:19.873",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 求二元函数的和差的取值范围或者积商的取值范围。 不等式性质 注意：求解\\(x-y\\)类的范围，其实是用\\(x\\)加上\\(-y\\)的范围得到的； 比如，已知\\(-1\\leqslant x\\leqslant 4\\)，\\(2\\leqslant y\\leqslant 3\\)，则\\(x-y\\)的取值范围",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 5815912,
"Title": "不等式证明中的断想",
"DateAdded": "2018-08-28T17:33:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "# 不等式证明中的断想\r\n\r\n例1：有一道题目，$a，b>0$，让判断下列不等式是不是恒成立，其中有一个不等式是$a^3+b^3 \\ge 2ab^2$\r\n\r\n【分析】$a^3+b^3 \\ge 2ab^2\\Longleftrightarrow a^3-ab^2+b^3-ab^2\\ge 0\\Longleftrightarrow(a-b)(a^2+ab-b^2)\\ge 0$\r\n\r\n当$a>b>0$时，$a^2-b^2+ab>0$显然成立，\r\n\r\n当$0![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201608/992978-20160829102731496-2021788851.png\")
\r\n\r\n从图像可以看出，代数式$x^2+x-1$的可正、可负、可零；\r\n\r\n故$(a^2+ab-b^2)$可正、可负、可零；原不等式不是恒成立。\r\n\r\n【引申】判断不等式$a^3+b^3\\ge ab^2+a^2b$是不是恒成立。\r\n\r\n$a^3+b^3\\ge ab^2+a^2b\\Longleftrightarrow (a-b)(a^2-b^2)\\ge 0$\r\n\r\n当$a，b>0$时，恒成立；\r\n\r\n当$a，b\\in R$时，不恒成立；\r\n\r\n例2：当$a>b>0$时，$a^3+b^3>2a^2b$恒成立，是假命题。\r\n\r\n【法1】：赋值法，令$a=3$，$b=2$；\r\n\r\n则$a^3+b^3=27+8=35$，$2a^2b=36$，故不成立；\r\n\r\n【法2】：作差法，\r\n\r\n$a^3+b^3-2a^2b=(a^3-a^2b)+(b^3-a^2b)$\r\n\r\n$=a^2(a-b)-b(a^2-b^2)=(a-b)(a^2-ab-b^2)$\r\n\r\n$=(a-b)\\cdot b^2\\cdot [\\cfrac{a^2}{b^2}-\\cfrac{ab}{b^2}-\\cfrac{b^2}{b^2}]$\r\n\r\n$=(a-b)\\cdot b^2\\cdot [(\\cfrac{a}{b})^2-\\cfrac{a}{b}-1]$\r\n\r\n令$\\cfrac{a}{b}=t>1$，令$g(t)=t^2-t-1=(t-\\cfrac{1}{2})^2-\\cfrac{5}{4}(t>1)$\r\n\r\n令$g(t)=0$，解得$t=\\cfrac{1\\pm\\sqrt{5}}{2}$，开口向上，\r\n\r\n即当$t\\in (1，\\cfrac{1+\\sqrt{5}}{2})$时，$g(t)<0$，\r\n\r\n当$t=\\cfrac{1+\\sqrt{5}}{2}$时，$g(t)=0$，\r\n\r\n当$t>\\cfrac{1+\\sqrt{5}}{2}$时，$g(t)>0$，\r\n\r\n即当$t>1$时，$g(t)$的值可负，可零，可正，\r\n\r\n故$a^2-ab-b^2>0$不能恒成立，故当$a>b>0$时，$a^3+b^3>2a^2b$不恒成立。\r\n\r\n【法3】均值不等式，？\r\n\r\n【法4】导数法，？",
"BlogId": 294450,
"Description": "不等式证明中的断想",
"DateUpdated": "2022-05-12T14:29:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2016-08-28T20:39:07.527",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "不等式证明中的断想 例1：有一道题目，\\(a，b>0\\)，让判断下列不等式是不是恒成立，其中有一个不等式是$a3+b3 \\ge 2ab^2$ 【分析】\\(a^3+b^3 \\ge 2ab^2\\Longleftrightarrow a^3-ab^2+b^3-ab^2\\ge 0\\Longleftright",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 5867164,
"Title": "放缩法",
"DateAdded": "2019-01-07T22:49:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 放缩法\n\n总结使用放缩法的常见公式和放缩方式。\n\n## 常见公式\n\n①删减项放缩：$2-a<2(a>0)$或$2+a>2(a>0)$，常常针对最终结果删减项放缩。\n\n②指数式放缩：$\\cfrac{1}{2^n-1}\\leq \\cfrac{1}{2^{n-1}}$；常常针对每一项先放缩，这样就和等比数列求和相关，\n\n③平方式放缩：由于$n(n-1)$A.$增加$\\cfrac{1}{2(k+1)}$项
$B.$增加$\\cfrac{1}{2k+1}$和$\\cfrac{1}{2k+2}$两项
$C.$增加$\\cfrac{1}{2k+1}$和$\\cfrac{1}{2k+2}$两项同时减少$\\cfrac{1}{k+1}$项
$D.$以上都不对
$A.$当$n=6$时，该命题不成立
$B.$当$n=6$时，该命题成立
$C.$当$n=4$时，该命题不成立
$D.$当$n=5$时，该命题成立
$A.向左平移\\cfrac{\\pi}{12}个单位$ $ B.向左平移\\cfrac{\\pi}{6}个单位$ $C.向右平移\\cfrac{\\pi}{12}个单位$ $D.向右平移\\cfrac{\\pi}{6}个单位$
\n\n分析：由于左右平移的实质是用$x+\\phi$替换$x$，故将函数$y=cos2x$替换后得到$y=cos(2x+2\\phi)$，\n\n由于$y=cos(2x+2\\phi)$和$y=cos(2x-\\cfrac{\\pi}{6})$完全相同，故$2\\phi=-\\cfrac{\\pi}{6}$，解得$\\phi=-\\cfrac{\\pi}{12}$，\n\n即其实我们是用$x-\\cfrac{\\pi}{12}$替换$x$，故向右平移$\\cfrac{\\pi}{12}$个单位，故选$C$.\n\n$A.向左平移\\cfrac{\\pi}{12}个单位$ $ B.向右平移\\cfrac{\\pi}{12}个单位$ $C.向左平移\\cfrac{\\pi}{4}个单位$ $D.向左平移\\cfrac{\\pi}{4}个单位$
\n\n分析：本题目要求将源函数$y=cos(2x-\\cfrac{\\pi}{3})$，变换得到目标函数$y=sin(2x+\\cfrac{\\pi}{3})$，为此，我们需要先将二者的函数名称做统一；\n\n法1：源函数$y=cos(2x-\\cfrac{\\pi}{3})=sin(\\cfrac{\\pi}{2}-2x+\\cfrac{\\pi}{3})=sin(-2x+\\cfrac{5\\pi}{6})$，这种变换要得到目标函数$y=sin(2x+\\cfrac{\\pi}{3})$，不仅仅是左右平移；故需要调整使用的公式；\n\n源函数$y=cos(2x-\\cfrac{\\pi}{3})=sin(\\cfrac{\\pi}{2}+2x-\\cfrac{\\pi}{3})=sin(2x+\\cfrac{\\pi}{6})$，用替换法，由$2(x+\\phi)+\\cfrac{\\pi}{6}=2x+\\cfrac{\\pi}{3}$，得到$\\phi=\\cfrac{\\pi}{12}$，即使用$x+\\cfrac{\\pi}{12}$替换单独的自变量$x$后得到目标函数，故需要$向左平移\\cfrac{\\pi}{12}$，则选$A$；\n\n法2：将目标函数$y=sin(2x+\\cfrac{\\pi}{3})$变换为余弦函数，略；\n\n$A.x=-1$ $B.x=0$ $C.x=\\cfrac{1}{2}$ $D.x=-\\cfrac{1}{2}$
\n\n分析：函数$y=f(2x-1)$图像到函数$y=f(2x+1)$的图像的变换只涉及左右平移变换，\n\n而左右平移变换的本质即用$x+\\phi$替换单独的自变量$x$整理得到的，\n\n故用$x+\\phi$替换$y=f(2x-1)$中的单独的自变量$x$，整理得到$f[2(x+\\phi)-1]=f(2x+1)$，\n\n由$2(x+\\phi)-1=2x+1$解得$\\phi=1$，即上述替换是用$x+1$替换$x$得到的，\n\n故由左加右减的口诀得到，应该将函数$y=f(2x-1)$向左平移$1$个单位，得到函数$y=f(2x+1)$，\n\n而$y=f(2x-1)$的对称轴是$x=0$[$y$轴]，故函数$y=f(2x+1)$的对称轴为$x=-1$。故选$A$。",
"BlogId": 294450,
"Description": "函数图像变换中的规律总结",
"DateUpdated": "2024-10-20T13:47:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2016-09-14T15:50:42.8",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 在高中的教学中，经常会用到函数图像。而作函数图像的角度有三个：描点法[1]；变换法；同解变形法利用方程的同解变形法，如\\(y\\)\\(=\\)\\(\\sqrt{1-x^2}\\)，主要涉及隐函数的图像的做法。\\(\\quad\\)；其中使用最多的是变换法作图的方法和思路。函数图像的变化是一个很重要的内容。",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 5891493,
"Title": "圆和椭圆的参数方程",
"DateAdded": "2016-09-21T09:42:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。根据曲线的特点，选取适当曲线方程的表示形式，体现了解决问题中数学方法的灵活性。\n\n\n## 参数方程由来\n\n* 圆的参数方程[特殊情形，圆心$(0,0)$，半径$R$]\n\n$$\\begin{cases} x=Rcos\\alpha \\\\ y=Rsin\\alpha\\end{cases}(\\alpha为参数，0\\leq \\alpha<2\\pi)$$\n\n其参数$\\alpha$的几何意义是圆上动点和圆心连线的旋转角，如下图所示；\n\n\n\n* 圆的参数方程[一般情形，圆心$(m,n)$，半径$R$]\n\n$$\\begin{cases} x=m+Rcos\\alpha \\\\ y=n+Rsin\\alpha\\end{cases}(\\alpha为参数，0\\leq \\alpha<2\\pi)$$\n\n \n\n注意：本来以为，其参数$\\alpha$的几何意义仿上例很容易理解；但是在实际教学中，学生极容易将其弄错，容易和极坐标的坐标$(\\rho,\\theta)$中的$\\theta$混淆，故作上图的课件，帮助大家理解和掌握；\n\n如上图所示，参数$\\alpha=\\angle ACP$；范围$\\alpha\\in [0,2\\pi]$\n\n* 椭圆的参数方程\n\n$$\\begin{cases} x=a\\cos\\phi \\\\ y=b\\sin\\phi \\end{cases} (\\phi为参数，0\\leq \\phi<2\\pi)$$\n\n其参数$\\phi$的几何意义是对应的大圆或小圆半径的旋转角$\\angle AOM$，也就是椭圆的离心角．不是椭圆上动点和中心连线的旋转角$\\angle AOP$；切记！\n\n\n\n虽然$\\angle AOM$和$\\angle AOP$二者不相等，但是很显然这二者也是一一对应的，并且它们的范围都是$[0，2\\pi)$.\n\n$A.a^2+b^2\\leq 1$ $B.a^2+b^2\\ge 1$ $C.\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\leq 1$ $D.\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\ge 1$
\n\n法1：三角函数的有界性，由于点$P(cos\\theta，sin\\theta)$在直线$\\cfrac{x}{a}+\\cfrac{y}{b}=1$上，则有$bcos\\theta+asin\\theta=ab$，\n\n即$\\sqrt{a^2+b^2}sin(\\theta+\\phi)=ab，tan\\phi=\\cfrac{b}{a}$，\n\n由三角函数的有界性可知$|sin(\\theta+\\phi)|=|\\cfrac{ab}{\\sqrt{a^2+b^2}}|\\leq 1$，\n\n即$\\cfrac{\\sqrt{a^2+b^2}}{|ab|}\\ge 1$，即$\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\ge 1$，故选$D$.\n\n法2：数形结合，由已知可知点$P$在单位圆上，自己做出大致图像可知，直线和圆的位置关系只能是相切和相交，\n\n故圆心$(0，0)$到直线$bx+ay-ab=0$的距离应该小于等于半径$1$，即$\\cfrac{|b\\cdot 0+a\\cdot 0-ab|}{\\sqrt{a^2+b^2}}\\leq 1$，\n\n化简得$\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\ge 1$，故选$D$.\n\n$A.3-\\cfrac{\\pi}{2}$ $B.\\pi-3$ $C.\\cfrac{3\\pi}{2}-3$ $D.3$
\n\n分析：由圆的参数方程可知，钝角$\\alpha$终边上一点$P$的坐标为$(2cos\\alpha,2sin\\alpha)$，\n\n则必然有$2cos\\alpha=2sin(-3)$且$2sin\\alpha=-2cos3$，\n\n由于选项$A$，$B$不是钝角，排除；此时将剩余选项代入验证，很快就可以知道选$C$。\n\n![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201803/992978-20180320150101007-2104539364.png\")
\n \n如右图所示，初步分析，当点$P$在$x$轴上方时，点$Q$必在$x$轴下方；\n\n当然还会有另一种情形，当点$P$在$x$轴下方时，点$Q$必在$x$轴上方；\n\n我们取其中一种做研究，比如点$P$在$x$轴上方，点$Q$在$x$轴下方；注意此时点$Q$的极角是负值$-\\theta$，\n\n由于$\\rho_1>0$，$\\rho_2>0$，以及$\\angle POQ=\\cfrac{\\pi}{2}$可得，\n\n$\\alpha-\\theta=\\cfrac{\\pi}{2}$，即$\\alpha=\\theta+\\cfrac{\\pi}{2}$，(顺时针为正，逆时针为负)\n\n则有$S_{\\Delta OPQ}=\\cfrac{1}{2}|OP||OQ|$\n\n$=\\cfrac{1}{2}\\rho_1\\rho_2=\\cfrac{1}{2}\\times 4cos\\alpha\\times 2cos\\theta$\n\n$=4cos(\\theta+\\cfrac{\\pi}{2})cos\\theta=-4sin\\theta cos\\theta$\n\n$=-2sin2\\theta$，\n\n当$2\\theta=-\\cfrac{\\pi}{2}$，即$\\theta=-\\cfrac{\\pi}{4}$时，$(S_{\\Delta OPQ})_{max}=2$。\n\n【法2】参数方程法，\n\n如图所示，曲线$C_1$的参数方程是$\\begin{cases}x=2+2cos\\alpha\\\\y=2sin\\alpha\\end{cases}(\\alpha为参数，\\alpha\\in (-\\pi，\\pi))$，\n\n![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201803/992978-20180320151044294-1482290351.png\")
\n\n曲线$C_2$的参数方程是$\\begin{cases}x=1+cos\\theta\\\\y=sin\\theta\\end{cases}(\\theta为参数，\\theta\\in (-\\pi，\\pi))$，\n\n注意参数的含义，$\\cfrac{\\alpha}{2}-\\cfrac{\\theta}{2}=\\cfrac{\\pi}{2}$，即$\\alpha=\\pi+\\theta$\n\n则有$S_{\\Delta OPQ}=\\cfrac{1}{2}|OP||OQ|$\n\n$=\\cfrac{1}{2}\\sqrt{(2+2cos\\alpha)^2+(2sin\\alpha)^2}\\sqrt{(1+cos\\theta)^2+sin^2\\theta}$\n\n$=\\cfrac{1}{2}\\sqrt{8(1+cos\\alpha)}\\sqrt{2(1+cos\\theta)}$\n\n$=\\cfrac{1}{2}\\sqrt{8(1-cos\\theta)}\\sqrt{2(1+cos\\theta)}$\n\n$=\\cfrac{1}{2}\\times 4\\sqrt{(1-cos\\theta)(1+cos\\theta)}$\n\n$=2\\sqrt{1-cos^2\\theta}=2|sin\\theta|$\n\n当$\\theta=-\\cfrac{\\pi}{2}$时，$(S_{\\Delta OPQ})_{max}=2$。\n\n【变形方法3】参数方程法，曲线$C_1$的参数方程是$\\begin{cases}x=2+2cos\\alpha\\\\y=2sin\\alpha\\end{cases}(\\alpha为参数，\\alpha\\in (-\\pi，\\pi))$，\n\n曲线$C_2$的参数方程是$\\begin{cases}x=1+cos\\theta\\\\y=2sin\\theta\\end{cases}(\\theta为参数，\\theta\\in (-\\pi，\\pi))$，\n\n注意参数的含义，$\\cfrac{\\alpha}{2}-\\cfrac{\\theta}{2}=\\cfrac{\\pi}{2}$，即$\\alpha=\\pi+\\theta$\n\n由$\\angle POQ=\\cfrac{\\pi}{2}$可知，$k_{OP}k_{OQ}=-1$，\n\n即$\\cfrac{2sin\\alpha}{2+2cos\\alpha}\\times \\cfrac{sin\\theta}{1+cos\\theta}=-1$，即$-sin\\alpha sin\\theta=(1+cos\\alpha)(1+cos\\theta)$\n\n$S_{\\Delta OPQ}=\\cfrac{1}{2}|OP||OQ|$\n\n$=\\cfrac{1}{2}\\sqrt{(2+2cos\\alpha)^2+(2sin\\alpha)^2}\\sqrt{(1+cos\\theta)^2+sin^2\\theta}$\n\n$=\\cfrac{1}{2}\\sqrt{8(1+cos\\alpha)}\\sqrt{2(1+cos\\theta)}$\n\n$=2\\sqrt{(1+cos\\alpha)(1+cos\\theta)}$\n\n$=2\\sqrt{-sin\\alpha sin\\theta}$，\n\n又有$\\cfrac{\\alpha}{2}-\\cfrac{\\theta}{2}=\\cfrac{\\pi}{2}$，即$\\alpha=\\pi+\\theta$\n\n$原式=2\\sqrt{sin^2\\theta}=2|sin\\theta|$，\n\n当$\\theta=-\\cfrac{\\pi}{2}$时，$(S_{\\Delta OPQ})_{max}=2$。\n\n【法4】尝试使用均值不等式，待有空思考整理。\n\n设直线$OP$的方程为$y=kx$，由$\\angle POQ=\\cfrac{\\pi}{2}$可得，\n\n直线$OQ$的方程为$y=-\\cfrac{1}{k}x$，\n\n联立$\\begin{cases}(x-2)^2+y^2=4\\\\y=kx\\end{cases}$，解得$P(\\cfrac{4}{1+k^2}，\\cfrac{4k}{1+k^2})$，\n\n联立$\\begin{cases}(x-1)^2+y^2=1\\\\y=-\\cfrac{1}{k}x\\end{cases}$，解得$Q(\\cfrac{2k^2}{1+k^2}，\\cfrac{-2k}{1+k^2})$，\n\n$S_{\\Delta POQ}=\\cfrac{1}{2}|OP||OQ|=\\cfrac{1}{2}\\sqrt{(\\cfrac{4}{1+k^2})^2+(\\cfrac{4k}{1+k^2})^2}\\sqrt{(\\cfrac{2k^2}{1+k^2})^2+(\\cfrac{-2k}{1+k^2})^2}$\n\n$=\\cfrac{1}{2}\\sqrt{\\cfrac{16}{1+k^2}}\\sqrt{\\cfrac{4k^2}{1+k^2}}=\\cfrac{4|k|}{1+k^2}=\\cfrac{4}{|k|+\\frac{1}{|k|}}\\leq 2$。\n\n当且仅当$|k|=1$时取到等号。故$(S_{\\Delta POQ})_{max}=2$。\n\n反思：这个解法的优越性体现在只有一个变量$k$，那么求最值时就好操作些，但是其运算量和运算容量都挺大的。\n\n解后反思：\n\n1、在高中数学中，求某个量(比如面积)的最值时，往往需要先表达出这个量(比如面积)的函数，这样求实际问题的最值就变成了求这个函数模型的最值问题了，这一过程实际就是函数的建模。\n\n1、法1利用极坐标法，这样表达刻画面积时，就只有两个变量$\\alpha$和$\\theta$，然后利用两个变量的相互关系，再将变量集中为一个变量，就好求解其最大值了。\n\n2、法2利用参数方程法，在表达刻画面积时，同样只有两个变量$\\alpha$和$\\theta$，然后利用两个变量的相互关系，再将变量集中为一个变量，就好求解其最大值了。法2和法3本质接近。\n\n3、正确求解本题目，需要深刻理解极坐标方程的含义和参数方程的含义，尤其是法2对参数的含义更不能弄错了。用到了内外角关系和圆心角和圆周角关系。\n\n4、还有学生想到设$P(x_1，y_1)$，$ Q(x_2，y_2)$，这样的思路我没有做尝试，不过能看出来此时是四个变量，这样就难得多了，所以碰到这样的题目我们先需要初步筛选思路。\n\n\n![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171123194510140-1586816478.png\")
\n\n2、若$\\Delta>0$，令$y=F'(x)$的两个零点分别$m、n$，则$F(x)$在区间$(-\\infty，m]$单增，在区间$[m,n]$单减，在区间$[n,+\\infty)$单增，此时函数$F(x)$有极大值$F(m)$，有极小值$F(n)$，\n\n我们结合导函数图像，可以作出原函数的草图，由图象可以判断得到以下结论：\n\n* 若$F(m)>0$，$F(n)>0$，则 $F(x)$有一个零点，有两个极值点；\n\n* 若$F(m)=0$，$F(n)<0$，则 $F(x)$有两个零点，有两个极值点；\n\n* 若$F(m)<0$，$F(n)<0$，则 $F(x)$有一个零点，有两个极值点；\n\n* 若$F(m)>0$，$F(n)<0$，则 $F(x)$有三个零点，有两个极值点；\n\n* 若$F(m)>0$，$F(n)=0$，则 $F(x)$有两个零点，有两个极值点。\n\n对于三次多项式函数而言，当三次项系数 $a>0$ 时，单调性依次为增、减、增；当三次项系数 $a<0$ 时，单调性依次为减、增、减；\n\n## 思维导图\n\n\n\n\ngraph LR \nB[(用导数工具
研究函数
性质)]\nB-->A[其他类型
的函数]\nB---> C[(三次函数
的考查)]\nC--> D[三次函数
有极大值和极小值]\nD--> D1[二次的导函数有两个变号零点,
对应的二次方程有两个不同的
实根,即其判别式大于零]\nC--> E[三次函数
与x轴有三个不同的交点]\nE--> D2[函数的极大值与极小值异号]\nC--> F[三次函数
恰有三个单调区间]\nF--> D1\nC--> M[三次函数与x轴
恰有一个交点]\nM--> L[函数是单调函数
或函数的极大值
和极小值同号]\nC--> G[三次函数
没有极值或极值点]\nG--> G1[三次函数
是单调函数]\nC--> H[三次函数
是单调函数]\nH--> H1[二次导函数
恒为非正或
恒为非负,
即其判别式
小于等于零]\nG1--> H1\nC--> I[三次函数
不是单调函数,
必有三个单调区间]\nI--> I1[二次导函数
有变号零点,
或二次导函数
方程有穿根解]\nI--> I2[可先求函数单
调时的取值范围,
再求其补集即可]\n
\n\n## 典例剖析\n\n研究函数
性质)]\nB-->A[其他类型
的函数]\nB---> C[(三次函数
的考查)]\nC--> D[三次函数
有极大值和极小值]\nD--> D1[二次的导函数有两个变号零点,
对应的二次方程有两个不同的
实根,即其判别式大于零]\nC--> E[三次函数
与x轴有三个不同的交点]\nE--> D2[函数的极大值与极小值异号]\nC--> F[三次函数
恰有三个单调区间]\nF--> D1\nC--> M[三次函数与x轴
恰有一个交点]\nM--> L[函数是单调函数
或函数的极大值
和极小值同号]\nC--> G[三次函数
没有极值或极值点]\nG--> G1[三次函数
是单调函数]\nC--> H[三次函数
是单调函数]\nH--> H1[二次导函数
恒为非正或
恒为非负,
即其判别式
小于等于零]\nG1--> H1\nC--> I[三次函数
不是单调函数,
必有三个单调区间]\nI--> I1[二次导函数
有变号零点,
或二次导函数
方程有穿根解]\nI--> I2[可先求函数单
调时的取值范围,
再求其补集即可]\n
$A.(2，+\\infty)$ $B.(1，+\\infty)$ $C.(-\\infty，-2)$ $D.(-\\infty，-1)$
\n\n【法1】：由于函数$f(x)$存在唯一零点 $x_0$，且$x_0>0$，\n\n则方程$f(x)=0$有唯一的正实数解，即$ax^3-3x^2+1=0$有唯一的正实数解，\n\n即方程$a=\\cfrac{3x^2-1}{x^3}$有唯一的正实数解，\n\n即函数$y=a$和函数$y=h(x)=\\cfrac{3x^2-1}{x^3}=\\cfrac{3}{x}-\\cfrac{1}{x^3}(x>0)$有唯一的交点，\n\n其余思路待补充。\n\n【法2】：先将题目转化为，方程$ax^3=3x^2-1$有唯一的正实数解，\n\n则静态函数$y=3x^2-1$和动态函数$y=ax^3$只能在区间$(0 ，+\\infty)$上有交点，\n\n \n\n此处需要我们知道函数$y=ax^3$的参变数$a$的作用，\n\n由图像可知，当$a\\leq 0$时，都不满足题意，故需要$a<0$，\n\n但当$a$取很小的负值时，显然满足题意，当$a$为某一个恰当的负值时，两个曲线在$x<0$时可能相切，\n\n当然，此处你可能还会认为是有相切，还有相交，这不要紧，我们通过下述的计算就能回答这个疑惑。\n\n设切点坐标为$P(x_0，y_0)$，则有$x_0<0$，则有\n\n$$\\left\\{\\begin{array}{l}{3ax_0^2=6x_0}\\\\{y_0=ax_0^3}\\\\{y_0=3x_0^2-1}\\end{array}\\right.$$\n\n解得$x_0=-1$，$y_0=2$，将切点$P(-1，2)$代入$y=ax^3$，解得$a=-2$，\n\n故当$a<-2$时，两条曲线在$x<0$上没有交点，只在$x>0$上有交点，故满足题意，\n\n即$a$的取值范围时$(-\\infty，-2)$，故选$C$。\n\n【法3】：利用导数方法，同时注意题目的隐含条件，$f(0)=1$，$f'(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2)$，\n\n①当$a=0$时，原函数为$y=-3x^2+1$，有两个零点，不符合题意，舍去。\n\n②当$a>0$时，由导函数的图像可知，函数$f(x)$在区间$(-\\infty，0)$上单调递增，在区间$(0，\\cfrac{2}{a})$上单调递减，在区间$(\\cfrac{2}{a}，+\\infty)$上单调递增，\n\n此时函数在区间$(-\\infty，0)$上必有一个零点，不符合题意，舍去。\n\n③当$a<0$时，由导函数的图像可知，函数$f(x)$在区间$(-\\infty，\\cfrac{2}{a})$上单调递减，在区间$(\\cfrac{2}{a}，0)$上单调递增，在区间$(0，+\\infty)$上单调递减，\n\n此时只需要函数$f(x)$的极小值大于零即可，即$f(\\cfrac{2}{a})>0$，\n\n即$a\\cdot (\\cfrac{2}{a})^3-3\\cdot (\\cfrac{2}{a})^2+1>0$，化简得到$a^2>4$，\n\n解得$a<-2$或$a>2$，又$a<0$，故$a<-2$。\n\n即$a$的取值范围时$(-\\infty，-2)$，故选$C$。\n\n$A.(-3，+\\infty)$ $B.[-2，+\\infty)$ $C.(-1，-2)$ $D.[0，2]$
\n\n法1： 由于 $f'(x)=3x^2+2ax$ ，令 $f'(x)=0$，解得 $x_1=0$，$x_2=-\\cfrac{2a}{3}$，\n\n①当 $a\\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\\infty,-\\cfrac{2a}{3})$，$(0,+\\infty)$ 上单调递增，在 $(-\\cfrac{2a}{3},0)$上单调递减，又 $f(0)=4>0$，故函数 $f(x)$ 在 $(-\\infty,-\\cfrac{2a}{3})$上必有唯一零点；\n\n②当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\\infty,0)$，$(-\\cfrac{2a}{3},+\\infty)$ 上单调递增，在 $(0,-\\cfrac{2a}{3})$上单调递减，故只需要满足 $f(-\\cfrac{2a}{3})>0$即可，解得$a>-3$，故此时 $-3$A.-1< a <2$ $B.-3< a <2$ $C.a<-1或a>2$ $D.a<-3或a>6$
\n\n分析：由题可知，$f'(x)=3x^2+2ax+(a+6)$，\n\n因为函数有极大值和极小值，所以方程 $f'(x)=0$ 有两个不相等的实数根,\n\n即 $3x^2+2ax+(a+6)=0$ 有两个不相等的实数根， 即$\\Delta>0$，则$(2a)^2-4\\times 3\\times(a+6)>0$，\n\n解得: $a<-3$或$a>6$，故选 $D$。\n\n[解后反思] 本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程 $f^{\\prime}(x)=0$ 有两个不相等的实数根是解题的关键。\n\n$A.\\cfrac{1}{19}$ $B.\\cfrac{17}{38}$ $C.\\cfrac{4}{19}$ $D.\\cfrac{2}{17}$
\n\n错解：由于数据一致，所以我们很容易将本题目的求解模型转化为上述的 ③ 来求解，从而选了 $C$，其实是有问题的。\n\n分析：条件概率，设事件 $A$ 表示“抽到的两张都是假钞”，事件 $B$ 表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求概率为 $P(A|B)$，\n\n又$P(AB)=P(A)=\\cfrac{C_5^2}{C_{20}^2}$，$P(B)=\\cfrac{C_{5}^2+C_{5}^1\\cdot C_{15}^1}{C_{20}^2}$，\n\n由公式$P(A|B)=\\cfrac{P(AB)}{P(B)}=\\cfrac{C_5^2}{C_{5}^2+C_{5}^1\\cdot C_{15}^1}=\\cfrac{10}{10+75}=\\cfrac{2}{17}$。\n\nDeepSeek 给出的关于本题目的解答
\n\n**答案** \n\n选项 **C. $\\cfrac{4}{19}$** 正确，原分析错误。\n\n**解析**： \n\n题目要求计算“在抽到的两张中，已知其中一张检验为假钞”的条件下，另一张也是假钞的概率。关键点在于条件事件的定义：\n \n1. **事件的实际条件**是“至少有一张假钞且被检验到”，而非简单的“至少有一张假钞”。需考虑检验过程的影响： \n \n - 若抽到两张假钞（概率 $P(A)$$=$$\\cfrac{C_5^2}{C_{20}^2}$$=$$\\cfrac{10}{190}$$=$$\\cfrac{1}{19}$），必然检验到假钞； \n\n - 若抽到一假一真（概率 $P(B)$$=$$\\cfrac{C_5^1 C_{15}^1}{C_{20}^2}$$=$$\\cfrac{75}{190}$$=$$\\cfrac{15}{38}$），检验到假钞的概率为 $\\cfrac{1}{2}$。 \n\n2. **条件概率计算**： \n\n - 分子：两张均为假钞且检验到假钞的概率为 $P(A)$$\\times$$1$$=$$\\cfrac{1}{19}$。 \n \n - 分母：所有检验到假钞的概率为 $P(A)$$\\times$$1$$+$$P(B)$$\\times$$\\cfrac{1}{2}$$=$$\\cfrac{1}{19}$$+$$\\cfrac{15}{38}$$\\times$$\\cfrac{1}{2}$$=$$\\cfrac{1}{19}$$+$$\\cfrac{15}{76}$$=$$\\cfrac{19}{76}$$=$$\\cfrac{1}{4}$。\n \n - 最终条件概率为 $\\cfrac{\\frac{1}{19}}{\\frac{1}{4}}$$=$$\\cfrac{4}{19}$。 \n\n原分析错误地将条件简化为“至少有一张假钞”，忽略了检验过程的随机性，导致错误结果 $\\cfrac{2}{17}$。正确答案为 **C**。\n\n
![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201705/992978-20170529202237336-979149007.png\")
\n\n如$x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)$\n\n$=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)$\n\n$=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)$\n\n$=(x_0+1)(x_0-2)^2=0$；\n\n多项式除法：如图所示，\n\n即$(x_0+1)(x_0-2)^2=0$，解得$x_0=-1$，或$x_0=2$\n\n当$x_0=-1$时，切点为$(-1，1)$，$k_1=1$，切线方程为$x-y+2=0$；\n\n当$x_0=2$时，切点为$(2，4)$，$k_2=4$，切线方程为$4x-y-4=0$；\n\n总结：设切点，求切点；\n\n## 双切线问题\n\n$A.\\cfrac{1}{2e^2}$ $B.\\cfrac{1}{2}e^2$ $C.\\cfrac{1}{e}$ $D.-\\cfrac{3}{2e^2}$
\n\n分析：本题目属于公切线问题，设切点为$P(x_0，y_0)$，则满足以下方程组\n\n$\\begin{cases}f'(x_0)=g'(x_0)①\\\\y_0=f(x_0)=\\cfrac{3}{2}x_0^2-2ax_0②\\\\y_0=g(x_0)=a^2lnx_0+b③\\end{cases}$\n\n由①得到$x_0=a$或$x_0=-\\cfrac{a}{3}(a>0，不符合舍去)$\n\n由②③得到，$\\cfrac{3}{2}x_0^2-2ax_0=a^2lnx_0+b$，将$x_0=a$代入，\n\n分离参数$b$得到，$b=-\\cfrac{1}{2}a^2-a^2lna$。\n\n设$h(a)=-\\cfrac{1}{2}a^2-a^2lna(a>0)$，则$b_{max}=h(a)_{max}$；\n\n接下来，用导数研究$h(a)$的单调性。\n\n$h'(a)=-2a(1+lna)$，借助$y=1+lna$的大致图像可知，\n\n$h(a)$在区间$(0，\\cfrac{1}{e})$单调递增，在区间$(\\cfrac{1}{e}，+\\infty)$上单调递减，\n\n则$h(a)_{max}=h(\\cfrac{1}{e})=\\cfrac{1}{2e^2}$\n\n即$b_{max}=\\cfrac{1}{2e^2}$，选A。\n\n$A.0< x_0 <\\cfrac{1}{2}$ $B.\\cfrac{1}{2}< x_0 <1$ $C.\\cfrac{\\sqrt{2}}{2}< x_0 <\\sqrt{2}$ $D.\\sqrt{2}< x_0 <\\sqrt{3}$
\n\n分析：由切线$l$与函数$y=x^2$相切与点$(x_0，x_0^2)$，则得到切线的点斜式方程为：$y-x_0^2=2x_0(x-x_0)$\n\n由切线$l$与函数$y=lnx$相切与点$(x_1，lnx_1)$，则得到切线的点斜式方程为：$y-lnx_1=\\cfrac{1}{x_1}(x-x_1)$且$x_1\\in(0，1)$\n\n又两条切线是同一条直线，得到\n\n$\\begin{cases} 2x_0=\\cfrac{1}{x_1} \\hspace{0.5cm} x_1\\in(0，1) \\hspace{1cm}①\\\\\\ x_0^2=1-lnx_1 \\hspace{3cm}②\\end{cases}$\n\n法1：不等式性质法\n\n由于$x_1\\in(0，1)$，由①得到$x_0>\\cfrac{1}{2}$；由于$1-lnx_1>1$，由②得到$x_0>1$，综合得到$x_0>1$，故选$D$.\n\n法2：零点存在性定理\n\n由方程组消掉$x_1$得到新方程$x_0^2-ln2x_0-1=0$，令函数$f(x_0)=x_0^2-ln2x_0-1$，\n\n由零点存在性定理可得，$D$ 是正确的。当然我们还可以结合二分法，得到更小的解的区间。\n\n\n$A.sin\\theta=ecos\\theta$ $B.esin\\theta=cos\\theta$ $C.esin\\theta=1$ $D.ecos\\theta=1$
\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171107195236434-1263232145.png\")
\n\n分析：先仿上例3先求得过坐标原点与$y=lnx$相切的直线是$y=\\cfrac{1}{e}x$，切点是$(e，1)$，\n\n设切线的倾斜角是$\\phi$，则$tan\\phi=\\cfrac{1}{e}$，若切线绕坐标原点旋转角$\\theta$后切线变成了$y$轴，\n\n由$cot\\theta=tan\\phi=\\cfrac{1}{e}$可得， $\\cfrac{cos\\theta}{sin\\theta}=\\cfrac{1}{e}$，即$sin\\theta=ecos\\theta$，故选$A$。\n\n$A.\\cfrac{27}{8}$ $B.-2$ $C.2$ $D.-\\cfrac{27}{8}$
\n\n分析：本题目如果总纠结要画出适合题意的图形，然后总结思路可能就浪费时间了。可以这样考虑，\n\n设过曲线外的一点所引的两条切线的倾斜角分别是$\\alpha$和$\\beta$，\n\n则可知其对应的斜率为$k_1=tan\\alpha$和$k_2=tan\\beta=tan(\\pi-\\alpha)=-tan\\alpha$，故有$k_1+k_2=0$。\n\n因此求解如下：\n\n设过点$A(1，0)$的切线与曲线相切于点$(x_0，y_0)$，则由$f'(x)=3x^2-a$，\n\n得到$\\begin{cases}k=f'(x_0)=3x_0^2-a\\\\y_0=x_0^3-ax_0+a\\\\y-y_0=(3x_0^2-a)(x-x_0)\\end{cases}$，\n\n又由点$A(1，0)$在切线上得到$0-(x_0^3-ax_0+a)=(3x_0^2-a)(1-x_0)$，化简整理得到$2x_0^3-3x_0^2=0$，\n\n解得$x_0=0$或者$x_0=\\cfrac{3}{2}$，\n\n当$x_0=0$时，一条切线的斜率$k_1=-a=tan\\alpha$；\n\n当$x_0=\\cfrac{3}{2}$时，另一条切线的斜率$k_2=\\cfrac{27}{4}-a=tan\\beta$，\n\n由$k_1+k_2=0$，得到$\\cfrac{27}{4}-2a=0$，解得$a=\\cfrac{27}{8}$，故选$A$。\n\n$A.\\cfrac{\\sqrt{2}}{2}(1-ln2)$ $B.\\cfrac{\\sqrt{2}}{2}(1+ln2)$ $C.\\cfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cfrac{1}{2}+ln2)$ $D.\\cfrac{1}{2}(1+ln2)$
\n\n分析：当在曲线上试图寻找一点，让它到直线的距离最小，思考不便于展开时，不妨换位思考，让直线平行移动到和曲线相切得到一个切点，那么所求距离就是切点到直线的点线距，或者是两条平行线之间的线线距。\n\n解析：将函数化简整理为$y=f(x)=x^2-lnx(x>0)$，\n\n再设与已知直线平行的且与曲线相切的直线为$4x+4y+c=0$，\n\n切点为$(x_0，y_0)$，则由$f'(x)=2x-\\cfrac{1}{x}$，\n\n得到$\\begin{cases}k=f'(x_0)=2x_0-\\cfrac{1}{x_0}=-1①\\\\4x_0+4y_0+c=0②\\\\y_0=x_0^2-lnx_0③\\end{cases}$，\n\n解①得到$x_0=-1(舍去)$或$x_0=\\cfrac{1}{2}$，代入③得到$y_0=\\cfrac{1}{4}+ln2$，\n\n故切点$(\\cfrac{1}{2}，\\cfrac{1}{4}+ln2)$到已知直线$4x+4y+1=0$的距离就是所要求解的距离。\n\n故所求距离$d=\\cfrac{|4\\times \\cfrac{1}{2}+4\\times(\\cfrac{1}{4}+ln2)+1|}{\\sqrt{4^2+4^2}}=\\cfrac{\\sqrt{2}}{2}(1+ln2)$，故选$B$.\n\n$A.-1或-\\cfrac{25}{64}$ $B.-1或-\\cfrac{21}{4}$ $C.-\\cfrac{7}{4}或-\\cfrac{25}{64}$ $D.-\\cfrac{7}{4}或7$
\n\n分析：本题目属于公切线问题，可以先求得过点处的与$y=x^3$相切的直线，然后联立直线和抛物线(二次函数)，利用$\\Delta=0$来解决。\n\n设过点$(1，0)$的直线与曲线$y＝x^3$相切于点$(x_0，y_0)$，由$f'(x)=3x^2$可得，\n\n$\\begin{cases}k=f'(x_0)=3x_0^2\n\\\\y_0=x_0^3\n\\\\y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\n\\end{cases}$，又点$(1，0)$在切线上，故有$0-x_0^3=3x_0^2(1-x_0)$，解得$x_0=0$或$x_0=\\cfrac{3}{2}$；\n\n当$x_0=0$时，$y_0=0$，即切点是$(0，0)$，斜率$k=0$，故切线方程为$y=0$，\n\n与曲线$y=ax^2+\\cfrac{15}{4}x-9$相切，消$y$得到$ax^2+\\cfrac{15}{4}x-9=0$，\n\n利用$\\Delta=(\\cfrac{15}{4})^2+4\\times 9a=0$，解得$a=-\\cfrac{25}{64}$；\n\n当$x_0=\\cfrac{3}{2}$时，$y_0=\\cfrac{27}{8}$，即切点是$(\\cfrac{3}{2}，\\cfrac{27}{8})$，斜率$k=\\cfrac{27}{4}$，\n\n故切线方程为$y-\\cfrac{27}{8}=\\cfrac{27}{4}(x-\\cfrac{3}{2})$，\n\n与曲线$y=ax^2+\\cfrac{15}{4}x-9$相切，消$y$得到$ax^2-3x-\\cfrac{9}{4}=0$，\n\n利用$\\Delta=(-3)^2-4\\times a\\times(-\\cfrac{9}{4})=0$，解得$a=-1$；\n\n综上，$a=-1$或$-\\cfrac{25}{64}$，故选A。\n\n反思总结：直线与三次曲线的相切问题，我们用导数解决；\n\n直线与二次曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的相切问题，我们常用$\\Delta=0$来解决。\n\n\n$A.[-2，0]$ $B.[-2，1]$ $C.[-4，0]$ $D.[-4，1]$
\n\n法1：注意到我们可以手动做出分段函数$f(x)$的图像，以及过定点$(0，-1)$的斜率$a$变化的动直线$y=ax-1$，故从形入手分析，\n\n \n\n由图像可知，我们的重点是要求解动直线$y=ax-1$和曲线$y=x^2-2x(x\\leq 0)$相切时的切点坐标。\n\n设切点$P(x_0，y_0)$，则有$\\begin{cases}a=f'(x_0)=2x_0-2\\\\ y_0=ax_0-1 \\\\ y_0=x_0^2-2x_0 \\end{cases}$，\n\n解得$x_0=-1，y_0=3$，代入求得$a=-4$；由动图可知，另一个临界位置是$a=0$，故选$C$。\n\n[补充说明]为什么会相切于点$(-1,3)$，还可以这样解释；\n\n由$y=x^2-2x(x\\leqslant 0)$和$y=ax-1(x\\leqslant 0)$联立，得到$x^2-(a+2)x+1=0$，由于二者相切，\n\n故由$\\Delta=(a+2)^2-4\\times1=0$，得到$a=0$(舍去)或$a=-4$，将$a=-4$代入上述方程$x^2-(a+2)x+1=0$，得到$x=-1$，且$y=3$，\n\n即当直线$y=ax-1$的斜率$a=-4$时，与曲线$y=x^2-2x(x\\leqslant 0)$相切于点$(-1,3)$；\n\n法2：从数的角度入手分析，\n\n(1).当$x>0$时，要使得$|f(x)|\\geqslant ax-1$，即$|\\ln(x+1)|=\\ln(x+1)\\geqslant ax-1$，显然需要$a\\leqslant 0$；\n\n(2).当$x\\leqslant 0$时，要使得$|f(x)|\\geqslant ax-1$，即$|-x^2+2x|=x^2-2x\\geqslant ax-1$，即$ax\\leqslant x^2-2x+1$恒成立，\n\n当①$x=0$时，即$a\\in R$时满足题意；\n\n②$x<0$时，即$a\\geqslant \\cfrac{x^2-2x+1}{x}=x+\\cfrac{1}{x}-2$恒成立，又$[x+\\cfrac{1}{x}-2]_{max}=-4$，当$x=-1$时取到等号；\n\n故当$x\\leqslant 0$时，需要$a\\geqslant -4$，\n\n综上所述，得到$-4\\leqslant a\\leqslant 0$，故选$C$.\n\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171123090701899-827258025.png\")
\n\n(2)证明：曲线$y＝f(x)$上任一点处的切线与直线$x＝0$和直线$y＝x$所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．\n\n证明：设$P(x_0，y_0)$为曲线$y＝f(x)$上任一点，由$y′＝1＋\\cfrac{3}{x^2}$知，\n\n曲线在点$P(x_0，y_0)$处的切线方程为$y－y_0＝(1＋\\cfrac{3}{x_0^2})(x－x_0)$，\n\n即$y－(x_0－\\cfrac{3}{x_0})＝(1+\\cfrac{3}{x_0^2})(x－x_0)$。\n\n令$x＝0$得$y＝-\\cfrac{6}{x_0}$，从而得切线与直线$x＝0$的交点坐标为$(0，-\\cfrac{6}{x_0})$；\n\n令$y＝x$得$y＝x＝2x_0$，从而得切线与直线$y＝x$的交点坐标为$(2x_0，2x_0)$．\n\n所以点$P(x_0，y_0)$处的切线与直线$x＝0，y＝x$所围成的三角形的面积为$S_{\\Delta}=\\cfrac{1}{2}|-\\cfrac{6}{x_0}|\\cdot |2x_0|＝6$，\n\n故曲线$y＝f(x)$上任一点处的切线与直线$x＝0，y＝x$所围成的三角形的面积为定值，此定值为$6$。\n\n$A.-1$ $B.-3$ $C.-4$ $D.-2$
\n\n解析：因为$f′(x)=\\cfrac{1}{x}$，所以直线$l$的斜率为$k=f′(1)=1$，又$f(1)=0$，故由点斜式得到切线的方程为$y=x-1$。 \n\n接下来求$m$的值，可以有两个思路，\n\n其一，由$y=x-1$与$g(x)=\\cfrac{1}{2}x^2+mx+\\cfrac{7}{2}(m<0)$相切，联立得到方程组，利用$\\Delta =0$，解得$m=4(舍去)$或$m=-2$。 \n\n其二，由于$g′(x)=x+m$，设直线$l$与$g(x)$的图像的切点为$(x_0，y_0)$，\n\n则有$\\begin{cases}x_0+m=1\\\\y_0=x_0-1\\\\y_0=\\cfrac{1}{2}x_0^2+mx_0+\\cfrac{7}{2}(m<0)\\end{cases}$，联立解得$m=-2$。故选$D$.\n\n$A.[-\\sqrt{2}，1]$ $B.[-1，\\sqrt{2}]$ $C.[-1，1]$ $D.[1，\\sqrt{2}]$
\n简析：$sin(\\alpha-\\beta)=1$，又$\\alpha-\\beta\\in [-\\pi，\\pi]$，则可得到$\\alpha-\\beta=\\cfrac{\\pi}{2}$，代入$sin(2\\alpha-\\beta)+sin(\\alpha-2\\beta)$，得到\n$sin(2\\alpha-\\beta)+sin(\\alpha-2\\beta)=\\cdots=-\\sqrt{2}sin(\\beta-\\cfrac{\\pi}{4})\\in [-\\sqrt{2}，1]$，故选$A$.\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201712/992978-20171223194003021-131322005.png\")
\n\n角 $\\alpha$ 和 $\\beta$ 的终边分别交单位圆于点 $A$ 和 $B$，\n\n则根据三角函数的定义可知，$A(cos\\alpha，sin\\alpha)$、$B(cos\\beta，sin\\beta)$；\n\n则有$\\overrightarrow{OA}=(cos\\alpha，sin\\alpha)$，$\\overrightarrow{OB}=(cos\\beta，sin\\beta)$；\n\n由向量的內积定义可知，$\\overrightarrow{OA}\\cdot \\overrightarrow{OB}=|\\overrightarrow{OA}||\\overrightarrow{OB}|cos<\\overrightarrow{OA}，\\overrightarrow{OB}>=cos(\\alpha-\\beta)$\n\n又由向量的內积的坐标运算可知，$\\overrightarrow{OA}\\cdot \\overrightarrow{OB}=cos\\alpha cos\\beta+sin\\alpha sin\\beta$\n\n则有$cos(\\alpha-\\beta)=cos\\alpha\\cdot cos\\beta+sin\\alpha\\cdot sin\\beta$\n\n当两个角是其他情形时，$\\alpha-\\beta$ 和上面的情形相比，会相差 $2k\\pi(k\\in Z)$ ，\n\n则由诱导公式可知，仍有$\\overrightarrow{OA}\\cdot \\overrightarrow{OB}=|\\overrightarrow{OA}||\\overrightarrow{OB}|cos<\\overrightarrow{OA}，\\overrightarrow{OB}>=cos(\\alpha-\\beta)$\n\n故仍有 $cos(\\alpha-\\beta)=cos\\alpha\\cdot cos\\beta+sin\\alpha\\cdot sin\\beta$，证毕。\n\n【思路四】：复数法，不要求高中学生知道。利用欧拉公式 $e^{ix}=\\cos x+i\\sin x$ 来证明。感兴趣，作了整理。[^wh001]\n\n[^wh001]:欧拉公式是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，其中 $e$ 是自然对数的底， $i$ 是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。[相关视频](https://www.bilibili.com/video/BV13B42167e1/?vd_source=f0af88bc6198d6db621222bcfa563ad9)\n$\\begin{align*}\n\\cos (\\alpha-\\beta)+i\\sin(\\alpha-\\beta)\n&=e^{i(\\alpha-\\beta)}=e^{i\\alpha-i\\beta}\\\\\n&=e^{i\\alpha}e^{i(-\\beta)}\\\\\n&=(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)[\\cos(-\\beta)+i\\sin(-\\beta)]\\\\\n&=[\\cos\\alpha\\cos(-\\beta)-\\sin\\alpha\\sin(-\\beta)]+i[\\sin\\alpha\\cos(-\\beta)+\\cos\\alpha\\sin(-\\beta)]\\\\\n&=(\\cos\\alpha\\cos\\beta+\\sin\\alpha\\sin\\beta)+i(\\sin\\alpha\\cos\\beta-\\cos\\alpha\\sin\\beta)\\\\\n\\end{align*}$\n利用复数相等得到，$\\cos(\\alpha-\\beta)=\\cos\\alpha\\cdot\\cos\\beta+\\sin\\alpha\\cdot\\sin\\beta$，$\\sin(\\alpha-\\beta)=\\sin\\alpha\\cos\\beta-\\cos\\alpha\\sin\\beta$ .\n\n## 公式延伸\n\n①$C_{(\\alpha-\\beta)}\\Rightarrow C_{(\\alpha+\\beta)}$ .\n\n即用 $cos(\\alpha-\\beta)=cos\\alpha\\cdot cos\\beta+sin\\alpha\\cdot sin\\beta$ 证明 $cos(\\alpha+\\beta)$\n\n分析：由于公式中的$\\alpha、\\beta\\in R$，则可以用$-\\beta$替换上式中的$\\beta$，得到\n\n $cos(\\alpha-(-\\beta))=cos\\alpha\\cdot cos(-\\beta)+sin\\alpha\\cdot sin(-\\beta)$，即\n\n $cos(\\alpha+\\beta)=cos\\alpha\\cdot cos\\beta-sin\\alpha\\cdot sin\\beta$，证毕。\n\n②$C_{(\\alpha-\\beta)}\\Rightarrow S_{(\\alpha+\\beta)}$ .\n\n\n即用 $cos(\\alpha-\\beta)=cos\\alpha\\cdot cos\\beta+sin\\alpha\\cdot sin\\beta$ 证明 $sin(\\alpha+\\beta)$\n\n $sin(\\alpha+\\beta)=cos[\\cfrac{\\pi}{2}-(\\alpha+\\beta)]=cos[(\\cfrac{\\pi}{2}-\\alpha)-\\beta]$\n\n $=cos(\\cfrac{\\pi}{2}-\\alpha)\\cdot cos\\beta+sin(\\cfrac{\\pi}{2}-\\alpha)\\cdot sin\\beta=sin\\alpha cos\\beta+cos\\alpha sin\\beta$\n\n 则 $sin(\\alpha+\\beta)=sin\\alpha cos\\beta+cos\\alpha sin\\beta$\n\n③$S_{(\\alpha+\\beta)}\\Rightarrow S_{(\\alpha-\\beta)}$ .\n\n分析：用 $-\\beta$ 替换上式中的 $\\beta$ ，\n\n即可证明：$sin(\\alpha-\\beta)=sin\\alpha cos\\beta-cos\\alpha sin\\beta$\n\n④$S_{(\\alpha-\\beta)}+C_{(\\alpha-\\beta)}\\Rightarrow T_{(\\alpha-\\beta)}$ .\n\n$\\tan(\\alpha-\\beta)=\\cfrac{\\sin(\\alpha-\\beta)}{\\cos(\\alpha-\\beta)}=\\cfrac{\\sin\\alpha\\cos\\beta-\\cos\\alpha\\sin\\beta}{\\cos\\alpha\\cos\\beta+\\sin\\alpha\\sin\\beta}$， \n\n给分式的分子分母同除以$\\cos\\alpha\\cos\\beta$，得到\n\n$\\tan(\\alpha-\\beta)=\\cfrac{\\tan\\alpha-\\tan\\beta}{1+\\tan\\alpha\\tan\\beta}$；\n\n⑤$T_{(\\alpha-\\beta)}\\Rightarrow T_{(\\alpha+\\beta)}$ .\n\n用$-\\beta\\Rightarrow \\beta$，代入上式，得到 $\\tan(\\alpha+\\beta)=\\cfrac{\\tan\\alpha+\\tan\\beta}{1-\\tan\\alpha\\tan\\beta}$；\n\n## 例说使用\n\n* 和差角公式 是诱导公式的拓展，诱导公式是和差角公式的特例，二者是特殊与一般的关系。\n\n\ngraph TD\nA[向量数量积坐标运算] --> B[\"核心公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\"]\nB --> C[\"cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\"]\nsubgraph \nC --> F[\"cos2α=cos²α-sin²α
=2cos²α-1=1-2sin²α\"]\nend\nB --> D[\"sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\"]\nsubgraph \nD --令α=β--> E[\"sin2α=2sinαcosα\"]\nD --用-β替换β--> G[\"sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\"]\nend\n
\n\n\n=2cos²α-1=1-2sin²α\"]\nend\nB --> D[\"sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\"]\nsubgraph \nD --令α=β--> E[\"sin2α=2sinαcosα\"]\nD --用-β替换β--> G[\"sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\"]\nend\n
\ngraph LR;\nJ[接上图]--> K[\"sin(α-β)\"] ;\nJ --> L[\"cos(α-β)\"];\nK-->M[\"tan(α-β)\"];\nL-->M;\nM-->N[\"tan(α+β)\"];\nN-->O[\"tan2α\"];\n
\n\n## 典例剖析\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201712/992978-20171214150143326-1504669722.png\")
\n \n若$x\\in [-\\cfrac{\\pi}{3}，\\cfrac{\\pi}{4}]$，则可得 \n\n$-\\cfrac{2\\pi}{3}\\leq 2x\\leq \\cfrac{\\pi}{2}$，则$-\\cfrac{\\pi}{3}\\leq 2x+\\cfrac{\\pi}{3}\\leq \\cfrac{5\\pi}{6}$， \n\n故当$2x+\\cfrac{\\pi}{3}=-\\cfrac{\\pi}{3}$，即$x=-\\cfrac{\\pi}{3}$时，$f(x)_{min}=f(-\\cfrac{\\pi}{3})=2\\times (-\\cfrac{\\sqrt{3}}{2})+1=-\\sqrt{3}+1$； \n\n故当$2x+\\cfrac{\\pi}{3}=\\cfrac{\\pi}{2}$，即$x=\\cfrac{\\pi}{12}$时，$f(x)_{max}=f(\\cfrac{\\pi}{12})=2\\times 1+1=3$； \n\n③求单调区间$\\left(x\\in R 或x\\in [-\\cfrac{\\pi}{4}，\\cfrac{\\pi}{2}]\\right)$(具体解法参见例2的法1和法2) \n\n④求函数$f(x)$对称轴方程和对称中心坐标； \n\n令$2x+\\cfrac{\\pi}{3}=k\\pi+\\cfrac{\\pi}{2}(k\\in Z)$，得到$f(x)$对称轴方程为$x=\\cfrac{k\\pi}{2}+\\cfrac{\\pi}{12}(k\\in Z)$； \n\n令$2x+\\cfrac{\\pi}{3}=k\\pi(k\\in Z)$，得到$f(x)$的对称中心坐标为$(\\cfrac{k\\pi}{2}-\\cfrac{\\pi}{6}，1)(k\\in Z)$ \n\n⑤求奇偶性$\\left(奇函数利用f(0)=0；偶函数利用f(0)=f(x)_{max}或f(x)_{min}\\right)$ \n\n比如，函数$g(x)=2sin(2x+\\phi+\\cfrac{\\pi}{3})(\\phi\\in (0，\\pi))$是偶函数，求$\\phi$的值。 \n\n分析：由于函数$g(x)$是偶函数，则在$x=0$处必然取到最值， \n\n故有$2\\times 0+\\phi+\\cfrac{\\pi}{3}=k\\pi+\\cfrac{\\pi}{2}(k\\in Z)$， \n\n则$\\phi=k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}(k\\in Z)$ \n\n令$k=0$，则$\\phi=\\cfrac{\\pi}{6}\\in (0，\\pi)$，满足题意，故所求$\\phi=\\cfrac{\\pi}{6}$时，函数$g(x)$是偶函数。 \n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201712/992978-20171214123346951-354986024.png\" "“配图”")
\n\n法2：由$-\\cfrac{\\pi}{4}\\leq x\\leq \\cfrac{\\pi}{4}$，求得$-\\cfrac{5\\pi}{6}\\leq 2x-\\cfrac{\\pi}{3}\\leq \\cfrac{\\pi}{6}$， \n\n结合横轴为$2x-\\cfrac{\\pi}{3}$的图像可知， \n\n当$-\\cfrac{5\\pi}{6}\\leq 2x-\\cfrac{\\pi}{3}\\leq -\\cfrac{\\pi}{2}$时，求得函数在区间$[-\\cfrac{\\pi}{4}，-\\cfrac{\\pi}{12}]$单调递减； \n\n当$-\\cfrac{\\pi}{2}\\leq 2x-\\cfrac{\\pi}{3}\\leq \\cfrac{\\pi}{6}$时，求得函数在区间$[-\\cfrac{\\pi}{12}，\\cfrac{\\pi}{4}]$单调递增； \n \n$A．[k\\pi-\\cfrac{2\\pi}{3} ，k\\pi-\\cfrac{\\pi}{6}](k\\in Z)$
$B．[k\\pi-\\cfrac{\\pi}{6} ，k\\pi+\\cfrac{\\pi}{3}](k\\in Z)$
$C．[k\\pi-\\cfrac{5\\pi}{12} ，k\\pi+\\cfrac{\\pi}{12}](k\\in Z)$
$D．[k\\pi+\\cfrac{\\pi}{12} ，k\\pi+\\cfrac{7\\pi}{12}](k\\in Z)$
![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201804/992978-20180417211146990-734000199.png\")
\n\n数列$\\{x_n\\}$满足：$x_1=1$，且对于任意的$n\\in N_*$，点$(x_n，x_{n+1})$都在函数$y=f(x)$的图像上，\n\n则$x_1+x_2+\\cdots+x_{2015}=?$\n\n分析：这是一个很新颖的数列题目，但是和函数的列表法紧密结合，要顺利解答还需要一定的数学素养。\n\n由题目可知$y=f(x)，x_{n+1}=f(x_n)，x_1=1$，\n\n则有$x_2=f(x_1)=f(1)=3$；$x_3=f(x_2)=f(3)=5$；$x_4=f(x_3)=f(5)=6$；\n\n$x_5=f(x_4)=f(6)=1$；$\\cdots，T=4$；\n\n$\\sum\\limits_{k=1}^{2015}{x_k}=503(x_1+x_2+x_3+x_4)+(x_1+x_2+x_3)=503\\times 15+9=7554$\n\n$A.\\cfrac{n^2}{4}$ $B.\\cfrac{(n-1)^2}{4}$ $C.\\cfrac{n(n-1)}{4}$ $D.\\cfrac{n(n+1)}{4}$
\n \n法1：以少御多，将无限项转化为有限项，再由多转少，这样便于思考和运算；可以假定$n=4$，然后代入验证，选$C$.\n\n法2：写出新数列的通项公式$a_k=\\cfrac{1}{k}\\cdot \\cfrac{n}{2}$，注意通项公式不是$a_n=\\cfrac{1}{n}\\cdot \\cfrac{n}{2}$，\n\n这样求和的数列的通项公式就是\n\n$k\\ge 2$，$a_{k-1}a_k=\\cfrac{n^2}{4}\\cfrac{1}{(k-1)k}=\\cfrac{n^2}{4}(\\cfrac{1}{k-1}-\\cfrac{1}{k})$\n\n故$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\\cdots+a_{n-1}a_n$\n\n$=\\cfrac{n^2}{4}[(1-\\cfrac{1}{2})+(\\cfrac{1}{2}-\\cfrac{1}{3})+(\\cfrac{1}{3}-\\cfrac{1}{4})+\\cdots+(\\cfrac{1}{k-1}-\\cfrac{1}{k})]$\n\n$=\\cfrac{n^2}{4}(1-\\cfrac{1}{n})=\\cfrac{n(n-1)}{4}$.\n\n$A.a_n=(-1)^{n-1}+1$
$B.a_n=\\left\\{\\begin{array}{l}{2，n为奇数}\\\\{0，n为偶数}\\end{array}\\right.$
$C.a_n=2sin\\cfrac{n\\pi}{2}$
$D.a_n=cos(n-1)\\pi+1$
$A.a_n=n^2-(n-1)$
$B.a_n=n^2-1$
$C.a_n=\\cfrac{n(n+1)}{2}$
$D.a_n=\\cfrac{n(n-1)}{2}$
$A.2069$ $B.2039$ $C.2009$ $D.1979$
\n\n解析：观察总结可知， $n^3$ 的分解式有 $n$ 个奇数的和，而 \n\n$2^3$ 的展开式中的第一项为 $3=1\\times 2+1$；\n\n$3^3$ 的展开式中的第一项为 $7=2\\times 3+1$；\n\n$4^3$ 的展开式中的第一项为 $13=3\\times 4+1$；\n\n$5^3$ 的展开式中的第一项为 $21=4\\times 5+1$；\n\n故归纳总结可知，$45^3$的展开式中的第一项必然为$44\\times 45+1=1981$，\n\n故$45^{3}$ 的分解和式中一定不含有$1979$，故选 $D$.\n",
"BlogId": 294450,
"Description": "一旦悟到教材意图，我们的数学积累工作就变得主动和经常化了。",
"DateUpdated": "2022-05-11T09:14:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-01-10T10:23:45.283",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "教学感悟 以前在传授数列时只是机械的要求学生记住常见的数列，至于“哪些才算是常见的数列？这些数列是怎么来的”，心里比较糊涂，在有一次的教学中，偶然回忆起：函数教学时教材要求掌握一些常见的函数，对比这些数列和函数，心里豁然开朗。有图为证： 比如说特殊的幂函数：\\(y=x\\)，\\(y=x^2\\)，\\(y",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6268374,
"Title": "从$a_n$$=$$f(n)$的角度理解数列中的表达式$a_{n+1}$$=$$\\frac{k}{a_n}$",
"DateAdded": "2017-01-10T10:25:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 函数周期性\n\n前面我们学习过函数的周期性的给出方式：\n\n$f(x+a)=f(x)\\quad\\quad\\quad\\quad$ $T=a$\n\n$f(x+a)=-f(x)\\quad\\quad\\quad\\quad$ $T=2a$\n\n推导：$f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=-[- f(x)]=f(x)$，所以$T=2a$\n\n$f(x+a)=\\cfrac{k}{f(x)}(k\\ne 0)\\quad\\quad$ $T=2a$\n\n推导：$f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\\cfrac{k}{f(x+a)}=\\cfrac{k}{\\frac{k}{f(x)}}=f(x)$，所以$T=2a$\n\n$f(x+2)=f(x+1)-f(x)\\quad\\quad$ $T=6$\n\n 推导：$f(x+1)=f(x)+f(x-1)$，两式相减得到，$f(x+2)=-f(x-1)$，从而得到$f(x+3)=-f(x)$，所以$T=6$\n\n## 数列周期性\n\n我们经常强调数列是个特殊的函数，$a_n=f(n)$，那么借助上面的推导你能很轻松的得出以下的结论吗？\n\n$a_{n+3}=a_n\\quad\\quad$ $T=6$\n\n$a_{n+3}=-a_n\\quad\\quad$ $T=6$\n\n$a_{n+3}=\\cfrac{k}{a_n}\\quad\\quad$ $T=6$\n\n$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\\quad\\quad$ $T=6$\n\n【提示】表达式$a_{n+3}=-a_n$可以改写为$f(n+3)=-f(n)$，你能看出怎么推导吗？\n\n再次理解：数列是特殊的函数吗？",
"BlogId": 294450,
"Description": "从$a_n$$=$$f(n)$的角度理解数列中的表达式$a_{n+1}$$=$$\\frac{k}{a_n}$",
"DateUpdated": "2023-08-02T14:36:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-01-10T10:24:44.45",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "## 函数周期性 前面我们学习过函数的周期性的给出方式： $f(x+a)=f(x)\\quad\\quad\\quad\\quad$ $T=a$ $f(x+a)=-f(x)\\quad\\quad\\quad\\quad$ $T=2a$ 推导：$f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=-[- f(x)",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6396082,
"Title": "排列组合",
"DateAdded": "2017-02-14T08:07:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n* 理解和记住一些常见的模型，解决排列组合问题基本就够用了。\n\n## 排列组合\n\n* 排列、排列数\n\n$A_n^m=n\\times (n-1)\\times (n-2)\\times\\cdots\\times (n-m+1)=\\cfrac{n!}{(n-m)!}$；$A_n^n=n!$；$0!=1$\n\n$A.A_{69-n}^{55-n}$ $B.A_{69-n}^{15}$ $C.A_{55-n}^{15}$ $D.A_{69-n}^{14}$
\n\n分析：$69-n$ 最大，因式个数为$\\cfrac{(69-n)-(55-n)}{1}+1=15$，故选 $B$。\n\n* 组合、组合数\n\n$C_n^m=\\cfrac{A_n^m}{A_m^m}=\\cfrac{n\\times(n-1)\\times (n-2)\\times\\cdots\\times (n-m+1)}{m!}=\\cfrac{n!}{m!\\cdot (n-m)!}$\n\n* 排列组合的识别：\n\n若与顺序(次序、位置)有关，则为排列，若与顺序(次序、位置)无关，则为组合。\n\n引例，比如 $5$ 个人之间彼此留言，则是排列，共有 $A_5^2=20$ 种，比如 $5$ 个人之间彼此握手，则是组合，共有 $C_5^2=10$ 种；\n\n## 理解模型\n\n> * Ⅰ小球放入盒子\n\n① $3$ 个不同的小球，放入 $5$ 个不同的盒子中，每个盒子至多有一个球，共有 $A_5^3$ 种不同的放法。\n\n分析：等同于 $3$ 封信，投入 $5$ 个不同的邮箱，每个信箱至多一个；或者 $3$ 个人坐 $5$ 个凳子。\n\n② $3$ 个不同的小球，放入 $5$ 个不同的盒子中，每个盒子能放入的小球不限，共有 $5^3$ 种不同的放法。分析：等同于映射个数问题。\n\n③集合 $A=\\{1，2，3\\}$，集合 $B=\\{a，b，c，d\\}$ ，则映射 $f：A \\rightarrow B$ 的个数为 $4^3$；映射 $f：B \\rightarrow A$ 的个数为 $3^4$；\n\n④集合 $A=\\{1，2，3\\}$，集合 $B=\\{a，b，c\\}$ ，则一一映射 $f：A \\rightarrow B$ 的个数为 $A_3^3=6$ 个，一一映射 $f：B \\rightarrow A$ 的个数也为$ A_3^3=6$ 个。\n\n⑤ $6$ 个相同的小球，放入 $3$ 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，共有 $C_5^2$ 种不同的放法。\n\n分析：隔板法，如图所示，$0\\underline{|}0\\underline{|}0\\underline{|}0\\underline{|}0\\underline{|}0$，\n\n所求的不同放法个数，相当于在 $5$ 个空位上插入 $2$ 个隔板的不同插入方法，共有 $C_5^2=10$ 种；\n\n或解：相当于从 $5$ 个插好的隔板中任意取出三个隔板的不同取出方法，共有 $C_5^3=10$ 种；\n\n> * Ⅱ排队照相\n\n已知有 $5$ 个同学排队照相，求\n\n①甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？\n\n分析：$A_4^4\\times A_2^2=48$，相邻问题捆绑策略\n\n②甲、乙、丙三个同学互不相邻的排法有多少种？\n\n分析：$A_2^2\\times A_3^3=12$，不相邻问题插空策略\n\n③乙不能站在甲前面，且丙不能站在乙前面的排法有多少种？\n\n【法1】：只能按照“甲乙丙”的次序来排列，\n\n定序问题，$\\cfrac{A_5^5}{A_3^3}=20$，\n\n定序问题除法策略(有部分相同元素的排列问题和定序问题是相同的)\n\n【法2】：先按照甲乙丙的次序排甲乙丙，仅 $1$ 种，\n\n然后插入剩余两人中的一人有 $4$ 种，\n\n最后再插入最后一人有 $5$ 种，故 $N=4\\times 5=20$\n\n【法3】：先按照甲乙丙的次序排甲乙丙，仅 $1$ 种，然后插入剩余的两人，分类如下：\n\n当两人不相邻，有 $A_4^2=12$种，\n\n当两人相邻，有 $C_4^1\\times A_2^2=8$种，\n\n故共有 $A_4^2+C_4^1\\times A_2^2=20$种。\n\n④甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？\n\n【法1】：以乙的位置分类，\n\n当乙居中时，先排乙有 $A_1^1$ 种，再排其余有 $A_4^4$种，\n\n则有 $A_1^1\\times A_4^4=24$，\n\n当乙不居中时，先排乙有 $A_2^1$ 种，再排甲 $A_3^1$ 种，\n\n再排其余有 $A_3^3$ 种，则有 $A_2^1\\times A_3^1\\times A_3^3=36$，\n\n故共有 $N=24+36=60$。\n\n【法2】：以甲的位置分类，类比上法思考。\n\n【法3】：间接法，先 $5$ 个人做全排列，有 $A_5^5$ 种，\n\n然后剔除不符合题意的情形，有甲在中间 $A_4^4$ 种或乙在两端 $2A_4^4$ 种，\n\n不过这个剔除过程多剔除了甲在中间且已在两端的情形有 $A_1^1$(甲)$A_2^1$(乙)$A_3^3$，\n\n故共有 $A_5^5-A_4^4-2A_4^4+2A_3^3=60$\n\n⑤排成两排，前排 $2$ 人，后排 $3$ 人，有多少种不同的排法？\n\n分析：$A_5^5=120$。两排问题拉成一排策略 \n\n⑥5个人排成一排，有多少种不同的排法？\n\n分析：$A_5^5=120$。\n\n【对照】5个相同的乒乓球排成一排，有多少种不同的排法？\n\n分析：$C_5^5=1$，或者理解为$\\cfrac{A_5^5}{A_5^5}=1$，$5$ 个相同理解为定序问题。\n\n⑦ $5$ 本书中有三本一样的书，排成一排，有多少种不同的排法？\n\n分析：$\\cfrac{A_5^5}{A_3^3}=20$，$3$ 本相同理解为定序问题。\n\n⑧单词“error”的所有拼写形式有多少种？\n\n分析：同上述⑦问题，$\\cfrac{A_5^5}{A_3^3}=20$。\n\n⑨定序问题，比如【简单的定序】，\n\n$4$ 个人按照甲在前，乙在后的确定次序排队，共有多少种不同的排法？\n\n分析：$4$ 个人排队，共有$A_4^4$种，其中按照甲乙来看，共有$A_2^2$类，分为甲前乙后的一类，和甲后乙前的另一类，设每一类有$x$种，则$x\\cdot A_2^2=A_4^4$，故$x=\\cfrac{A_4^4}{A_2^2}=12$种；\n\n提升： $6$ 个人按照甲乙丙的确定次序排队，共有多少种不同的排法？\n\n分析： $6$ 个人排队，共有$A_6^6$种，其中按照甲乙丙来看，共有$A_3^3$类，其中甲乙丙的次序只占$\\cfrac{1}{A_3^3}$，设每一类有$x$种，则$x\\cdot A_3^3=A_6^6$，故$x=\\cfrac{A_6^6}{A_3^3}$种；\n\n再提升：$n$ 个玩具排成一排，其中有 $m$ 个相同，则共有排法 $\\cfrac{A_n^n}{A_m^m}$ 种；\n\n## 廓清关系\n\n* 计数原理和排列组合的关系：计数原理统管排列组合，排列组合简化计数原理的步骤。\n\n如5人排成一排，应该用乘法计数原理，$\\Delta\\;\\;\\Delta\\;\\;\\Delta\\;\\;\\Delta\\;\\;\\Delta$\n\n位置 $1$ 有 $5$ 种(或$C_5^1$)，位置 $2$ 有 $4$ 种(或$C_4^1$)，位置 $3$ 有 $3$ 种(或$C_3^1$)，\n\n位置 $4$ 有 $2$ 种(或$C_2^1$)，位置 $5$ 有 $1$ 种(或$C_1^1$)；\n\n故共有不同的排列方法$N=5\\times 4\\times 3\\times 2\\times 1=120$种，\n\n或$N=C_5^1 \\times C_4^1 \\times C_3^1 \\times C_2^1 \\times C_1^1=120$种，\n\n但如果有了排列的模型，就可以简化为 $N=A_5^5=120$ 种。\n\n## 典例剖析\n\n 在排列组合题目中，有时候找出错误比换个思路解题更难，所以一旦发现错误，以后就一定要注意避免按照那种模式思维，另外熟练掌握上述的模型，在具体题目的求解中，我们只要能将题目顺利转化为模型就可以求解了。\n\n$A.11$ $B.12$ $C.20$ $D.21$
\n\n法1：第一组开关中至少有一个接通有$2^2-1=3$种，第二组开关中至少有一个接通有$2^3-1=7$种，由乘法原理可知$3\\times7=21$，故选$D$。\n\n法2：$(C_2^1+C_2^2)(C_3^1+C_3^2+C_3^3)=21$，故选$D$。\n\n$A.20$ $B.16$ $C.10$ $D.6$
\n\n分析：由于选出的人中，可能有$a$，也可能没有$a$，故需要分类讨论：\n\n当选出的人中没有$a$时，有$C_4^2\\cdot A_2^2=12$；\n\n当选出的人中有$a$时，则$A_1^1\\cdot A_4^1=4$；\n\n故不同的选法共有$12+4=16$。故选$B$。\n\n$A.280$ $B.240$ $C.180$ $D.96$
\n\n分析：由于选出的人中，可能有甲、乙两个人，也可能都没有，也可能只有一个人，故需要分类讨论：\n\n当选出的人中不包含甲、乙两人时，有$A_4^4=24$种；\n\n当选出的人中只包含甲、乙两人中的一人时，先选后排，有$C_2^1\\cdot C_4^3\\cdot A_3^1\\cdot A_3^3=144$种；\n\n当选出的人中包含甲、乙两人时，先选后排，有$C_2^2\\cdot C_4^2\\cdot A_3^2\\cdot A_2^2=72$种；\n\n故共有$N=240$种。\n\n$A.42$ $B.36$ $C.30$ $D.12$
\n\n分析：按照这两个节目是否相邻分类讨论如下：\n\n当插入的两个节目相邻，则有$C_6^1\\cdot A_2^2=12$种；\n\n但插入的两个节目不相邻，则有$A_6^2=30$种；\n\n故共有$N=12+30=42$种。故选$A$。\n\n$A.8$ $B.10$ $C.12$ $D.32$
\n\n\n\n法1：列举法，依次画出，共有10种，故选$B$。\n\n法2：组合法，类似于二项展开式的项的构成一样，从$A$地到$B$地的走法，必须且只需向上或向右，分析可知，需要向上两次，向右三次，相当于从$(a+b)^5$种选3个$a$，选2个$b$，故选法为$C_5^3\\cdot C_2^2=10$种，或者$C_5^2\\cdot C_3^3=10$种，故选$B$。\n\n$A.208$ $B.204$ $C.200$ $D.196$
\n\n\n\n分析：间接法，从12个顶点中任取3个共有$C_{12}^3$个，然后排除不符合题意的三种情形：\n\n其一，三个顶点在同一行的有$3\\cdot C_4^3=12$种；\n\n其二，三个顶点在同一列的有$4\\cdot C_3^3=4$种；\n\n其三，三个顶点位于田字格的对角线上的有4种，\n\n故共有$N=C_{12}^3-12-4-4=200$种，故选$C$。\n\n$A.\\cfrac{1}{7}$ $B.\\cfrac{9}{16}$ $C.\\cfrac{5}{16}$ $D.\\cfrac{5}{8}$
\n\n分析：六爻共有$2^6=64$种，其中三阳爻三阴爻有$C_6^3=20$种，说明：相当于从$(阳+阴)^6$展开式中取三阳爻三阴爻，故有$C_6^3\\cdot C_3^3=20$种，则所求概率为$P=\\cfrac{20}{64}=\\cfrac{5}{16}$，故选$C$。\n\n$A.144$ $B.132$ $C.96$ $D.48$
\n\n分析：甲相当于特殊元素，包子相当于特殊位置，故针对甲分类讨论如下：\n\n①当甲选取包子时，有1种选法，接下来剩余4个人三种食物，有$\\cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\\cdot A_3^3=C_4^2A_3^3=36$种；\n\n②当甲不选包子时，先从另外4人中选出1人吃包子有$C_4^1=4$种，然后让甲选食物，在花卷和面条中二选一有2种，接下来剩余的人有3人，但食物有2或3种，故需要再次分类讨论\n\n当剩余3人中有1人选取和甲相同，则有$C_3^1=3$种，剩余有$A_2^2$种，故有$C_3^1A_2^2=6$种；\n\n当剩余3人中没有人选取和甲相同，则三人选两种食物，每种食物必须都有人选，有$C_3^2A_2^2=6$种；\n\n故当当甲不选包子时，共有$4\\times 2\\times(6+6)=96$种；\n\n综上共有$N=36+96=132$种，故选$B$。\n\n\n$A.72$ $B.120$ $C.144$ $D.168$
\n\n解析：由于题目要求，同类节目不相邻，故考虑使用插空法来解决，分两步来完成：\n\n第一步，先排列三个歌舞类节目，有 $A_3^3$ 种；此时产生了四个空位，如图所示，$①\\Delta$$②\\Delta$$③\\Delta④$\n\n第二步，由于要求同类节目不相邻，故关键是在 ②③ 位置插入元素，为此需要分类讨论，如可以插入两个元素[一小品一相声，两小品]，或三个元素；\n\n第一类，在 ②③ 位置插入两个元素，一小品和一相声，先选出来小品为 $C_2^1$ 种，再和一个相声做排列为 $A_2^2$ 种，最后在剩余的 ③④ 位置 排列剩余的一个小品为 $A_2^1$ 种，故有 $C_2^1A_2^2A_2^1=8$ 种； \n\n第二类，在 ②③ 位置插入两个元素，两个小品，有 $A_2^2$ 种，最后在剩余的 ③④ 位置 排列剩余的一个相声为 $A_2^1$ 种，故有 $A_2^2A_2^1=4$ 种； \n\n第三类，在 ②③ 位置插入三个元素，两个小品和一相声，此时需要将小品种选一个和一个相声捆绑为一个元素，先选有 $C_2^1$ 种，和一个相声捆绑后为一个元素，再和剩余的小品两个元素在这两个位置做全排列，有 $A_2^2$ 种，排列好以后将原来捆绑的那个大元素解绑，有 $A_2^2$ 种，这样第三类排列结束，即有 $C_2^1A_2^2A_2^2=8$ 种，\n\n这样第二步中共有 $8+4+8=20$ 种，由乘法计数原理可知，共有排法种数 $N=6\\times20=120$ 种，故选 $B$ .\n\n【错解补充】本题目还容易陷入这样的错误思维，先排列相声，有 $A_1^1$ 种，然后在其旁边排列小品有 $A_2^2$ 种，然后在产生的四个空位上排列歌舞类节目，有 $A_4^3$ 种，很显然，这样的结果是有漏解的。比如这样的排列只考虑到歌舞类节目之间只间隔了一个元素，按题目的要求，完全可能间隔两个元素。\n\n\n## 备忘例题\n\n![\"博客闲章01\"](\"https://img2024.cnblogs.com/blog/992978/202605/992978-20260513210020216-175999596.png\")
\n\n点 $P$ 关于直线 $y=n$ 的对称点的坐标为 $R(a,2n-b)$；\n\n点 $P$ 关于点 $(m,n)$ 的对称点的坐标为 $S(2m-a,2n-b)$； \n \n② 涉及函数的轴对称和中心对称，请参阅 [轴对称和中心对称](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11778741.html)\n\n## 函数关于自身对称\n\n注意：下面的这些结论都只涉及到一个函数，而不是两个函数；\n\n1.若函数 $y$$=$$f(x)$ 关于原点 $(0,0)$ 对称，则 $f(-x)$$=$$-f(x)$ 或 $f(x)$$+$$f(-x)$$=$$0$，反之亦成立；\n\n2.若函数 $y$$=$$f(x)$ 关于直线 $x$$=$$a$ 对称(当 $a$$=$$0$ 时即关于 $y$ 轴对称)，则 $f(a+x)$$=$$f(a-x)$ ，反之亦成立；\n\n3.若函数 $y$$=$$f(x)$ 满足 $f(a+x)$$=$$f(b-x)$，函数 $y$$=$$f(x)$ 的图像关于直线 $x$$=$$\\cfrac{a+b}{2}$ 对称，反之亦成立；\n\n4.若函数 $y$$=$$f(x)$ 图像是关于点 $A(a,b)$ 对称，则充要条件是$f(x)$$+$$f(2a-x)$$=$$2b$抽象函数的对称性验证。\n\n5.若函数 $f(x)$ 是偶函数，其图像关于直线 $x$$=$$a$ 对称，则$T$$=$$2a$($a>0$)；[^wh01] \n\n[^wh01]:证明：由函数$f(x)$是偶函数，得到$f(-x)=f(x)①$；\n又函数图像关于直线$x=a$对称，得到$f(x)=f(2a-x)②$，\n由①②得到，$f(2a-x)=f(-x)$，用$-x$替换$x$，\n即$f(x+2a)=f(x)$，故$T=2a(a>0)$；\n\n6.若函数 $f(x)$ 是奇函数，其图像关于直线 $x=a$ 对称，则$T$$=$$4a$($a>0$)；[^wh02]\n\n[^wh02]:证明：由函数$f(x)$是奇函数，得到$-f(-x)=f(x)①$；\n又函数图像关于直线$x=a$对称，得到$f(x)=f(2a-x)②$，\n由①②得到，$f(2a-x)=-f(-x)$，用$-x$替换$x$，\n即$f(x+2a)=-f(x)$，故$T=4a(a>0)$；\n\n7.若函数 $f(x)$ 的图像关于两条直线 $x$$=$$a$ 和 $x$$=$$b$ 对称，则$T$$=$$2|a-b|$；[^wh03]\n\n[^wh03]:证明：由函数$f(x)$的图像关于直线$x=a$对称，得到得到$f(x)=f(2a-x)①$；\n又由函数$f(x)$的图像关于直线$x=b$对称，得到$f(x)=f(2b-x)②$；\n即$f(2a-x)=f(2b-x)$，即$f(x+2a)=f(x+2b)$，用$x-2a$替换$x$，\n得到$f(x)=f(x+2(b-a))$，故则$T=2|a-b|$；\n\n8.若函数 $f(x)$ 的图像关于点 $M(a,0)$ 和点 $N(b,0)$ 对称，则 $T$$=$$2|a-b|$；[^wh04]\n\n[^wh04]:证明：由函数$f(x)$的图像关于点$M(a，0)$对称，得到$f(x)+f(2a-x)=0①$；\n又由函数$f(x)$的图像关于点$N(b，0)$对称，得到$f(x)+f(2b-x)=0②$；\n即$f(2a-x)=f(2b-x)$，即$f(x+2a)=f(x+2b)$，用$x-2a$替换$x$，\n得到$f(x)=f(x+2(b-a))$，故则$T=2|a-b|$；\n\n9.若函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 和点 $M(b,0)$ 对称，则$T$$=$$4|a-b|$；[^wh05]\n\n[^wh05]:证明：由函数$f(x)$的图像关于直线$x=a$对称，得到$f(x)=f(2a-x)①$；\n又函数$f(x)$的图像关于点$M(b，0)$对称，得到$f(x)+f(2b-x)=0$，\n故$f(2a-x)=-f(2b-x)$，用$-x$替换$x$得到，$f(x+2a)=-f(x+2b)$，\n再用$x-2a$替换$x$，得到$f(x)=-f(x+2(b-a))$，\n即$f(x+2(b-a))=-f(x)$，故$T=4|a-b|$；\n\n## 两个函数的对称\n\n以下结论同时涉及到两个不同的函数，其结论可以用[相关点法](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10916926.html)进行严谨的证明；也可以利用[两个函数的图像来粗略的验证](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11702805.html#tips009)。\n\n1.[==基础结论，要牢记==]$\\quad$$y=f(x)$ $\\xrightarrow{关于 x 轴对称}$ $y=-f(x)$ ；[图象验证](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11702805.html#tips009)\n\n证明：以 $y=f(x)$[已知解析式] 到 $y=-f(x)$[待定解析式] 的证明为例，逆向的证明参照下面自行操作，下同；\n\n用相关点法证明，取待确定解析式上的任意一点 $P(x_0,y_0)$，其关于 $x$ 轴[即直线 $y$$=$$0$]的对称点为 $P'(x_0,-y_0)$，必然在函数 $y$$=$$f(x)$ 的图像上，即点 $P'$ 的坐标满足其解析式，由此得到 $-y_0$$=$$f(x_0)$，即 $y_0$$=$$-$$f(x_0)$，又由于点 $P$ 的任意性可知，所求解析式为 $y$$=$$-$$f(x)$，反之亦成立；故\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171020155414646-315266868.png\"/)
\n\n将$f(-x)$向右3个单位得到$f(-(x-3))=f(3-x)$，\n\n故此时的两个函数$f(x+1)$与$f(3-x)$的对称轴是$x=\\cfrac{-1+3}{2}=1$。\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171020155425646-90306535.png\")
\n\n法2：将$f(x)$向左3个单位，得到$f(3+x)$，将$f(-x)$向右1个单位，\n\n得到$f(-(x-1))=f(1-x)$，故函数$y=f(3+x)$与$y=f(1-x)$关于直线$x=-1$对称。\n\n反思总结：\n\n ①、这种变换为什么和以前的变换方法规律不一样了？\n\n若函数$y=f(x)$满足$f(a+x)=f(b-x)$，函数$y=f(x)$的图像关于直线$x=\\cfrac{a+b}{2}$对称，\n\n此时只涉及一个函数，这个函数是轴对称图形，当你做平移变换时，整体跟着动的；\n\n而现在涉及到两个函数，当你对其中的一个做变换时，那么另外一个应该向反方向平移。\n\n②、怎么理解？\n\n$A$.关于 $x$ 轴
$B$.关于直线 $x=1$ 对称
$C$.关于直线 $x=-1$ 对称
$D$.关于 $y$ 轴
$A.4+\\sqrt{3}$ $B.1$ $C.3$ $D.5$
\n\n分析：$f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x\\geqslant 0$ 时，$f(x)=x(x－4)$，\n\n当$x<0$时，$-x>0$，则$f(-x)=-x(-x-4)=-f(x)$，\n\n即$x<0$时，$f(x)=-x(x+4)$，则有$f(x)=\\left\\{\\begin{array}{l}{x(x-4)，x\\geqslant 0}\\\\{-x(x+4)，x<0}\\end{array}\\right.$ \n\n作出$y=f(x)$和$y=f(2-x)$的图象如图，$y=f(2-x)$的图象与$y=f(x)$的图象关于$x=1$对称，\n\n![\"博客闲章01\"](\"https://img2024.cnblogs.com/blog/992978/202605/992978-20260513203547209-693885929.png\")
\n\n\n\n作出$y=f(2-x)$的图象，由图象知$y=f(2-x)$与$y=f(x)$的图象有三个交点，\n\n即$f(x)=f(2-x)$有三个根，其中一个根为$1$，另外两个根$a$，$b$ 关于$x=1$对称，\n\n即 $a+b=2$，则所有根之和为$a+b+1=2+1=3$，故选：$C$.",
"BlogId": 294450,
"Description": "函数的对称性的常用结论，都有相应的图形说明和严谨的证明过程。整个博客中唯一一篇没有密码，欢迎准用户学习 + 体验 + 喷踩，欢迎雅正。",
"DateUpdated": "2026-05-13T21:17:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-02-19T10:54:33.56",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前情概要 ① 复习回顾，设点的坐标 \\(P(a,b)\\)，则其对称性如下： 点 \\(P\\) 关于直线 \\(x=m\\) 的对称点的坐标为 \\(Q(2m-a,b)\\)； 点 \\(P\\) 关于直线 \\(y=n\\) 的对称点的坐标为 \\(R(a,2n-b)\\)； 点 \\(P\\) 关于点 \\((m,n)\\) ",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6419343,
"Title": "二项式定理习题",
"DateAdded": "2017-02-20T14:25:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n>注意总结常见的二项式定理的使用范例，同时体会其中的数学思想。\n\n## 运算技巧\n\n* 主要涉及指数运算的性质和法则；\n\n比如，$(-\\cfrac{1}{2\\sqrt{x}})^{6-r}$$=$$(-\\cfrac{1}{2})^{6-r}\\cdot (\\cfrac{1}{x^{\\frac{1}{2}}})^{6-r}$$=$$(-1)^{6-r}\\cdot 2^{r-6}\\cdot x^{-\\frac{6-r}{2}}$$=$$(-1)^{6-r}\\cdot 2^{r-6}\\cdot x^{\\frac{r}{2}-3}$\n\n* 赋值法；\n\n* 整除理论；\n\n$\\cfrac{24}{8}=3\\cdots 0$；整除问题中要求三整余零，即被除数、除数、商数为整数，余数为零。\n\n若余数为负时，如何调整为正值？$22=3\\times 8-2=2\\times 8+8-2=2\\times 8+6$；\n\n* 排列数、组合数的相关运算；$C_n^m=\\cfrac{A_n^n}{A_m^m}=\\cfrac{n!}{m!\\cdot (n-m)!}$\n\n## 常规题型\n\n> * 求展开式中的某一项的系数\n\n$A、2$ $B、\\cfrac{5}{2}$ $C、\\cfrac{13}{6}$ $D、\\cfrac{9}{2}$
\n\n分析：令$x=1$，得到所有项的系数之和$a=(3-1)^n=2^n$，\n\n令$x=-1$，得到所有项的系数的绝对值之和$b=(3+1)^n=4^n$，\n\n所以$\\cfrac{b}{a}+\\cfrac{a}{b}=2^n+\\cfrac{1}{2^n}$，令$t=2^n$，则$t\\ge 2$且$t\\in N^*$，\n\n则$\\cfrac{b}{a}+\\cfrac{a}{b}=t+\\cfrac{1}{t}$，$t\\ge 2$，\n\n设$f(t)=t+\\cfrac{1}{t}(t\\ge 2)$，则$f'(t)=1-\\cfrac{1}{t^2}$，\n\n当$t\\ge 2$时，$f'(t)> 0$恒成立，所以$f(t)=t+\\cfrac{1}{t}$在区间$[2，+\\infty)$上单调递增，\n\n所以$t=2$时，$[\\cfrac{b}{a}+\\cfrac{a}{b}]_{min}=f(t)_{min}=2+\\cfrac{1}{2}=\\cfrac{5}{2}$，\n\n故$\\cfrac{b}{a}+\\cfrac{a}{b}$的最小值为$\\cfrac{5}{2}$，故选$B$。\n\n> * 二项式定理证明不等式\n\n$A、\\cfrac{1}{3}$ $B、\\cfrac{1}{2}$ $C、\\cfrac{2}{3}$ $D、\\cfrac{5}{6}$
\n\n分析：基本事件的总数为$C_4^2\\cdot C_2^2$种，定义”红色和紫色的花不在同一个花坛“为事件$A$，则$A$包含的基本事件数为$C_2^1\\cdot C_2^1$，(说明：从红色和紫色中任取一个种在一个花坛，将另一个种在另一个花坛中，从剩余的两种花中任意一个种在一个花坛，将另一个种在另一个花坛)，故所以概率为$P(A)=\\cfrac{C_2^1\\cdot C_2^1}{C_4^2\\cdot C_2^2}=\\cfrac{2}{3}$，故选$C$。\n\n法2：间接法，红色和紫色的花在同一个花坛中，有2种，故$P(A)=\\cfrac{6-2}{6}=\\cfrac{2}{3}$。\n\n$A、\\cfrac{1}{10}$ $B、\\cfrac{1}{5}$ $C、\\cfrac{3}{10}$ $D、\\cfrac{2}{5}$
\n\n分析：由上述的模型可知，所有情形用坐标表示，应该是$5\\times5$方阵，共有25种，$(1，1)，\\cdots，(5，5)$，其中左上到右下的对角线上是$x=y$，有5种，那么剩余的20种当中，必然有一半，即10种满足$x>y$，另外10种满足$x![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201611/992978-20161107173730405-1323320752.png\" "“法1”")
\r\n如果[x<=0,2^(-x)-1]\r\n\r\n如果[x>0,f(x-floor(x+1))]\r\n\r\n[课件地址](https://www.desmos.com/calculator/zsdhw04hlo)\r\n\r\n法3：\r\n相应的命令：\r\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201611/992978-20161107195407983-1637178526.png\" "“法1”")
\r\n如果[x<=0,2^(-x)-1]\r\n\r\n序列[曲线[k + i, 2^(-k) - 1, k, -1, 0], i, 1, 10]\r\n\r\n法4：\r\n相应的命令：\r\n\r\n如果[x<=0,2^(-x)-1]\r\n\r\n序列[f(x - k), k, 1, 5]",
"BlogId": 294450,
"Description": null,
"DateUpdated": "2017-07-19T22:00:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-03-07T14:18:38.563",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "Geogebra学习笔记 2017.03.07 从今天考试学习Geogebra，同时做笔记，希望能很快的掌握这已经软件。学习内容：GspGgb交流论坛。 1、区域的刻画 命令： a: (x 0) ∧ (y 0) ∧ (x y ≤ 2) ∧ (x ≤ 2) ∧ (y ≤ 2) 2、两圆的位置关系（对象",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6524726,
"Title": "离散型随机变量及其分布列习题",
"DateAdded": "2017-03-09T11:14:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言 \n\n题目难度都比较大\n\n## 典例剖析\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201709/992978-20170907201606007-1192833638.jpg\")
\n\n（2）求目标函数$z=x^2+y^2-6x-4y+10$的最值.\n\n（3）求目标函数$z=\\cfrac{y}{x}$的最值；目标函数$z=\\cfrac{x^2+y^2}{xy}$的最值；\n\n分析：$z=\\cfrac{x^2+y^2}{xy}=\\cfrac{x}{y}+\\cfrac{y}{x}=k+\\cfrac{1}{k}$；\n\n\n\n（4）求目标函数$z=\\cfrac{2y-5}{x+2}$的最值；求目标函数$z=\\cfrac{y-4}{2x-3}$的最值；\n\n（5）若目标函数$z=ax+y$取最小值时的最优解有无穷多个，求$a$值；\n\n分析：难点，注意目标函数的旋转和平移；$-a=-1$或$-a=2$；\n\n\n\n\n\n（6）若目标函数$z=ax+y$取最小值时的最优解仅为一个，求$a$的取值范围；\n\n分析：难点，注意目标函数的旋转和平移；$(-\\infty，-2)\\cup(-2，1)\\cup (1，+\\infty)$；\n\n（7）若目标函数$z=ax+y$的最小值是$-2$，求$a$的值；\n\n分析：难点，注意目标函数的旋转和平移；\n\n\n\n①当$0<-a<2$时，即$-2\n\n（10）若平面区域夹在两条平行直线之间，则这两条平行直线间的最短距离为多少？\n\n分析：平面区域夹在两条平行直线之间，通过旋转可以看出，只有平行线中的一条和某条边界重合(比如$BC$)，另一条过边界点(比如$A$)时距离是最小的，故转化为比较三个点线距的大小。\n\n\n\n（11）已知$\\left\\{\\begin{array}{l}{x-y-1\\leq 0}\\\\{x+y-6\\leq 0}\\\\{x\\ge 1}\\end{array}\\right.$，求$x\\cdot y$ 的取值范围；$[0，9]$\n\n分析：从形入手分析，令$x\\cdot y=k$，则$y=\\cfrac{k}{x}$，[图像](https://www.desmos.com/calculator/e2qqmr1fbu)\n\n\n\n\n\n（12）若$ax-y+1-a=0$恒成立，求$a$的取值范围；\n\n\n\n分析：转化为$y=ax+1-a$，将参数放置在斜率和截距两个位置，不利于观察总结；\n\n或转化为$a=\\cfrac{y-1}{x-1}$，显然后者的转化思路更利用解决问题；\n\n",
"BlogId": 294450,
"Description": "线性规划的常见问题中蕴含的思维提升要引起我们的注意。",
"DateUpdated": "2024-09-05T17:42:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-03-16T10:37:53.99",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 线性规划内容，是高中阶段体现数形结合思想最突出的数学素材； 预备知识 倾斜角和斜率的关系；直线的倾斜角的范围\\(\\theta\\in [0，\\pi)\\)； 分式裂项； 直线的斜截式方程； 直线的旋转+平移； 点到直线的距离； 考查角度 设\\(x，y\\)满足约束条件\\(\\left\\{\\begin{",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6588675,
"Title": "正态分布",
"DateAdded": "2017-03-20T14:23:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n\n## 变量引入\n\n前面讨论的随机变量的取值是可以一一列举的，称为离散型随机变量，但在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间的一切值，比如某种电子产品的使用寿命$X$，可以取$[0，b]$或$[0，+\\infty)$内的一切值。所有取值在某个区间的随机变量称为连续型随机变量，\n\n## 曲线引入\n\n由频率分布直方图可以得到频率折线图，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量$X$的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为$X$的分布密度函数，记为$f(x)$。\n\n## 正态曲线\n\n函数$f(x)=\\cfrac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\cfrac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}，x\\in(-\\infty，+\\infty)$，其中实数$\\mu，\\sigma(\\sigma>0)$为参数，我们称$f(x)$的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。\n\n\n\n\n## 曲线性质\n\n⑴曲线位于$x$轴的上方，与$x$轴不相交；\n\n⑵曲线是单峰的，它关于直线$x=\\mu$对称；\n\n⑶曲线在$x=\\mu$处达到峰值$\\cfrac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}$；\n\n⑷曲线与$x$轴之间的面积为1；\n\n⑸当$\\sigma$一定时，曲线的位置由$\\mu$确定，曲线随着$\\mu$的变化而沿着$x$轴平移；\n\n⑹当$\\mu$一定时，曲线的形状由$\\sigma$确定，$\\sigma$越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；$\\sigma$越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；\n\n## 正态分布\n\n⑴.正态分布的定义及表示\n\n若对于任何实数$a，b(a$A.4$ $B.5$ $C.8$ $D.10$
\n\n分析：因为$P(\\xi＞140)＝\\cfrac{1-2P(100＜\\xi＜120)}{2}＝0.05$，所以在140分以上的试卷中要抽取$100×0.05＝5$(份)，故选 B.\n\n解后反思：\uF029在计算服从正态分布的随机变量在特殊区间上的概率时要充分利用正态密度曲线的对称性，将所求的概率转化到我们已知区间上的概率。\n\n![](\"https://img2018.cnblogs.com/blog/992978/201901/992978-20190122104805851-1135221694.jpg\")
\n\n* 直到型循环：先循环后判断，条件满足时终止循环；\n\n![](\"https://img2018.cnblogs.com/blog/992978/201901/992978-20190122104811913-191200243.jpg\")
\n\n## 常用变量\n\n* 1、计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如$i=i+1$，往往初值$i=0$，如果是奇数或者偶数的递增，则使用$i=i+2$；\n\n* 2、累加变量：用来计算数据之和，如$S=S+i$，往往初值$S=0$\n\n* 3、累积变量：用来计算数据之积，如$p=p\\times i$，往往初值$p=1$\n\n* 4、注意程序框图知识和数列中的求和如裂项法的结合，和统计、概率(古典概型和几何概型)、分段函数、 不等式、函数定义域、值域、最值问题的结合，和逻辑推理等的结合。\n\n## 典例剖析\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201703/992978-20170324101421471-1481819197.png\")
\n\n分析：\n\n$R_1$：$0 < m?$，是，$S=0+2$，$k=2$ \n\n$R_2$：$2$A.4$ $B.3$ $C.1$ $D.0$
\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201703/992978-20170324101433861-795647488.png\")
\n\n分析：由题目和程序框图可知，$f(x) = \\begin{cases}f(x)，f(x)\\ge g(x)\\\\ g(x)，f(x)< g(x) \\end{cases}$\n\n$=\\begin{cases}x^2-x+1 &-1\\leq x \\leq 3\\\\ x+4 &x<-1,x>3 \\end{cases}$，求函数$h(x)_{min}=3$，故选$B$.\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201703/992978-20170330165206664-1743143134.png\")
\n\n考点：算法框图，函数在点处的切线，裂项相消法，算法和函数、数列的交汇\n\n分析：本题目的考点比较多，需要先计算出$a=-1$，从而$f(x)=x^2+x=x(x+1)$，\n所以程序框图中的$S=S+\\cfrac{1}{f(x)}$，而$\\cfrac{1}{f(x)}=\\cfrac{1}{x}-\\cfrac{1}{x+1}$.\n\n同时还考察了真分数的性质$\\cfrac{a}{b}<\\cfrac{a+1}{b+1}(a$A.4$ $B.5$ $C.6$ $D.7$
\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201703/992978-20170324101550627-1614008050.png\")
\n\n分析：\n \n$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.5$
\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170703224100909-534264777.jpg\")
\n\n分析：由于$a=-1$，则\n\n$R_1$：$1\\leq 6$，是，$S=-1$，$a=1$，$k=2$\n\n$R_2$：$2\\leq 6$，是，$S=1$，$a=-1$，$k=3$\n\n$R_3$：$3\\leq 6$，是，$S=-2$，$a=1$，$k=4$\n\n$R_4$：$4\\leq 6$，是，$S=2$，$a=-1$，$k=5$\n\n$R_5$：$5\\leq 6$，是，$S=-3$，$a=1$，$k=6$\n\n$R_6$：$6\\leq 6$，是，$S=3$，$a=-1$，$k=7$\n\n$R_7$：$7\\leq 6$，否，输出$S=3$。\n \n![](\"https://img2018.cnblogs.com/blog/992978/201901/992978-20190122104853871-1678874911.jpg\")
\n\n$A.$$A>1000$和$n=n+1$
$B.$$A>1000$和$n=n+2$
$C.$$A\\leqslant 1000$和$n=n+1$
$D.$$A\\leqslant 1000$和$n=n+2$
$A.28$ $B.10$ $C.4$ $D.2$
\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201802/992978-20180209092535513-1589657113.png\")
\n\n分析：本题目选B。具体解答过程看下面的程序演示：\n\n\n\n感悟反思：1、这是我第一次用javascript实现的程序框图题目。给自己点个赞；\n\n\n$A.(-\\infty，27)$ $B.(3，27)$ $C.[3，27)$ $D.[27，54)$
\n\n分析：第一次循环，当$i=1$时，不能退出循环，由于是将$log_3t$赋值给了$t$，故下一步判断应为$log_3t\\ge 0$，而不是$t\\ge 0$，此时$i=3$\n\n第二次循环，当$i=3$时，也不能退出循环，同上，应有$log_3(log_3t)\\ge 0$，此时$i=5$
\n\n第三次循环，当$i=5$时，应该退出循环，同上，应有$log_3[log_3(log_3t)]< 0$，此时输出$i=5$
\n\n故要求得$t$的范围，必须满足如下的不等式组，
\n\n
![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201804/992978-20180422200953069-1454669926.png\")
\n\n$\\begin{cases}log_3t\\ge 0\\\\log_3(log_3t)\\ge 0\\\\log_3[log_3(log_3t)]< 0\\end{cases}$\n\n求解$log_3t\\ge 0=log_31$得到$t\\ge 1①$；\n\n求解$log_3(log_3t)\\ge 0=log_31$得到$t\\ge 3②$；
\n\n求解$log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31$得到$3 < t <27③$；
\n\n求交集得到$3 < t < 27$，故选B。
\n\n解后反思：\n\n1、 熟练掌握对数不等式组的解法。每解决一个对数不等式，都需要从单调性和定义域两个角度来限制，\n\n比如求解不等式$log_3[log_3(log_3t)]< 0$，\n\n从定义域的角度来限制，必须满足每一个真数都大于零，\n\n即$\\begin{cases}t>0\\\\log_3t>0\\\\log_3(log_3t)>0\\end{cases}$，即$\\begin{cases}t>0\\\\log_3t>0=log_31\\\\log_3(log_3t)>log_31\\end{cases}$，\n\n即$\\begin{cases}t>0\\\\t>1\\\\log_3t>1\\end{cases}$，即$\\begin{cases}t>0\\\\t>1\\\\t>3\\end{cases}$\n\n故从定义域的角度得到$t>3$\n\n从单调性的角度来限制，需要先将常数对数化，目的是为了利用单调性，将真数位置的整体降到一般位置，\n\n即先变形为$log_3[log_3(log_3t)]< log_31$，则由单调性得到$log_3(log_3t)]<1$，\n\n即$log_3(log_3t)]<1=log_33$，\n\n即$log_3t<3=log_327$，即从单调性角度得到，$t<27$\n\n综上，不等式$log_3[log_3(log_3t)]< 0$的解集为$3 < t < 27$。\n\n* 2018宝鸡市三检理科数学第15题，程序框图和古典概型的结合", "BlogId": 294450, "Description": "程序框图习题", "DateUpdated": "2024-09-03T18:49:00", "IsMarkdown": true, "EntryName": null, "CreatedTime": "2017-03-23T08:53:16", "IsActive": true, "AutoDesc": "两种循环结构 当型循环：先判断后循环，条件满足时执行循环； 直到型循环：先循环后判断，条件满足时终止循环； 常用变量 1、计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如\\(i=i+1\\)，往往初值\\(i=0\\)，如果是奇数或者偶数的递增，则使用\\(i=i+2\\)； 2、累加变量：用来计算数据之和，如\\(S", "AccessPermission": "Anonymous" }, { "Id": 6627265, "Title": "线性回归和独立性检验难点解析", "DateAdded": "2018-08-06T11:20:00", "SourceUrl": null, "PostType": "BlogPost", "Body": "## 推导难点\n\n> 线性回归方程的推导难点： \n\n给定一组数据$(x_1，y_1)，(x_2，y_2)，\\cdots，(x_n，y_n)$，则该组数据的样本中心为$(\\bar{x}，\\bar{y})$，其中$\\bar{x}=\\cfrac{1}{n}\\sum\\limits_{i=1}^n{x_i}$，$\\bar{y}=\\cfrac{1}{n}\\sum\\limits_{i=1}^n{y_i}$\n\n可知，线性回归直线方程为[具体计算公式，题目中往往直接给定]：$$\\widehat{y}=\\widehat{b}x+\\widehat{a}$$\n\n其中回归系数$\\hat{b}$的部分推导过程如下： \n\n$$\\hat{b}=\\cfrac{\\sum\\limits_{i=1}^n{(x_i-\\bar{x})(y_i-\\bar{y})}}{\\sum\\limits_{i=1}^n{(x_i-\\bar{x})^2}}=\\cfrac{\\sum\\limits_{i=1}^n{x_iy_i-n\\cdot\\bar{x}\\cdot\\bar{y}}}{\\sum\\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\\cdot\\bar{x}^2}}$$\n\n回归系数$\\hat{a}$的计算公式：\n\n$$\\hat{a}=\\bar{y}-\\hat{b}\\cdot\\bar{x}$$\n\n* 上述公式中的部分难点变形说明如下：\n\n$$\\begin{align*}\\sum\\limits_{i=1}^n{(x_i-\\bar{x})(y_i-\\bar{y})}&=\\sum\\limits_{i=1}^n{(x_iy_i-x_i\\bar{y}-\\bar{x}y_i+\\bar{x}\\bar{y})}\\\\&=\\sum\\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-\\bar{y}\\sum\\limits_{i=1}^n{x_i}-\\bar{x}\\sum\\limits_{i=1}^n{y_i}+\\bar{x}\\bar{y}\\sum\\limits_{i=1}^n{1}\\\\&=\\sum\\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-n\\bar{x}\\bar{y}-n\\bar{x}\\bar{y}+n\\bar{x}\\bar{y}\\\\&=\\sum\\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-n\\bar{x}\\bar{y}\\end{align*}$$\n \n仿照这个推导思路，你能推导$\\sum\\limits_{i=1}^n{(x_i-\\bar{x})^2}=\\sum\\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\\bar{x}^2}$吗？\n\n提示：从2016和2022高考试题解答来看，以下公式是需要记忆的：\n\n$\\sum\\limits_{i=1}^n{(x_i-\\bar{x})(y_i-\\bar{y})}$$=$$\\sum\\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-n\\bar{x}\\bar{y}$， $\\sum\\limits_{i=1}^n{(x_i-\\bar{x})^2}=\\sum\\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\\bar{x}^2}$，\n\n\n## 计算难点\n\n
【案列1】均值不等式中$a$、$b$的内涵
\n\n初次学习时，我们用到的是这样的表达式：$a+b\\ge 2\\sqrt{ab}$，$a>0$，$b>0$；\n\n但是具体题目中更多的是用到这样的式子：\n\n$x+\\cfrac{2}{x}\\geqslant 2\\sqrt{2}(x >0)$；
$\\cfrac{2}{x}+\\cfrac{x}{2}\\geqslant 2(x >0)$；
\n\n\n
$2^x+2^y\\geqslant 2\\sqrt{2^{x+y}}$；
$log_a^b+log_b^a\\geqslant 2(log_a^b >0)$；
\n\n\n
$sinx+\\cfrac{1}{sinx}\\geqslant 2(0 < sinx \\leqslant 0)$；
$\\cfrac{a^2+b^2}{ab}=\\cfrac{a}{b}+\\cfrac{b}{a}\\geqslant 2(a，b>0)$；
【案列2】数列中的$a_n$的内涵
\n\n比如你见到这样的式子 $a_{n+1}－a_n = m$ ($m$常数)你一定会反应出数列$\\{a_n\\}$是等差数列，继续往下看，你会解读下列的等差数列吗？：\n\n①$\\cfrac{1}{a_{n+1}}－\\cfrac{1}{a_n} = m$，则数列$\\{\\cfrac{1}{a_n}\\}$是首项为$\\cfrac{1}{a_1}$，公差为$m$的等差数列；\n\n②$\\cfrac{1}{S_{n+1}}－\\cfrac{1}{S_n} = m$，则数列$\\{\\cfrac{1}{S_n}\\}$是首项为$\\cfrac{1}{a_1}$，公差为$m$的等差数列；\n\n③$\\cfrac{a_{n+1}}{n+1}－\\cfrac{a_n}{n} = m$，则数列$\\{\\cfrac{a_n}{n}\\}$是首项为$\\cfrac{a_1}{1}$，公差为$m$的等差数列；\n\n④$\\cfrac{n}{a_{n+1}+(n+1)}－\\cfrac{n-1}{a_n+n} = m$，则数列$\\{\\cfrac{n-1}{a_n+n}\\}$是首项为$\\cfrac{1-1}{a_1+1}$，公差为$m$的等差数列；\n\n⑤$(a_{n+1}+(n+1))－(a_n + n) = m$， 则数列$\\{a_n+n\\}$是首项为$a_1+1$，公差为$m$的等差数列；\n\n⑥$a_{n+1}^2－a_n^2 = m$，则数列$\\{a_n^2\\}$是首项为$a_1^2$，公差为$m$的等差数列；\n\n⑦$log_m^\\,{a_{n+1}^2}－log_m^\\,{a_n^2} = p$，则数列$\\{log_m^\\,{a_n^2}\\}$是首项为$log_m^\\,{a_1^2}$，公差为$p$的等差数列；\n\n⑧$a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n$，则数列$\\{a_{n+1}-2a_n\\}$是首项为$a_2-2a_1$，公差为$0$的等差数列；\n\n以上所列举的凡此种种，都是等差数列，\n\n试问，你能将上述的表达式用一个数学式来刻画吗？\n\n$$a_{n+1}-a_n=d(n\\in N^*，d为常数)$$\n\n因此务必理解透彻$a_{n+1}$和$a_n$的“内涵”；\n\n再如下列引例：\n\n①$\\cfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1} = m$， 则数列$\\{a_n+1\\}$是首项为$a_1+1$，公比为$m$的等比数列；\n\n②$\\cfrac{a_{n+1}+(n+1)}{a_n + n} = m$，则数列$\\{a_n+n\\}$是首项为$a_1+1$，公比为$m$的等比数列；\n\n③$\\cfrac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = m$，则数列$\\{a_n^2\\}$是首项为$a_1^2$，公比为$m$的等比数列；\n\n④$a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)$，则数列$\\{a_{n+1}-a_n\\}$是首项为$a_2-a_1$，公比为$2$的等比数列；\n\n以上所列举的凡此种种，都是等比数列，\n\n试问，你能将上述的表达式用一个数学式来刻画吗？\n\n$$\\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(n\\in N^*，q为常数)$$\n\n## 不等式案例\n\n【案例3】二次不等式中未知数的内涵
\n\n* 如$x^2-3x+2\\leqslant 0$，如果能理解不等式中的$x$的内涵，$x\\Rightarrow 代数式$，\n\n则可以解决诸如这样的不等式：\n\n$(2^x)^2-3\\cdot (2^x)+2\\leqslant 0；$
$(log_2^{\\;\\; x})^2-3\\cdot (log_2^{\\;\\;x})+2\\leqslant 0；$
\n\n
$(2^x-2)^2-3\\cdot (2^x-2)+2\\leqslant 0；$
$(sinx+1)^2-3\\cdot (sinx+1)+2\\leqslant 0；$
\n\n
$(\\cfrac{1}{x})^2-3\\cdot (\\cfrac{1}{x})+2\\leqslant 0；$
$(|x|+1)^2-3\\cdot (|x|+1)+2\\leqslant 0；$
\n\n
【案例4】不等式证明中
\n\n\n* 由已经知道的结论或者容易证明的结论$e^x\\ge x+1$，\n\n用$\\cfrac{1}{n}$替换$x$，则变形得到：$e^{\\frac{1}{n}}>\\cfrac{1}{n}+1 (n\\in N^*)$；\n\n* 再如由$lnx\\leq x-1$，\n\n用$x+1$替换$x$，变形得到$$ln(x+1)\\leq x，$$\n\n用$\\cfrac{1}{n}$替换$x$，变形得到$$ln(\\cfrac{1}{n}+1)<\\cfrac{1}{n}(n\\in N^*)$$ \n\n即可以得到：$$ln(\\cfrac{1}{n}+1)=ln(n+1)-lnn<\\cfrac{1}{n}(n\\in N^*)$$\n\n## 框图案例\n\n【案例5】程序框图中
\n\n比如程序框图的循环体中有这样一句，$t= log_3t$\n\n则执行第一次循环，左边的$t$的内涵为$log_3t$；即$log_3t\\Rightarrow t$；\n\n则执行第二次循环，左边的$t$的内涵为$log_3(log_3t)$；即$log_3(log_3t)\\Rightarrow t$；\n\n则执行第三次循环，左边的$t$的内涵为$log_3[log_3(log_3t)]$；即$log_3[log_3(log_3t)]\\Rightarrow t$；",
"BlogId": 294450,
"Description": "用案例说明如何理解代数式的 \"代数\" 本质，提高学生的数学素养。",
"DateUpdated": "2022-10-30T11:10:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-04-10T18:59:58.497",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "如何理解 在小学阶段我们学习的数学，主要针对数字运算，称为“算术”，在初中和高中阶段我们学习的数学，开始有了字母，用字母代替数字思维，称为“代数”。 那么我们到底该如何理解代数呢？不妨借助以下的案例来思考体会； 均值不等式案例 【案列1】均值不等式中$a$、$b$的内涵 初次学习时，我们用到的是这样",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6691247,
"Title": "抽象函数的对称性验证",
"DateAdded": "2018-10-01T22:38:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n抽象函数的性质往往不太好想，所以举个例子，加以验证。作为学生，不需要知道那么严谨的逻辑证明，只要会用结论就行了。\n\n## 图像说明\n\n:writing_hand: 轴对称函数所举的例子：$f(x)=\\cfrac{1}{4}(x-2)^2$；具体函数$\\Rightarrow$抽象函数；\n\n \n\n【结论】若函数 $f(x)$ 满足条件 $f(x)=f(4-x)$，则函数是轴对称图形，其对称轴是 $x$$=$$\\cfrac{(x)+(4-x)}{2}$$=2$；\n\n\n\n:writing_hand: 中心对称函数所举的例子：$g(x)=(x-1)^3$；具体函数$\\Rightarrow$抽象函数；\n\n\n\n【结论】若函数 $g(x)$ 满足条件 $g(x)$$+$$g(2-x)$$=$$0$，则函数是中心对称图形，其对称中心是 $(x_0，y_0)$，\n\n具体坐标算法为$x_0=\\cfrac{(x)+(2-x)}{2}=1$，$y_0=\\cfrac{y_1+y_2}{2}$$=\\cfrac{g(x)+g(2-x)}{2}$$=\\cfrac{0}{2}=0$；\n\n## 逻辑证明\n\n$A.$在$(0，2)$上单调递增
$B.$在$(0，2)$上单调递减
$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称
$D.y=f(x)$的图像关于点$(1，0)$对称
$A.f(x)$在$(0，4)$上单调递增
$B.f(x)$在$(0，4)$上单调递减
$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=2$对称
$D.y=f(x)$的图像关于点$(2，0)$对称
\n\n若$x\\in [-\\cfrac{\\pi}{3}，\\cfrac{\\pi}{4}]$，则可得\n\n$-\\cfrac{2\\pi}{3}\\leq 2x\\leq \\cfrac{\\pi}{2}$，则$-\\cfrac{\\pi}{3}\\leq 2x+\\cfrac{\\pi}{3}\\leq \\cfrac{5\\pi}{6}$，\n\n故当$2x+\\cfrac{\\pi}{3}=-\\cfrac{\\pi}{3}$，即$x=-\\cfrac{\\pi}{3}$时，$f(x)_{min}=f(-\\cfrac{\\pi}{3})=2\\times (-\\cfrac{\\sqrt{3}}{2})+1=-\\sqrt{3}+1$；\n\n故当$2x+\\cfrac{\\pi}{3}=\\cfrac{\\pi}{2}$，即$x=\\cfrac{\\pi}{12}$时，$f(x)_{max}=f(\\cfrac{\\pi}{12})=2\\times 1+1=3$；\n\n* 求单调区间$\\left(x\\in R 或x\\in [-\\cfrac{\\pi}{4}，\\cfrac{\\pi}{2}]\\right)$(具体解法参见例2的法1和法2)\n\n* 求函数$f(x)$对称轴方程和对称中心坐标；\n\n令$2x+\\cfrac{\\pi}{3}=k\\pi+\\cfrac{\\pi}{2}(k\\in Z)$，得到$f(x)$对称轴方程为$x=\\cfrac{k\\pi}{2}+\\cfrac{\\pi}{12}(k\\in Z)$；\n\n令$2x+\\cfrac{\\pi}{3}=k\\pi(k\\in Z)$，得到$f(x)$的对称中心坐标为$(\\cfrac{k\\pi}{2}-\\cfrac{\\pi}{6}，1)(k\\in Z)$\n\n* 求奇偶性$\\left(奇函数利用f(0)=0；偶函数利用f(0)=f(x)_{max}或f(x)_{min}\\right)$\n\n比如，函数$g(x)=2sin(2x+\\phi+\\cfrac{\\pi}{3})(\\phi\\in (0，\\pi))$是偶函数，求$\\phi$的值。\n\n分析：由于函数$g(x)$是偶函数，则在$x=0$处必然取到最值，\n\n故有$2\\times 0+\\phi+\\cfrac{\\pi}{3}=k\\pi+\\cfrac{\\pi}{2}(k\\in Z)$，\n\n则$\\phi=k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}(k\\in Z)$\n\n令$k=0$，则$\\phi=\\cfrac{\\pi}{6}\\in (0，\\pi)$，满足题意，故所求$\\phi=\\cfrac{\\pi}{6}$时，函数$g(x)$是偶函数。\n\n\n\n当$-\\cfrac{5\\pi}{6}\\leq 2x-\\cfrac{\\pi}{3}\\leq -\\cfrac{\\pi}{2}$时，求得函数在区间$[-\\cfrac{\\pi}{4}，-\\cfrac{\\pi}{12}]$单调递减；\n\n当$-\\cfrac{\\pi}{2}\\leq 2x-\\cfrac{\\pi}{3}\\leq \\cfrac{\\pi}{6}$时，求得函数在区间$[-\\cfrac{\\pi}{12}，\\cfrac{\\pi}{4}]$单调递增；\n\n$A.\\angle B >60^{\\circ}$ $B.\\angle B \\geqslant 60^{\\circ}$ $C.\\angle B <60^{\\circ}$ $D.\\angle B \\leqslant 60^{\\circ}$
\n\n解析：$\\Delta=(sinA-sinC)^2-4(sinB-sinA)(sinC-sinB)$\n\n$=sin^2A-2sinAsinC+sin^2C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin^2B+sinAsinB)$\n\n$=(sinA+sinC)^2-4sinB(sinA+sinC)+4sin^2B$\n\n$=(sinA+sinC-2sinB)^2$\n\n令上式$\\Delta=0$，得\n\n$2sinB=sinA+sinC=2sin\\frac{A+C}{2}cos\\frac{A-C}{2}\\Longrightarrow $\n\n$4sin\\frac{B}{2}cos\\frac{B}{2}$\n\n$=2cos\\frac{B}{2}cos\\cfrac{A-C}{2} \\Longrightarrow$\n\n$2sin\\cfrac{B}{2}=cos\\cfrac{A-C}{2}$\n\n$\\because 0\\leq \\cfrac{A-C}{2} <90^{\\circ}$ ，$\\therefore 0$A.[k\\pi-\\cfrac{2\\pi}{3} ，k\\pi-\\cfrac{\\pi}{6}](k\\in Z)$
$B.[k\\pi-\\cfrac{\\pi}{6} ，k\\pi+\\cfrac{\\pi}{3}](k\\in Z)$
$C.[k\\pi-\\cfrac{5\\pi}{12} ，k\\pi+\\cfrac{\\pi}{12}](k\\in Z)$
$D.[k\\pi+\\cfrac{\\pi}{12} ，k\\pi+\\cfrac{7\\pi}{12}](k\\in Z)$
$A.3\\alpha-\\beta=\\cfrac{\\pi}{2}$ $B.3\\alpha+\\beta=\\cfrac{\\pi}{2}$ $C.2\\alpha-\\beta=\\cfrac{\\pi}{2}$ $D.2\\alpha+\\beta=\\cfrac{\\pi}{2}$
\n\n分析：切化弦得到，$\\cfrac{sin\\alpha}{cos\\alpha}=\\cfrac{1+sin\\beta}{cos\\beta}$，\n\n即$sin\\alpha cos\\beta-cos\\alpha sin\\beta=cos\\alpha$，即$sin(\\alpha-\\beta)=cos\\alpha$；\n\n又由已知可得，$-\\cfrac{\\pi}{2}<\\alpha-\\beta<-\\cfrac{\\pi}{2}$，\n\n再结合$sin(\\alpha-\\beta)=cos\\alpha$，$\\alpha \\in (0，\\cfrac{\\pi}{2})$，$cos\\alpha>0$，\n\n故可将$-\\cfrac{\\pi}{2}<\\alpha-\\beta<-\\cfrac{\\pi}{2}$压缩为$0<\\alpha-\\beta<-\\cfrac{\\pi}{2}$，，\n\n这样$sin(\\alpha-\\beta)=cos\\alpha$；且$\\alpha，\\alpha-\\beta \\in (0，\\cfrac{\\pi}{2})$，\n\n故有$(\\alpha-\\beta)+\\alpha=\\cfrac{\\pi}{2}$，即$2\\alpha-\\beta=\\cfrac{\\pi}{2}$，选C.\n\n$A.a > b+1$ $B.a > b-1$ $C.a^2 > b^2$ $D.a^3 > b^3$
\n\n分析：由于题干$a>b$等价于$a-b>0$，本题目是想问，哪一个选项能是$a>b$的充分不必要条件，逐项分析如下：\n\n$A$选项，即$a-b>1$，故是充分不必要条件；\n\n$B$选项，即$a-b>-1$，故是必要不充分条件；\n\n$C$选项，即$a>b\\not\\Rightarrow a^2>b^2$，且$a^2>b^2\\not\\Rightarrow a>b$(结合函数$y=x^2$,举一个反例就行)，故既不充分也不必要条件；\n\n$D$选项，$y=x^3$是增函数，即$a>b\\Rightarrow a^3>b^3$，且$a^3>b^3 \\Rightarrow a>b$，故是充要条件；\n\n故选$A$;\n\n$A.$存在$x\\in R，f(x) < f(m)$
$B.$存在$x\\in R，f(x) > f(m)$
$C.$任意$x\\in R，f(x)\\leq f(m)$
$D.$任意$x\\in R，f(x)\\ge f(m)$
$A.\\exists x<0,\\cfrac{x}{x-1}\\leqslant0$ $B.\\exists x>0,0\\leqslant x\\leqslant1$ $C.\\exists x>0,\\cfrac{x}{x-1}\\leqslant0$ $D.\\forall x>0,0\\leqslant x\\leqslant1$
\n\n解：本题目学生容易按照改写量词，否定结论的思路，错误的选择$C$，其实，$\\cfrac{x}{x-1}>0$的否定应该是$\\cfrac{x}{x-1}\\leqslant0$或$x-1=0$两种情况，由于正面$\\cfrac{x}{x-1}>0$中不含有$x-1=0$，故其否定中应该含有$x-1=0$；\n\n可以这样思考，将$\\cfrac{x}{x-1}>0$解出来得到，$x<0$或$x>1$，故其否定应该为$0\\leqslant x\\leqslant1$，故本题目应该选择$B$ .\n\n\n\n\n\n\n$A.$任意$x\\in R$，存在$n\\in N^*$，使得$n< x^2$
$B.$任意$x\\in R$，任意$n\\in N^*$，使得$n< x^2$
$C.$存在$x\\in R$，存在$n\\in N^*$，使得$n< x^2$
$D.$存在$x\\in R$，任意$n\\in N^*$，使得$n< x^2$
$A.$任意$n\\in N^*$，$f(n)\\not\\in N^*$且$f(n)>n$
$B.$任意$n\\in N^*$，$f(n)\\not\\in N^*$或$f(n)>n$
$C.$存在$n_0\\in N^*$，$f(n_0)\\not\\in N^*$且$f(n_0)>n_0$
$D.$存在$n_0\\in N^*$，$f(n_0)\\not\\in N^*$或$f(n_0)>n_0$
$A.$当$n=6$时，该命题不成立
$B.$当$n=6$时，该命题成立
$C.$当$n=4$时，该命题不成立
$D.$当$n=6$时，该命题成立
$A.\\{a\\mid 0< a <1$或$a>2\\}$
$B.\\{a\\mid 0< a <1$或$a\\ge 2\\}$
$C.\\{a\\mid 1< a \\leq 2\\}$
$D.\\{a\\mid 1\\leq a\\leq 2\\}$
$A.$必要不充分条件
$B.$充分不必要条件
$C.$充分必要条件
$D.$既不充分也不必要条件
$A.$所有偶函数的图像都不关于$y$轴对称
$B.$不是偶函数的图像都关于$y$轴对称
$C.$存在一个偶函数的图像不关于$y$轴对称
$D.$存在一个偶函数的图像关于$y$轴对称
$A.$乙可以知道四人的成绩
$B.$丁可以知道四人的成绩
$C.$丙、丁可以知道对方的成绩
$D.$乙、丁可以知道自己的成绩
$A.小赵、小谭 $ $B.小马、小宋$ $C.小马、小谭$ $D.小赵、小宋$
\n\n分析：小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生” ，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；\n\n小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；\n\n小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；\n\n这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭，故选A.\n\n$A.T_{2n-1}=(2n-1)+b_n$
$B.T_{2n-1}=(2n-1)b_n$
$C.T_{2n-1}=(2n-1)^{b_n}$
$D.T_{2n-1}=(b_n)^{2n-1}$
$A.217$ $B.400$ $C.465$ $D.500$
\n\n分析：类比求36的所有正约数之和的方法，因为$200=2^3×5^2$，所以200的所有正约数和为$(1+2+2^2+2^3)(1+5+5^2)=465$。故选$C$.\n\n$A.男医生$ $B.男护士$ $C.女医生$ $D.女护士$
\n \n分析：设男医生为$a$个，女医生为$b$个，女护士为$c$个，男护士为$d$个，则由题目可知\n\n$\\begin{cases}&a+b+c+d=17\\\\&a+b\\ge c+d\\\\&c>a\\\\&a>b\\\\&d\\ge 2\\end{cases}$，由于$b-d\\ge c-a>0$，故$b>d$，\n\n故得到$c>a>b>d\\ge 2$。\n\n当$d=2$时，我们可以依次给其他三个变量赋值，比如$c(5)>a(4)>b(3)>d(2)$，此时不满足和为17；\n\n再换一组比如$c(8)>a(4)>b(3)>d(2)$，又不满足$a+b\\ge c+d$，\n\n这样一路测试下来，只有$c(6)>a(5)>b(4)>d(2)$是满足所有条件的，而且此时只有$b-1=3$， \n\n还满足刚才的式子，说明那个人只能是女医生；\n\n当$d>2$，比如$d=3$时，仿上赋值$c(6)>a(5)>b(4)>d(3)$，或者其他的赋值方式，都是不符合题意的，\n\n综上所述，那个人只能是女医生；故选C.\n\n反思总结 ：这样的题目我们往往不知道从何入手，但是当我们把题目转化为不等式组这个数学模型时，我们就有了切入点了。\n\n$A.$锐角三角形
$B.$直角三角形
$C.$钝角三角形
$D.$以上都有可能
$A.2069$ $B.2039$ $C.2009$ $D.1979$
\n\n解析：观察总结可知， $n^3$ 的分解式有 $n$ 个奇数的和，而 \n\n$2^3$ 的展开式中的第一项为 $3=1\\times 2+1$；\n\n$3^3$ 的展开式中的第一项为 $7=2\\times 3+1$；\n\n$4^3$ 的展开式中的第一项为 $13=3\\times 4+1$；\n\n$5^3$ 的展开式中的第一项为 $21=4\\times 5+1$；\n\n故归纳总结可知，$45^3$的展开式中的第一项必然为$44\\times 45+1=1981$，\n\n故$45^{3}$ 的分解和式中一定不含有$1979$，故选 $D$.\n\n$A.(-\\infty，0)$ $B.(0，+\\infty)$ $C.(1，+\\infty)$ $D.(-\\infty，1)$
\n\n分析：先将所给的条件化简如下，由 $2^{f(x)}$$\\cdot$$2^{f'(x)}$$>$$2$ 得到 $f(x)$$+$$f'(x)$$-$$1$$>$$0$，\n\n由 $f(0)$$=$$27^{\\frac{2}{3}}$$-$$2^{log_2^\\;3}$$\\times$$\\log_2^\\;{\\frac{1}{8}}$$+$$2lg(\\sqrt{3+\\sqrt{5}}+\\sqrt{3-\\sqrt{5}})$$-$$11$，\n\n得到 $f(0)$$=$$8$，由所求解的不等式 $\\cfrac{f(x)-1}{e^{ln7-x}}$$>$$1$ 得到 $e^x$$\\cdot$$f(x)$$-$$e^x$$-$$7$$>$$0$；\n\n故这样构造函数，令 $g(x)$$=$$e^x$$\\cdot$$f(x)$$-$$e^x$$-$$7$，\n\n则 $g'(x)$$=$$e^x$$\\cdot$$f(x)$$+$$e^x$$\\cdot$$f'(x)$$-$$e^x$$=$$e^x$$(f(x)+f'(x)-1)$$>$$0$，\n\n故 $g(x)$ 在 $R$ 上单调递增；又 $g(0)$$=$$e^0$$\\cdot$$f(0)$$-$$e^0$$-$$7$$=$$0$，故 $g(x)$$>$$0$ 的解集为 $(0，+\\infty)$ ，\n\n即不等式 $\\cfrac{f(x)-1}{e^{ln7-x}}$$>$$1$ 的解集为 $(0，+\\infty)$ ，选 $B$ .\n\n:warning: [本题目的简化版]已知 $e$ 是自然对数的底数，函数 $f(x)$ 的定义域是 $R$，$f(x)$$+$$f'(x)$$-$$1$$>$$0$，$f(0)$$=$$8$，则不等式$e^x$$\\cdot$$f(x)$$-$$e^x$$-$$7$$>$$0$的解集是【$\\qquad$】 \n\n$A.(-\\infty，0)$ $B.(0，+\\infty)$ $C.(1，+\\infty)$ $D.(-\\infty，1)$
\n\n故这样构造函数，令$g(x)$$=$$e^x$$\\cdot$$f(x)$$-$$e^x$$-$$7$，则$g'(x)$$=$$e^x$$\\cdot$$f(x)$$+$$e^x$$\\cdot$$f'(x)$$-$$e^x$$=$$e^x$$(f(x)+f'(x)-1)$$>$$0$，故 $g(x)$ 在 $R$ 上单调递增；\n\n又 $g(0)$$=$$e^0$$\\cdot$$f(0)$$-$$e^0$$-$$7$$=$$0$，故 $g(x)$$>$$0$ 的解集为 $(0，+\\infty)$ ，即不等式 $\\cfrac{f(x)-1}{e^{ln7-x}}>1$的解集为$(0，+\\infty)$ ，选 $B$ .\n",
"BlogId": 294450,
"Description": "函数与导数类结合的题目是高考中的压轴题目。",
"DateUpdated": "2024-11-15T17:33:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-04-24T21:14:57.41",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前情概要 现在看七八年前编写的博文，还是有点粗糙的，今天得空，重新编辑，将其中的题目归类到相应的博文中 . 低阶题目 已知函数 \\(f(x)\\)\\(=\\)\\(\\cfrac{ax+b}{x}\\)\\(\\cdot\\)\\(e^x\\)，\\(a\\)、\\(b\\)\\(\\in\\)\\(R\\)，\\(a>0\\)， (1).",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6762835,
"Title": "数列的周期性",
"DateAdded": "2017-04-25T16:34:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前情概要\n\n* 数列是特殊的函数，则数列在考查时，完全可能考查其周期性或单调性，本博文主要探究数列的周期性。数列的周期性体现为其一为数列的项的周期性；其二为某几项的和的周期性；\n\n## 函数周期性\n\n1、$f(x+4)=f(x)$或者$f(x+2)=f(x-2)\\Longrightarrow T=4$ [详细推导](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7674322.html)\n\n2、$f(x+a)=-f(x)\\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0\\Longrightarrow T=2a$ \n\n3、$f(x+a)=b-f(x)\\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=b\\Longrightarrow T=2a$\n\n4、$f(x+a)=\\cfrac{k}{f(x)}(k\\neq 0)\\Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k \\Longrightarrow T=2a$;\n\n5、$f(x+2)=f(x+1)-f(x)\\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\\Longrightarrow T=6$\n \n6、$f(x+6)=f(x)+f(3)$，且$f(x)$为偶函数，$\\Longrightarrow$ $T=6$(赋值法)\n\n7、$f(x+6)=f(x)+nf(3)(n\\in N^*)$，且$f(x)$为偶函数，$\\Longrightarrow$ $T=6$(赋值法) \n\n## 数列周期性\n\n务必注意：数列是[特殊的函数](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/8408629.html)，$a_n=f(n)$，透彻理解这句话的内涵；\n\n* $a_{n+2}=a_n$或$a_{n+2}-a_n=0$；则数列的$T=2$；\n\n分析：类比$f(n+2)=f(n)$，再类比$f(x+2)=f(x)$；\n\n* $a_{n+2}=-a_n$或 $a_{n+2}+a_n=0$；则数列的$T=4$；\n\n分析：类比$f(n+2)=-f(n)$，再类比$f(x+2)=-f(x)$；\n\n* $a_{n+2}=\\cfrac{k}{a_n}$或$a_{n+2}\\cdot a_n=k$；$k$为常数；等积数列，则数列的$T=4$；\n\n分析：类比$f(n+2)=\\cfrac{k}{f(n)}$，再类比$f(x+2)=\\cfrac{k}{f(x)}$，；\n\n* $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$或$a_{n+2}+a_n=a_{n+1}$；则数列的$T=6$；\n\n分析：类比$f(n+2)=f(n+1)-f(n)$，再类比$f(x+2)=f(x+1)-f(x)$；\n\n* $a_{n+2}\\cdot a_n=a_{n+1}$或$a_{n+2}=\\cfrac{a_{n+1}}{a_n}$；则数列的$T=6$；\n\n分析：由 $a_{n+2}\\cdot a_n=a_{n+1}$①，得到 $a_{n+3}\\cdot a_{n+1}=a_{n+2}$②；\n\n两式相乘，得到$a_{n+3}\\cdot a_n=1$，即$a_{n+3}=\\cfrac{1}{a_n}$，故数列的$T=6$；\n\n* $a_{n+1}=(-1)^n(a_n+1)$；通过计算得到周期；\n\n* 由$a_n+a_{n-1}=4(n\\ge 2)$，数列的周期为$T=2$；\n\n分析：构造$a_{n+1}+a_n=4$，两式做差，得到$a_{n+1}-a_{n-1}=0$，即数列的周期为$T=2$；\n\n\n\n以下待验证\n\n\n\n* $a_{n+1}=\\cfrac{1-a_{n}}{1+a_{n}}$ $\\Rightarrow T=2$，\n\n* $f(n)+f(n-1)+f(n-3)=c$，$\\Rightarrow T=3$，\n\n* $f(n)\\cdot f(n-1)\\cdot f(n-2)=c$，$\\Rightarrow T=3$，\n\n\n* $f(n+1)=\\cfrac{pf(n)+q}{rf(n)+s}$ ($p+s=0$，$q\\neq 0$，$r\\neq 0$) $\\Rightarrow T=2$，\n\n\n\n\n## 典例剖析\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201705/992978-20170512091038801-2036107043.png\")
\n\n（Ⅰ）求小球落入$A、B$袋中的概率$P(A)、P(B)$；\n\n（Ⅱ）在容器入口处依次放入3个小球，记$X$为落入$B$袋中小球的个数，试求$X$的分布列和数学期望$EX$．\n\n分析：（Ⅰ）设小球落入区域$A$为事件$A$，小球落入区域$B$为事件$B$，\n\n由于小球落下不落入区域$A$必然会落入区域$B$，故事件$A$和$B$互为对立事件；\n\n要使小球每次落入区域$B$中，则小球必须每次都从左边落下，或者每次都从右边落下，\n\n故$P(B)=\\cfrac{1}{2}\\times\\cfrac{1}{2}\\times\\cfrac{1}{2}+\\cfrac{1}{2}\\times\\cfrac{1}{2}\\times\\cfrac{1}{2}=\\cfrac{1}{4}$，\n\n由对立事件可知$P(A)=1-\\cfrac{1}{4}=\\cfrac{3}{4}$；\n\n备注：如果从正面思考$P(A)=\\cfrac{3}{4}$，可以仿照上例，\n\n应该是6个$\\cfrac{1}{2}\\times\\cfrac{1}{2}\\times\\cfrac{1}{2}=\\cfrac{1}{8}$；故也有$P(A)=6\\times \\cfrac{1}{8}=\\cfrac{3}{4}$；\n\n（Ⅱ）在容器入口处依次放入3个小球，每次小球落入区域$A$的概率都是$\\cfrac{3}{4}$，相当于做了3次独立重复试验，\n\n$X$为落入$A$袋中小球的个数，$X$的可能取值为$0，1，2，3$，故$X\\sim B\\left(3(n)，\\cfrac{3}{4}(p)\\right)$，\n\n$P(X=k)=C_3^k(\\cfrac{3}{4})^k(1-\\cfrac{3}{4})^{3-k}，k=0，1，2，3$，\n\n即$P(X=0)=C_3^0(\\cfrac{3}{4})^0(1-\\cfrac{3}{4})^{3-0}=\\cfrac{1}{64}$；$P(X=1)=C_3^1(\\cfrac{3}{4})^1(1-\\cfrac{3}{4})^{3-1}=\\cfrac{9}{64}$；\n\n$P(X=2)=C_3^2(\\cfrac{3}{4})^2(1-\\cfrac{3}{4})^{3-2}=\\cfrac{27}{64}$；$P(X=3)=C_3^3(\\cfrac{3}{4})^3(1-\\cfrac{3}{4})^{3-3}=\\cfrac{27}{64}$；\n\n故$X$的分布列为\n\n|$X$|$0$|$1$|$2$|$3$|\n|:------:|:-----:|:-----:|:-----:|:------:|\n|$P$$(X=k)$|$\\cfrac{1}{64}$|$\\cfrac{9}{64}$|$\\cfrac{27}{64}$|$\\cfrac{27}{64}$|\n\n数学期望$EX=np=3\\times\\cfrac{3}{4}=\\cfrac{9}{4} $．\n\n或$EX=0\\times\\cfrac{1}{64}+1\\times\\cfrac{9}{64}+2\\times\\cfrac{27}{64}+3\\times\\cfrac{27}{64}=\\cfrac{9}{4} $．\n\n\n\n（Ⅰ）. 求小球落入$A、B$袋中的概率$P(A)、P(B)$；\n\n解析： 设小球落入区域$A$为事件$A$，小球落入区域$B$为事件$B$，\n\n由于小球落下不落入区域$A$必然会落入区域$B$，故事件$A$和$B$互为对立事件；\n\n要使小球每次落入区域$B$中，则小球必须每次都从左边落下，或者每次都从右边落下，\n\n故$P(B)=\\cfrac{1}{3}\\times\\cfrac{1}{3}\\times\\cfrac{1}{3}+\\cfrac{2}{3}\\times\\cfrac{2}{3}\\times\\cfrac{2}{3}=\\cfrac{1}{3}$，\n\n由对立事件可知$P(A)=1-\\cfrac{1}{3}=\\cfrac{2}{3}$；\n\n备注：如果从正面思考$P(A)=\\cfrac{2}{3}$，可以仿照上例，应该是以下的六种情形：\n\n$\\cfrac{1}{3}\\times\\cfrac{1}{3}\\times\\cfrac{2}{3}$；$\\cfrac{1}{3}\\times\\cfrac{1}{3}\\times\\cfrac{2}{3}$；\n\n$\\cfrac{1}{3}\\times\\cfrac{2}{3}\\times\\cfrac{1}{3}$；$\\cfrac{2}{3}\\times\\cfrac{2}{3}\\times\\cfrac{1}{3}$；\n\n$\\cfrac{2}{3}\\times\\cfrac{1}{3}\\times\\cfrac{2}{3}$；$\\cfrac{2}{3}\\times\\cfrac{1}{3}\\times\\cfrac{1}{3}$；\n\n其和为$\\cfrac{18}{27}=\\cfrac{2}{3}$.\n\n\n（Ⅱ）. 在容器入口处依次放入 4 个小球，记 $X$ 为落入 $B$ 袋中小球的个数，试求 $X$ 的分布列和数学期望 $EX$。\n\n\n解析： 在容器入口处依次放入 4 个小球，每次小球落入区域 $A$ 的概率都是 $\\cfrac{2}{3}$，相当于做了 4 次独立重复试验，\n\n$X$ 为落入 $A$ 袋中小球的个数，$X$ 的可能取值为 $0，1，2，3，4$，故$X\\sim B\\left(4，\\cfrac{2}{3}\\right)$，\n\n\n$$P(X=k)=C_4^k(\\cfrac{2}{3})^k(1-\\cfrac{2}{3})^{4-k}，k=0，1，2，3，4$$\n\n故 $X$ 的分布列为\n\n\n|$X$|$0$|$1$|$2$|$3$|$4$|\n|:------:|:-----:|:-----:|:-----:|:------:|:------:|\n|$P$|$\\cfrac{1}{81}$|$\\cfrac{8}{81}$|$\\cfrac{24}{81}$|$\\cfrac{32}{81}$|$\\cfrac{16}{81}$|\n\n\n\n数学期望 $EX=4\\times\\cfrac{2}{3}=\\cfrac{8}{3}$．\n\n$A.0$ $B.1$ $C.-1$ $D.0或1$
\n\n解析：由于 $A\\subsetneqq B$ ，则 $a=-1$ 或 $a=a^2$ ；\n\n当 $a=-1$ 时，集合 $B$ 不满足元素互异性，故排除；\n\n当 $a=a^2$ 时，$a=0$ 或 $a=1$，当 $a=1$ 时，集合 $B$ 也不满足元素互异性，故排除；\n\n故 $a=0$，则选 $A$ .\n\n\n$A.3$ $B.6$ $C.8$ $D.10$
\n\n【解析】选$D$，由$x \\in A$，$y \\in A$得$x-y=0$或$x-y=\\pm1$或$x-y=\\pm2$或$x-y=\\pm3$或$x-y=\\pm4$，\n\n所以集合$B=\\{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)， (5，3)，(5，4)\\}$，\n\n所以集合$B$有10个元素。\n\n$A.2或-1$ $B.-2或-1$ $C.-2$ $D.\\pm2或-1$
\n\n分析：由题目可知，集合$A$有且仅有两个子集，说明集合$A$应该为单元素集合，从而说明仿二次方程$(k+2)x^2+2kx+1=0$，可能有一次方程和二次方程两种情形。\n\n当 $k=-2$ 时，原方程变形为一次方程 $-4x+1=0$，仅有一个解，适合题意；\n\n当 $k\\neq -2$ 时，原方程要仅有一个解，则必须 $\\Delta =0$，即 $(2k)^2-4\\cdot(k+2)\\cdot 1=0$，解得 $k=2$ 或 $k=-1$，满足题意，\n\n综上所述，实数$k$的取值为$\\pm 2$ 或 $-1$，故选$D$。\n",
"BlogId": 294450,
"Description": "集合习题，低阶习题，帮助初步理解集合的相关知识。",
"DateUpdated": "2024-10-09T14:49:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-04-28T16:08:33.773",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 用这些基本的题目，来理解巩固集合的基础知识和基本技能。基础好的同学请直接移步集合习题|高阶 基础习题 用列举法表示集合\\(\\{x\\in N\\mid \\cfrac{6}{6-x}\\in N\\}\\)=________________. 分析：\\(\\{0,3,4,5\\}\\) 用列举法表示集合\\(\\{",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6813411,
"Title": "新定义习题 01",
"DateAdded": "2017-05-05T15:54:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言 \n\n新定义习题，是高考命题人中的大学老师的最爱，能检测学生迅速理解数学概念的素养，几乎是高考必考的小题之一，她往往从大学数学中拿出个小概念，稍加改动就能用来考查学生了。也是学生感觉头疼的一类题目。\n\n“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.\n\n\n## 命题方向\n\n(1). 函数类新定义，主要包括两类：\n\n ① 概念型的新定义函数问题，主要以“新概念函数”为载体，利用新定义运算法则、新定义对应法则、新定义某种性质等方式给出“新概念函数”，此类新定义侧重函数的定义域与值域以及最值等有关的考查．\n\n ② 性质型新定义函数多以函数的单调性、奇偶性、对称性、最值等作为命题的背景．\n\n(2). 其他类型\n\n比如数论知识等。\n\n## 典例剖析\n\n![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201803/992978-20180325153636680-322783234.png\")
\n\n但是当点$A、B$都向其中点聚拢时，由实数的无限稠密性，总有一个恰当的$a$值，\n\n使得$\\Delta ABC$为等边三角形。真命题；\n\n或这样求解，点$A(-\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}，0)$，点$B(\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}，0)$，点$C(0，1)$，\n\n计算可知，$\\Delta ABC$为边长为$\\cfrac{2\\sqrt{3}}{3}$的等边三角形，真命题。\n\n$A.②④$ $B.①②$ $C.②④⑤$ $D.①②③⑤$
\n\n解：对于选项①而言，由于函数$f(x)$对其定义域内的任意$x_1，x_2$，当$f(x_1)=f(x_2)$时总有$x_1=x_2$，则称$f(x)$为紧密函数，\n\n则紧密函数$f(x)$的自变量与函数值是一 一映射，故单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，比如函数$y=\\frac{1}{x}$，是按照定义判断是紧密函数，但是其不是单调函数，故①错误；\n\n对于选项②而言，函数$f(x)=\\frac{x^2+2x+a}{x}（x>0）$在$a<0$时是单调递增函数，故一定是紧密函数，故②正确；\n\n对于选项③而言，函数$f(x)=\\left\\{\\begin{array}{l}{log3x，x≥2}\\\\{2-x，x<2}\\end{array}\\right.$不是一 一映射，故不是紧密函数，故③错误；\n\n对于选项④而言，若函数$f(x)$为定义域内的紧密函数，由一一映射可知，若$x_1≠x_2$，则$f(x_1)≠f(x_2)$，故④正确；\n\n对于选项⑤而言，函数$f(x)=x^3$是紧密函数且在定义域内存在导数，但是其导函数$f′(x)=3x^2$在定义域内的$x=0$处的值为零，故⑤错误；\n\n综上所述，真命题为②④，故选选项A。\n\n【解后反思】新定义习题，是最能考查学生的数学素养的一类素材，对许多学生都有一定的难度。在学习是，对于学习过的一些简单而又特殊的函数，我们需要特别加以关注，如函数$y=|x|$，在$x=0$处无导数，但是在$x=0$处却是有极值的；函数$y=\\frac{1}{x}$，在定义域内无单调性，函数$y=x^3$在定义域内单调递增，其导函数$y'=3x^2\\ge 0$，等等，都是需要我们注意的，这对于深入理解数学概念，廓清我们的混沌认识很有帮助。\n\n$A.-1$ $B.1$ $C.0$ $D.\\pm1$
\n\n解析：由于 当 $a\\in A$ 时， 则 $\\cfrac{1+a}{1-a}\\in A$，按照这样的定义规则来理解，\n\n那么由于 $\\cfrac{1+a}{1-a}\\in A$，则 $\\cfrac{1+\\frac{1+a}{1-a}}{1-\\frac{1+a}{1-a}}\\in A$，化简整理即 $-\\cfrac{1}{a}\\in A$；\n\n同理，由于 $-\\cfrac{1}{a}\\in A$，则 $\\cfrac{1+(-\\frac{1}{a})}{1-(-\\frac{1}{a})}\\in A$，化简整理即 $\\cfrac{a-1}{a+1}\\in A$；\n\n同理，由于 $\\cfrac{a-1}{a+1}\\in A$，则 $\\cfrac{1+\\frac{a-1}{a+1}}{1-\\frac{a-1}{a+1}}\\in A$，化简整理即 $a\\in A$；\n\n以下如果再迭代，就会进入循环，故 $A=\\{a，\\cfrac{1+a}{1-a}，-\\cfrac{1}{a}，\\cfrac{a-1}{a+1}\\}$\n\n则 $a\\times\\cfrac{1+a}{1-a}\\times(-\\cfrac{1}{a})\\times\\cfrac{a-1}{a+1}=1$，故选 $B$ .\n\n$A.\\cfrac{1}{11}$ $B.\\cfrac{1}{12}$ $C.\\cfrac{10}{11}$ $D.\\cfrac{11}{12}$
\n\n分析：由新定义可知，$\\cfrac{n}{a_1+a_2+\\cdots+a_n}=\\cfrac{1}{2n+1}$，\n\n则由上式得到，$S_n=n(2n+1)$，又由$a_n$与$S_n$的关系可知，\n\n当$n\\geqslant 2$时，$S_{n-1}=(n-1)[2(n-1)+1]$，则$a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1$；\n\n再验证$n=1$时，$a_1=1(2\\times 1+1)=3=4\\times 1-1$，满足上式，\n\n故$a_n=4n-1(n\\in N^*)$，\n\n则结合题目可知，故$b_n=\\cfrac{a_n+1}{4}=\\cfrac{4n-1+1}{4}=n$，\n\n则$\\cfrac{1}{b_1b_2}+\\cfrac{1}{b_2b_3}+\\cfrac{1}{b_3b_4}+\\cdots+\\cfrac{1}{b_{10}b_{11}}$\n\n$=[(1-\\cfrac{1}{2})+(\\cfrac{1}{2}-\\cfrac{1}{3})+\\cdots+(\\cfrac{1}{10}-\\cfrac{1}{11})]=\\cfrac{10}{11}$，\n\n故选$C$。\n\n$A.0$ $B.1$ $C.2$ $D.3$
\n\n分析：本题目主要考查对数列的拆分，必须按照题目的要求进行有效的拆分；\n\n对于①而言，$a_n=2n$，则 $a_{n+2}=2(n+2)=2[(n+1)+1]=2(n+1)+2\\times 1=a_{n+1}+a_1$，故$a_n=2n$为\"$T$数列\"；\n\n对于②而言，$a_n=n^2$，我们可以考虑让其下标满足的最小的情形，故做这样的尝试，当$n，i，j$依次取值为$3，2，1$时，$a_1=1^2$，$a_2=2^2$，$a_3=3^2$，并不满足$a_n=a_i+a_j$，都$a_n=n^2$不是\"$T$数列\"；\n\n对于③而言，$a_n=3^n$，我们可以考虑让其下标满足的最小的情形，故做这样的尝试，当$n，i，j$依次取值为$3，2，1$时，$a_1=3^1$，$a_2=3^2$，$a_3=3^3$，并不满足$a_n=a_i+a_j$，都$a_n=3^n$不是\"$T$数列\"；\n\n对于④而言，$a_n=(\\cfrac{1-\\sqrt{5}}{2})^{n-1}$，则$a_{n+2}-a_n=(\\cfrac{1-\\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\\cfrac{1-\\sqrt{5}}{2})^{n-1}=(\\cfrac{1-\\sqrt{5}}{2})^{n-1}[(\\cfrac{1-\\sqrt{5}}{2})^{2}-1]$\n\n$=(\\cfrac{1-\\sqrt{5}}{2})^{n-1}\\cfrac{1-\\sqrt{5}}{2}=(\\cfrac{1-\\sqrt{5}}{2})^{n}=a_{n+1}$，\n\n即$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，故数列$a_n=(\\cfrac{1-\\sqrt{5}}{2})^{n-1}$为\"$T$数列\"；\n\n综上所述，满足\"$T$数列\"的有2个，故选$C$.\n\n\n\n$A.4895$ $B.12816$ $C.33552$ $D.87841$
\n\n分析：斐波那契数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，$\\cdots$，由所给的图形可知，\n\n$1^2+1^2+2^2$时的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为$(1+2)$和$2$，其值为$(1+2)\\times 2$\n\n$1^2+1^2+2^2+3^2$时的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为$(2+3)$和$3$，其值为$(2+3)\\times 3$\n\n$1^2+1^2+2^2+3^2+5^2$时的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为$(3+5)$和$5$，其值为$(3+5)\\times 5$\n\n故$a_1^2+a_2^2+a_3^2+\\cdots+a_{12}^2$的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为$(a_{11}+a_{12})$和$a_{12}$，其值为$(89+144)\\times 144=33552$，故选$C$。\n\n$A.162$ $B.166$ $C.312$ $D.364$
\n\n分析：椭圆$\\cfrac{x^2}{25}+\\cfrac{y^2}{9}=1$中的最短弦长为通经，最长的弦长为长轴的长，容易计算得到通经长为$\\cfrac{18}{5}=3.6$，则椭圆的弦从最短的弦变化为最长的弦的过程中，得到的好弦的长度分别为$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$，$10$，\n\n \n\n而且由于椭圆关于$x$轴对称，故有两组，又由于焦点有两个，故还有两组，故共有四组，其和为$(4+5+6$ $+7+8+9+$ $10)\\times 4$ $=196$，但是上述的计算过程中将最长的好弦(即长轴)多计算了3次，故所求为$196-30=166$，故选$B$。\n\n\n## 延申阅读\n\n[新定义习题02](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/18435166)\n",
"BlogId": 294450,
"Description": "新定义习题，是高考命题人中的大学老师的最爱，能检测学生迅速理解数学概念的素养。",
"DateUpdated": "2025-10-10T08:58:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-05-05T15:54:25.76",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 新定义习题，是高考命题人中的大学老师的最爱，能检测学生迅速理解数学概念的素养，几乎是高考必考的小题之一，她往往从大学数学中拿出个小概念，稍加改动就能用来考查学生了。也是学生感觉头疼的一类题目。 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6823556,
"Title": "函数习题",
"DateAdded": "2017-05-08T09:55:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 典例剖析\n\n$A.f(sin2x)=sinx$ $B.f(sin2x)=x^2+x $ $C.f(x^2+1)=|x+1|$ $D.f(x^2+2x)=|x+1|$
\n\n分析：利用$x$取特殊值，结合函数的定义就能判断。\n\n对于选项 $A$而言，$f(sin2x)=sinx$ 令$x=0$时，$f(0)=0；x=π/2$时，则$sin2x=0$, 即$f(0)=1$,即出现$f(0)=0$和$1$，一对多，错误。 \n\n对于选项 $B$而言，$f(sin2x)=x^2+x$ 令$x=0$时，$f(0)=0；x=π$时，则$sin2x=0,$ 即$f(0)=π^2+π,$即出现$f(0)=0$和$π^2+π$，一对多，错误。 \n\n对于选项 $C$而言，$f(x^2+1)=|x+1|$ 令$x=-1$时，$f(2)=0；x=1$时，$f(2)=2$,即出现$f(2)=0$和$2$，一对多，错误。 \n\n对于选项 $D$而言，$f(x^2+2x)=|x+1|$ 令$x+1=t$，则$f(x^2+2x)=|x+1|$化为$f(t^2-1)=|t|$，再令$t^2-1=x$，则$t=±\\sqrt{x+1}$，所以$f(x)=\\sqrt{x+1}$ \n\n故存在函数 $f(x)=\\sqrt{x+1}$ , 使得 $f(x^2+2x)=|x+1|$ 。故选$D.$\n\n感悟：相同考法的题目，判断哪个图像不是函数图像，我们的做法就是做x轴的垂线，若垂线和图像有两个及其以上的交点，则一定不是函数图像，因为出现了“一对多”，不符合函数的定义。\n\n$A.k >1$ $B.k\\leq 1$ $C.k < 1$ $D.k\\ge 1$
\n\n分析：∵对于实数$k\\in B$在集合$A$中存在两个不同的原像，∴ $y=-x^2+2x= -(x^2-2x+1)+1≤1$，当$y=1$时有两个相同的$x$，不合题意，∴ $k<1$，故选$C$．\n\n$A.[1，+\\infty)$ $B.(1，+\\infty)$ $C.(-\\infty，1]$ $D.(-\\infty，+\\infty)$
\n\n分析:由对应关系$y=-x^2+2x$求出以$R$为定义域的函数的值域，由补集思想得到集合$N$中不存在原像的元素构成的集合，则答案可求． \n\n解析：∵ $y=-x^2+2x= -(x-1)^2+1≤1$． \n\n∴ 对于集合$M=R$，那么在$f：x\\rightarrow y=-x^2+2x$的对应下，对应的像的集合为$\\{y|y\\leq1\\}$，\n\n∴集合$N=R$中，满足$y>1$的元素在$M$中不存在原像．即$P$的取值范围是$(1，+\\infty)$． \n\n故选：$B$．\n\n解后反思：题考查了映射的概念，考查了函数值域的求法，训练了配方法，体现了补集思想，是基础题．\n\n$A.[1，+\\infty)$ $B.(1，+\\infty)$ $C.(-\\infty，1]$ $D.(-\\infty，+\\infty)$
\n\n分析：∵$y=-x^2+2x= -(x-1)^2+1≤1$． ∴对于集合$M=R$，在$f：x\\rightarrow y = -x^2+2x$的对应下， 对应的像的集合为$\\{y|y≤1\\}$， \n\n∴集合$N=R$中，当$P\\in（-∞，1]$ 时，实数$P$在$M$中必然存在原像。\n\n现要求存在一实数$P\\in N$，在$M$中不存在原象，则$P$的取值范围必然要包含$(-\\infty，1]$ ， 即$P$的取值范围是$(-\\infty，+\\infty)$．故选：D.\n\n引申：是否可以利用向量，借助形来求解呢？比如定义$\\vec{a}=(1+b，c)，\\vec{b}=(c，c)$，从而转化为求向量$\\vec{a}\\cdot\\vec{b}$的取值范围？\n\n
![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170705195529690-2080906625.jpg\")
\n\n分析：函数$f(x)=\\cfrac{sin2x}{1-cosx}$满足$f(-x)=-f(x)$，故先能排除B，又$x\\rightarrow 0_+$，$cosx\\rightarrow 1$，$f(x)\\rightarrow +\\infty$，故排除A；又$f(\\pi)=0$，故排除D，因此应该选C.\n\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170708111845878-662541646.png\")
\n\n$\\fbox{法2}$我们一般这样转化，由函数$f(x)$有唯一的零点，得到方程$x^2-2x=-a(e^{x-1}+e^{-x+1})$有唯一解，注意到方程的右端，我们可以和对勾函数做以联系\n\n令$x-1=t$，则$x=t+1$，故原方程就转化为$(t+1)^2-2(t+1)=-a(e^t+e^{-t})$，为了便于做出图像，还需要再代换，令$e^t=x$，则$x>0$且$t=lnx$，这样方程就又转化为$ln^2x-1=-a(x+\\cfrac{1}{x})$，在同一个坐标系中，分别做出函数$y=ln^2x-1$和$y=-a(x+\\cfrac{1}{x})$的图像，由图像可知对勾函数前面的系数必须满足$-a=-\\cfrac{1}{2}$，即$a=\\cfrac{1}{2}$，故选C.\n\n$y=kx(k\\neq 0)$；
$y=ax^2+bx+c(a\\neq 0)$；
$y=x^a$；
$y=a^x(a>0，a\\neq 1)$；
$y=log_a^x(a>0，a\\neq 1)$；
$y=sinx，y=cosx$；
$f(x)=|x|$；
$y=2^{|x|}$
$y=e^x-e^{-x}$
$f(x)=x+\\cfrac{k}{x}(k>0)$，
$f(x)=x+\\cfrac{k}{x}(k<0)$，
$y=e^x+e^{-x}$
![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171019155207131-1820330941.png\")
\n\n由图像可知$0\\leq b<1\\leq a$，此时$f(a)=2^a-\\cfrac{1}{2}$，$f(b)=b+1$，\n\n如果不做变换直接求$b\\cdot f(a)$的取值范围，会出现二元函数，\n\n但是若利用$f(a)=f(b)$，则$b\\cdot f(a)=b\\cdot f(b)=b(b+1)$，就是一元函数，符合我们的求解习惯，\n\n此时$b\\cdot f(a)=b\\cdot f(b)=b(b+1)$，$x\\in [\\cfrac{1}{2}，1)$，就成了一元二次函数在限定区间上的值域问题了，\n\n令$g(b)=b(b+1)=(b+\\cfrac{1}{2})^2-\\cfrac{1}{4}$，在区间$x\\in [\\cfrac{1}{2}，1)$上单调递增，\n\n故$g(\\cfrac{1}{2})\\leq g(b)$A.1-ln2$ $B.ln2$ $C.2\\sqrt{e}-3$ $D.e^2-3$
\n\n分析：不妨设$g(m)=f(n)=t$，则$e^{m-2}=ln\\cfrac{n}{2}+\\cfrac{1}{2}=t(t>0)$，\n\n(编者注：此处引入第三方变量$t$，可以将$m、n$用含有$t$的表达式来刻画，则二元函数就此转化为了一元函数，我们就可以用导数求其最值了)\n\n则$m-2=lnt$，$m=2+lnt$；$ln\\cfrac{n}{2}=t-\\cfrac{1}{2}$，则$n=2e^{t-\\frac{1}{2}}$；\n\n故$n-m=2e^{t-\\frac{1}{2}}-2-lnt(t>0)$ ，\n\n令$h(t)=2e^{t-\\frac{1}{2}}-2-lnt(t>0)$，$h'(t)=2e^{t-\\frac{1}{2}}-\\cfrac{1}{t}$，(增+增=增)\n\n易知$h'(t)$在$(0，+\\infty)$上单调递增，且$h(\\cfrac{1}{2})=0$；\n\n当$t>\\cfrac{1}{2}$时，$h'(t)>0$，当$0$A.(\\cfrac{1}{e}，1)$ $B.(\\cfrac{1}{e^2}，1]$ $C.(\\cfrac{1}{e^2}，e]$ $D.(0，\\cfrac{1}{e}]$
\n\n分析：先将给定的式子通分变形为$\\cfrac{2ex-y}{e}\\cdot ln\\cfrac{y}{x}\\leq \\cfrac{x}{me}$，两边同乘以 $\\cfrac{e}{x}$，\n\n再次变形为$(2e-\\cfrac{y}{x})\\cdot ln\\cfrac{y}{x}\\leq \\cfrac{1}{m}$，\n\n令$\\cfrac{y}{x}=t>0$，则不等式变形为$(2e-t)\\cdot lnt\\leq \\cfrac{1}{m}$，\n\n令$h(t)=(2e-t)\\cdot lnt$，则需要求$h(t)_{max}$；\n\n$h'(x)=(-1)lnt+(2e-t)\\cdot \\cfrac{1}{t}=\\cfrac{-t(lnt+1)+2e}{t}$，\n\n先用观察法或经验找到导函数的分子的零点$t=e$，\n\n当$t\\in (0，e)$时，$h'(t)>0$，$h(t)$单调递增，当$t\\in (e，+\\infty)$时，$h'(t)<0$，$h(t)$单调递减，\n\n故$h(t)_{max}=h(e)=e$，即$\\cfrac{1}{m}\\ge e$，解得$0$A.2x < 3y < 5z$ $B.5z < 3y < 2x$ $C.3y < 2x < 5z$ $D.5z < 2x < 3y$
\n\n解析：大胆引入第四个变量 $t$ ，以便于实现变量集中的设想，方便解题；\n\n设 $t=log_2x=log_3y=log_5z<-1$，则依次得到，\n\n$x=2^t$， $y=3^t$， $z=5^t$，到此就实现了变量的集中，便于下一步的运算和思考；\n\n则$2x=2^{t+1}$， $3y=3^{t+1}$， $5z=5^{t+1}$，\n\n\n\n又由于 $t<-1$， 得到$t+1<0$，故由幂函数的单调性或者指数函数的图像可知，\n\n$5^{t+1}<3^{t+1}<2^{t+1}$，即 $5z<3y<2x$ ，即选 $B$.\n \n$A.(\\cfrac{1}{e}，+\\infty)$ $B.(-\\infty，\\cfrac{1}{e})$ $C.(-\\cfrac{1}{e}，+\\infty)$ $D.(-\\cfrac{1}{e}，0)$
\n\n分析：若熟知上图的图像，分离参数，数形结合可得正确选项为$D$。\n\n\n\n比如基本初等函数$f(x)=x$和$g(x)=\\ln x$做四则运算得到的这些函数：\n\n$h(x)=x\\pm \\ln x$；\n\n\n\n$h(x)=x\\cdot \\ln x$；$h(x)=\\cfrac{\\ln x}{x}$；\n\n\n\n可以将他们作为导数工具的练习对象，熟练掌握他们的函数图像，有助于我们快速判断解题思路，作图时要注意因子$e^x$和$\\ln x$；\n\n## 常用不等式\n\n\n\n* ①、$e^x>x+1(x\\neq 0)$\n\n证明思路：\n\n【法1】数形结合法，令$f(x)=e^x$，$g(x)=x+1$，在同一个坐标系中作出这两个函数的图像，\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171029120545445-2109089967.png\")
\n\n由图像可知，当$x\\neq 0$时，都满足关系$e^x>x+1$。\n\n补充：至于函数$f(x)=e^x$和函数$g(x)=x+1$为什么会相切与点$(0，1)$，\n\n我们可以用导数方法来[解答](http://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6062094.html)。\n\n【法2】作差构造函数法，令$h(x)=e^x-x-1$，则$h'(x)=e^x-1$ ，\n\n当$x<0$时，$h'(x)<0$；当$x>0$时，$h'(x)>0$；\n\n即函数$h(x)$在$(-\\infty，0)$上单调递减，在$(0，+\\infty)$上单调递增，\n\n故函数$h(x)_{min}=h(0)=0$，故$h(x)\\ge 0$，当且仅当$x=0$时取到等号，\n\n故$x\\neq 0$时，总有$h(x)>0$，即$e^x>x+1$。\n\n* ②、$e^x\\geqslant x+1$，注意没有$x\\neq 0$的条件限制。\n* ③、$\\ln x\\leq x-1(x>0)$\n\n证明思路：【法1】数形结合法，令$f(x)=\\ln x$，$g(x)=x-1$，\n\n在同一个坐标系中作出这两个函数的图像，\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171029125235351-1580706885.png\")
\n\n由图像可知，当$x> 0$时，都满足关系$\\ln x\\leq x-1$。\n\n【法2】：作差构造函数法，令$h(x)=\\ln x-x+1(x>0)$，则$h'(x)=\\cfrac{1}{x}-1$，\n\n当$0$A.a< b < c$ $B.b < c < a$ $C.c< b < a$ $D.b< a < c$
\n\n提示：需要将选项变形后，再构造函数，$f(x)=x+lnx$，$g(x)=e^x-x$，答案为 $D$；\n\n$A.ae^a >be^b$ $B.a\\ln b >b\\ln a$ $C.a\\ln a> b\\ln b$ $D.be^a>ae^b$
\n\n提示：选项 $A$ 正确，依托函数 $y=x\\cdot e^x$来比较；选项 $B$ 正确，依托函数 $y=\\cfrac{\\ln x}{x}$来比较；\n\n选项 $C$ 正确，依托函数 $y=x\\cdot \\ln x$来比较；选项 $D$ 正确，依托函数 $y=\\cfrac{e^x}{x}$来比较；\n\n故选择 $A、C、D$；\n\n$A.e^b\\ln a\\leqslant ab$ $B.e^b\\ln a\\geqslant ab$ $C.ae^b\\geqslant b\\ln a$ $D.ae^b\\leqslant b\\ln a$
\n\n提示：对选项 $A、B$ 做适当的变形后会发现，其实是比较函数 $y=\\cfrac{\\ln x}{x}$ 与函数 $y=\\cfrac{x}{e^x}$的大小关系；它们都可能成立；\n\n对选项 $C、D$ 做适当的变形后会发现，其实是比较函数 $y=\\cfrac{e^x}{x}$ 与函数 $y=\\cfrac{\\ln x}{x}$的大小关系；其中 $D$ 不可能成立，故选 $D$ ；\n\n$A.-8$ $B.-1$ $C.0$ $D.1$
\n\n分析：本题目的本质是求解函数$f(x)$的解析式；属于利用函数的多个性质求解函数的解析式；\n\n[法1]：由于$f(x+2)+f(x)=0$，即$f(x+2)=-f(x)$，故$T=4$，又$y=f(x)$是$R$上的奇函数，\n\n故可以先利用奇偶性求得$x\\in [0，2]$上的解析式；\n\n当$x\\in [0,2]$时，$f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2\\times (-x)]=x^2-2x$，\n\n再利用周期性求得$x\\in [4，6]$上的解析式；\n\n当$x\\in [4,6]$时，$x-4\\in [0,2]$，$f(x)=f(x-4)=(x-4)^2-2\\times (x-4)=x^2-10x+24$，\n\n接下来求解$x\\in [4,6]$时函数$f(x)=x^2-10x+24$的最小值；\n\n$f(x)=(x-5)^2-1$，$x\\in [4,6]$，故$f(x)_{min}=f(5)=-1$；故选$B$；\n\n\n \n\n[法2]：当求得$x\\in [0,2]$时，$f(x)=-f(-x)=-[-(-x)^2-2\\times (-x)]=x^2-2x$，\n\n由于函数的周期为$4$，故函数$f(x)$在$x\\in [0,2]$段上的值域和$x\\in [4,6]$段上的值域相同，\n\n故只需要求解$x\\in [0,2]$时，$f(x)=x^2-2x$的最小值即可，$f(x)=(x-1)^2-1$，\n\n故$f(x)_{min}=f(1)=-1$，故$x\\in [4，6]$上的最小值也是$-1$，故选$B$;\n\n \n\n[法3]：如果对函数的性质的数的表达形式比较熟悉，还可以这样求解如下：\n\n由于周期为$T=4$，故有$f(x+4)=f(x)$，又由于函数为奇函数，故$f(x)=-f(-x)$，\n\n则得到$f(x+4)=-f(-x)$，这个表达式刻画的是函数的对称性，关于点$(2,0)$成中心对称；\n\n若$x\\in[0,2]$，则此时$f(-x)$可解，且$f(x+4)$即表达函数在$x\\in [4,6]$上的解析式；\n\n故$f(x+4)=-f(-x)=-[[-(-x)^2-2\\times (-x)]]=x^2-2x$，$x\\in [0,2]$，\n\n直接求$y=x^2-2x$，$x\\in [0,2]$上的最小值即可，同上可知此时$y_{min}=y_{|x=1}=-1$，\n\n故所求的最小值为$-1$，故选$B$；\n\n其实做个代换，即能得到$x\\in [4,6]$上的解析式；分析如下，\n\n由于$f(x+4)=x^2-2x$，$x\\in [0,2]$，令$x+4=t$，则$t\\in [4,6]$，则$x\\in t-4$\n\n故$f(t)=(t-4)^2-2(t-4)=t^2-10t+24$，即$f(x)=x^2-10x+24$，$x\\in [4,6]$；\n\n \n\n$A.$ 增加$1.4$个单位；
$B.$ 减少$1.4$个单位；
$C.$ 增加$7.9$个单位；
$D.$ 减少$7.9$个单位；
![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171106200949216-649635271.png\")
\n\n当直线的斜率不存在时，即直线的倾斜角$\\theta=90^{\\circ}$时，$x_1=x_2=\\cfrac{p}{2}$，$y_1=p$，$y_2=-p$，\n\n故$|AB|=|y_1-y_2|=2p=\\cfrac{2p}{sin^290^{\\circ}}=\\cfrac{2p}{sin^2\\alpha}$。\n\n当直线的斜率存在时，即$k=tan\\theta$，焦点弦方程是$y=k(x-\\cfrac{p}{2})$，代入抛物线方程得到$k^2x^2-(k^2p+2p)x+\\cfrac{k^2p^2}{4}=0$，\n\n利用韦达定理可知$x_1+x_2=\\cfrac{k^2p+2p}{k^2}$，由抛物线的定义\n\n$|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+p=\\cfrac{k^2p+2p}{k^2}+p=\\cfrac{2p(k^2+1)}{k^2}$\n\n$=2p\\times\\cfrac{tan^2\\theta+1}{tan^2\\theta}=2p\\times\\cfrac{sin^2\\theta+cos^2\\theta}{sin^2\\theta}=\\cfrac{2p}{sin^2\\theta}$。\n\n思路2：几何方法，利用三角函数。\n\n\n\n设$A(x_1，y_1)$，$B(x_2，y_2)$，则由抛物线的定义可知，$|AB|=x_1+x_2+p$，\n\n$|AF|=x_1+\\cfrac{p}{2}$，$|CF|=x_1-\\cfrac{p}{2}$，又$|CF|=|AF|cos\\theta$，则可知\n\n$cos\\theta(x_1+\\cfrac{p}{2})=x_1-\\cfrac{p}{2}$，解得$x_1=\\cfrac{1+cos\\theta}{1-cos\\theta}\\cdot \\cfrac{p}{2}$，同理求得$x_2=\\cfrac{1-cos\\theta}{1+cos\\theta}\\cdot \\cfrac{p}{2}$，\n\n将其代入$|AB|=x_1+x_2+p$，则$|AB|=\\cfrac{p}{2}(\\cfrac{1-cos\\theta}{1+cos\\theta}+\\cfrac{1+cos\\theta}{1-cos\\theta})+p$，整理得到$|AB|=\\cfrac{2p}{sin^2\\theta}$。\n\n记忆方法总结\n\n* 焦点弦三角形的面积的最小值是$AB$为通经时；\n\n如下图所示，抛物线$y^2=2px$，焦点$F(1，0)$，过点$F$的直线$AB$和抛物线交于点$A$，$B$，设点$A(x_1，y_1)$，$B(x_2，y_2)$，则可知$y_1y_2=-p^2$；\n\n\n\n则$S_{\\triangle OAB}=\\cfrac{1}{2}\\times |OF|\\times |y_1|+\\cfrac{1}{2}\\times |OF|\\times |y_2|$\n\n$=\\cfrac{1}{2}\\times |OF|\\times (|y_1|+|y_2|)\\ge \\cfrac{1}{2}\\times \\cfrac{p}{2}\\times 2\\sqrt{|y_1y_2|}=\\cfrac{p}{2}\\cdot p=\\cfrac{p^2}{2}$；\n\n当且仅当$|y_1|=|y_2|$时取到等号，即焦点弦三角形的面积的最小值是$AB$为通经时，其值为$\\cfrac{p^2}{2}$。\n\n## 给出方式\n\n* 抛物线$y^2=2px(p>0)$经过点$(2，4)$，即$p=4$；\n* 抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点到准线的距离为$4$，即$p=4$；\n\n## 抛物线性质\n\n如下图所示，为抛物线$y^2=2px$的图像，过焦点$F(\\cfrac{p}{2}，0)$的直线$AB$与抛物线相交于$A(x_1，y_1)$，$B(x_2，y_2)$两点，且直线$AB$的倾斜角为$\\angle xFA=\\alpha$，则有以下性质：\n\n \n\n①$x_1\\cdot x_2=\\cfrac{p^2}{4}$；$y_1\\cdot y_2=-p^2$；\n\n②$|AB|=x_1+x_2+p=\\cfrac{2p}{sin^2\\alpha}$；\n\n③$S_{\\triangle ABC}=\\cfrac{p^2}{2sin\\alpha}$；\n\n④$\\cfrac{1}{|AF|}+\\cfrac{1}{|BF|}=\\cfrac{2}{p}$为定值；\n\n⑤$AB$为焦点弦，当$AB\\perp x$轴时，$AB$为通径；此时$AB=2p$；\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171106194100653-1145979807.png\")
\n\n$A.\\cfrac{\\sqrt{30}}{3}$ $B.6$ $C.12$ $D.7\\sqrt{3}$
\n\n【法1】：常规方法，利用两点间距离公式，由于$2p=3$，则$\\cfrac{p}{2}=\\cfrac{3}{4}$，故焦点$F(\\cfrac{3}{4}，0)$，又斜率为$k=\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}$，\n\n则直线$AB$的方程为$y=\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}(x-\\cfrac{3}{4})$，\n\n联立直线$AB$和抛物线方程，得到$\\left\\{\\begin{array}{l}{y^2=3x}\\\\{y=\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}(x-\\cfrac{3}{4})}\\end{array}\\right.$，\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171106194108216-1343612812.png\")
\n\n消$y$得到$16x^2-24\\times7x+9=0$，设点$A(x_1，y_1)$，点$B(x_2，y_2)$，\n\n则$x_1+x_2=\\cfrac{24\\times7}{16}=\\cfrac{21}{2}$，$x_1x_2=\\cfrac{9}{16}$，\n\n故$|AB|=\\sqrt{1+k^2}\\cdot |x_1-x_2|$\n\n$=\\sqrt{1+k^2}\\cdot\\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=12$。\n\n【法2】：利用直线$AB$的参数方程的参数的几何意义，\n\n直线$AB$的参数方程为$\\begin{cases}x=\\cfrac{3}{4}+\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}t\\\\y=0+\\cfrac{1}{2}t\\end{cases}(t为参数)$，将其代入$y^2=3x$中，\n\n整理得到$t^2-6\\sqrt{3}t-9=0$，设$A$，$B$对应的参数分别为$t_1$，$t_2$，\n\n则$\\Delta>0$，且有$t_1+t_2=6\\sqrt{3}$，$t_1t_2=-9$，\n\n故$|AB|=|t_1-t_2|=\\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\\sqrt{36\\times3-4\\times(-9)}=12$。\n\n【法3】：利用抛物线的定义可知，$|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x_1+\\cfrac{p}{2}+x_2+\\cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p$，\n\n\n\n故由法1中，得到$x_1+x_2=\\cfrac{24\\times7}{16}=\\cfrac{21}{2}$，$p=\\cfrac{3}{2}$，即$|AB|=x_1+x_2+p=12$。\n\n法4：利用抛物线的焦点弦长公式：$|AB|=\\cfrac{2p}{sin^2\\alpha}$，则$|AB|=\\cfrac{2\\times \\frac{3}{2}}{(\\frac{1}{2})^2}=12$。\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171103160715060-996574022.png\")
\n\n(1).求抛物线的方程。\n\n分析：由题目图形可知，$\\cfrac{p}{2}=1$，则$p=2$，故顶点在坐标原点，开口向右的抛物线的方程为$y^2=2px$，即$y^2=4x$。\n\n(2).求证：直线$QN$过定点。\n\n分析：如果直线过定点$(m，n)$，则直线的表达式必然应该能化为：$y-n=k(x-m)$类型。\n\n设点$M(4t^2，4t)$，点$N(4t_1^2，4t_1)$，点$M(4t_2^2，4t_2)$，则由题目易知直线$MN$的斜率存在，\n\n且$k_{MN}=\\cfrac{4t-4t_1}{4t^2-4t_1^2}=\\cfrac{1}{t+t_1}$，从而直线$MN$的方程是$y=\\cfrac{1}{t+t_1}(x-4t^2)+4t$，即$x-(t+t_1)y+4tt_1=0$。\n\n同理可知，直线$MQ$的方程$x-(t+t_2)y+4tt_2=0$，直线$NQ$的方程$x-(t_1+t_2)y+4t_1t_2=0$，\n\n又点$A$在直线$MN$上，从而有$4tt_1=1$，即$t=\\cfrac{1}{4t_1}$；点$B$在直线$MQ$上，\n\n从而有$1+(t+t_2)+4tt_2=0$，即$1+(\\cfrac{1}{4t_1}+t_2)+4\\times \\cfrac{1}{4t_1}t_2=0$，\n\n化简得到$4t_1t_2=-4(t_1+t_2)-1$，\n\n代入$NQ$的方程，得到$x-(t_1+t_2)y-4(t_1+t_2)-1=0$，\n\n即$y+4=\\cfrac{1}{t_1+t_2}(x-1)$，故直线$NQ$经过定点$(1，-4)$。\n\n* 抛物线$y^2=4x$上的任意点的坐标的设法一般是$(x，y)$，本题采用$(4t^2，4t)$，是抛物线的参数方程的一种。\n* 注意直线过定点的证明思路。\n\n$A.y^2=8x$ $B.x^2=8y$ $C.y^2=4x$ $D.x^2=4y$
\n\n法1：如图所示，动圆的圆心为点$P(x,y)$，则有$|PN|=|PM|+1$，\n\n即$\\sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=|x+1|+1$，由于动圆在直线$x+1=0$的右侧，即$x+1>0$，\n\n故化简得到$\\sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=x+1+1$，整理得到$y^2=8x$，故选$A$；\n\n \n\n法2：转化为能利用抛物线的定义来求解，其定义是说动点到定点的距离等于其到定直线的距离，\n\n这样定点取$(2，0)$，此时定直线必须取$x=-2$，\n\n这样抛物线的标准方程为$y^2=2px(p>0)$，且$\\cfrac{p}{2}=2$，即$p=4$，\n\n故抛物线的标准方程为$y^2=8x$，故选$A$。\n\n$A.y^2=8x$ $B.x^2=8y$ $C.y^2=4x$ $D.x^2=4y$
\n\n \n\n分析：由题意可知，$|PQ|=|PD|$，但是用这个不好建立轨迹方程，或者不能有效的和抛物线的定义建立联系，\n\n故等价转化为$|PA|=|PB|$，且其模型为$y^2=2px$。\n\n这样就可以理解为平面内一个动点$P$到一个定点$A$的距离等于其到定直线$x=-2$的距离。\n\n由抛物线的定义可知，$-\\cfrac{p}{2}=-2$，即$p=4$，故$y^2=2\\times 4x=8x$，故选$A$。\n\n* 注意：抛物线的定义是高考考查时的高频考点。 \n\n$A.8$ $B.12$ $C.16$ $D.24$
\n\n法1：做出如下的示意图，设直线$AB$的斜率为$k$，不妨只考虑$k>0$，则$AB:y=k(x-4)$，即$kx-y-4k=0$；\n\n \n\n将直线和抛物线方程联立，消去$x$得到，$ky^2-4y-16k=0$，则$y_1+y_2=-\\cfrac{-4}{k}=\\cfrac{4}{k}$，$y_1y_2=-16$，\n\n则$|AB|=\\sqrt{1+\\cfrac{1}{k^2}}|y_1-y_2|=\\sqrt{1+\\cfrac{1}{k^2}}\\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}$\n\n$=\\sqrt{1+\\cfrac{1}{k^2}}\\sqrt{(\\cfrac{4}{k})^2-4\\times (-16)}=\\sqrt{\\cfrac{k^2+1}{k^2}}\\cdot 4\\cdot \\sqrt{\\cfrac{4k^2+1}{k^2}}$\n\n$=4\\cdot \\cfrac{\\sqrt{k^2+1}\\cdot \\sqrt{4k^2+1}}{k^2}$，\n\n又点$F$到直线$AB$的距离为$d=h=\\cfrac{|3k|}{\\sqrt{k^2+1}}=\\cfrac{3k}{\\sqrt{k^2+1}}$，\n\n则$S_{\\triangle ABF}=\\cfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot \\cfrac{\\sqrt{k^2+1}\\cdot \\sqrt{4k^2+1}}{k^2}\\cdot \\cfrac{3k}{\\sqrt{k^2+1}}$\n\n$=6\\times \\cfrac{\\sqrt{4k^2+1}}{k}=6\\times \\sqrt{4+\\cfrac{1}{k^2}}$，\n\n当$k\\rightarrow \\infty$时，所求面积有最小值，$S_{min}=6\\times 2=12$。故选$B$.\n\n法2：仿上利用均值不等式可以说明，当$AB$和$x$轴垂直时，$S_{\\triangle ABF}$有最小值；\n\n$S_{\\triangle ABF}=\\cfrac{1}{2}\\cdot 3\\cdot (|y_1|+|y_2|)\\ge \\cfrac{3}{2}\\cdot 2\\sqrt{|y_1y_2|}= \\cfrac{3}{2}\\cdot 2\\cdot 4=12$，故选$B$.\n\n$A.4x-y+2=0$ $B.4x-y+1=0$ $C.8x-2y+1=0$ $D.8x-2y-1=0$
\n\n分析：如图所示，直线过抛物线的焦点，故利用抛物线的焦点弦长公式可得，$\\cfrac{2p}{sin^2\\theta}=17$，\n\n\n\n又由于直线的斜率$k=4$，则$sin^2\\theta=\\cfrac{2p}{17}$，$cos^2\\theta=\\cfrac{17-2p}{17}$，则$k^2=16=tan^2\\theta=\\cfrac{2p}{17-2p}$，\n\n解得$p=8$，从而$a=16$，抛物线为$y^2=16$；\n\n由图可知所求直线和抛物线相切于第一象限，故涉及到的函数为$y=f(x)=4\\sqrt{x}$，\n\n设切点为$P(x_0，y_0)$，则$f'(x_0)=\\cfrac{2}{\\sqrt{x_0}}=4$，求得$x_0=\\cfrac{1}{4}$，$y_0=2$，\n\n又所求直线的$k=4$，由点斜式方程可得，所求直线为$4x-y+1=0$，故选$B$.\n\n解后反思：焦点弦的公式不止一个，此处选用这一个就是考虑变量少，运算简单。\n\n$A.4$ $B.6$ $C.8$ $D.12$
\n\n分析：如图所示，由题可知，$|OF|=|OK|=2$，$|KF|=4$，由抛物线定义可知，$|AF|=|AB|$，则$|AK|=\\sqrt{2}|AB|$，\n\n\n\n故可知$\\angle AKF=45^{\\circ}$，在$\\triangle AKF$中，$|KF|=4$，设$|AF|=x$，则$|AK|=\\sqrt{2}x$，\n\n由余弦定理可知，$|AF|=4$，其高为$|KB|=4$，故$S_{\\triangle AFK}=\\cfrac{1}{2}\\times 4\\times 4=8$，故选$C$。\n\n\n$A.24$ $B.48$ $C.24\\sqrt{3}$ $D.48\\sqrt{3}$
\n\n分析：如图所示，由于$\\triangle OAB$为等边三角形，则边$AB$必然垂直于$x$轴，设点$A(4t^2，4t)$，则$B(4t^2，-4t)$，\n\n\n\n由于$\\angle AOC=30^{\\circ}$，则由斜率公式可知，$\\cfrac{4t}{4t^2}=tan30^{\\circ}$，解得$t=\\sqrt{3}$，\n\n故$|AC|=|BC|=4\\sqrt{3}$，则$|AB|=8\\sqrt{3}$，故高$|OC|=4\\sqrt{3}\\times \\sqrt{3}=12$，\n\n则$S_{\\triangle OAB}=\\cfrac{1}{2}\\times 8\\sqrt{3}\\times 12=48\\sqrt{3}$，故选$D$.\n\n$A.(x-\\cfrac{5}{2})^2+(y+2)^2=20$
$B.(x+\\cfrac{5}{2})^2+(y-2)^2=20$
$C.(x-\\cfrac{5}{2})^2+(y+2)^2=10$
$D.(x+\\cfrac{5}{2})^2+(y-2)^2=10$
$A.恒在x轴上方$
$B.恒在x轴上$
$C.恒在x轴下方$
$D.位置不确定$
①. 拋物线的标准方程为 $x^{2}=4y$；
②. $\\triangle OMN$ 的面积为定值；
③. $M$ 为 $PN$ 的中点；
④. 四边形 $PFNH$ 为菱形；
$A.[1，+\\infty)$ $B.(1，+\\infty)$ $C.[2，+\\infty)$ $D.(2，+\\infty)$
\n\n解析：将原不等式变形为$ln(x+1)-x+\\cfrac{x(x+2)+a}{x+2}>1$ ，即$ln(x+1)-x+x+\\cfrac{a}{x+2}>1$ ，\n\n再分离参数得到$a>(x+2)[1-ln(x+1)]$恒成立，令$g(x)=(x+2)[1-ln(x+1)]$，\n\n则$g'(x)=1-ln(x+1)+(x+2)(-\\cfrac{1}{x+1})$$=1-ln(x+1)-\\cfrac{x+2}{x+1}$$=-ln(x+1)-\\cfrac{1}{x+1}<0$，\n\n故$g(x)$在区间$(0，+\\infty)$上单调递减，则$g(x)_{max}\\rightarrow g(0)=2$，\n\n故得到$a\\ge 2$，故选$C$.\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201708/992978-20170812195317992-570300884.gif\")
\n\n由动画可知，当线段经过点$(\\cfrac{1}{2}，\\cfrac{\\sqrt{3}}{2})$时，$b=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}-\\cfrac{1}{2}$，故$b\\leq \\cfrac{\\sqrt{3}-1}{2}$。\n\n$A.[\\cfrac{1}{6}，1]$ $B.[\\cfrac{2}{13}，1]$ $C.[\\cfrac{1}{6}，\\cfrac{4}{13}]$ $D.[\\cfrac{1}{6}，2\\sqrt{2}]$
\n\n分析：由题知，$a\\ge \\cfrac{t}{t^2+9}$和$a\\leq \\cfrac{t+2}{t^2}$在$t\\in(0，2]$上恒成立，\n\n即$a\\ge [\\cfrac{t}{t^2+9}]_{max}$且$a\\leq [\\cfrac{t+2}{t^2}]_{min}$\n\n令$f(t)=\\cfrac{t}{t^2+9}=\\cfrac{1}{t+\\cfrac{9}{t}}$，在$t\\in(0，2]$单调递增，故$f(t)_{max}=f(2)=\\cfrac{2}{13}$；\n\n令$g(t)= \\cfrac{t+2}{t^2}=\\cfrac{1}{t}+2(\\cfrac{1}{t})^2$，在$\\cfrac{1}{t}\\in [\\cfrac{1}{2}，+\\infty)$上单调递增，故$g(t)_{min}=g(\\cfrac{1}{2})=1$\n\n综上可知，$a$的取值范围是$a\\in[\\cfrac{2}{13}，1]$。\n\n$A.[-3e^{-4}，1)$ $B.[-3e^{-4}，1)\\cup \\{-e^{-2}\\}$ $C.[0，1)\\cup \\{-e^{-2}\\}$ $D.[0，1)$
\n\n分析：由②知函数$y=f(x)$是奇函数，定义在$R$上，故有$f(0)=0$及$f(4)=f(-4)=0$，\n\n又题目已知$y=f(x)$在$x\\in [-4，4]$上有$5$个零点，\n\n则由奇函数$y=f(x)$的对称性可知在区间$(-4，0)$上有且仅有一个零点；\n\n即函数$x\\in(-4，0)$时，$f(x)=log_2^\\;(\\cfrac{x}{e^{-x}}+e^x-m+1)=0$仅有一解，\n\n即$\\cfrac{x}{e^{-x}}+e^x-m+1=1$仅有一解，即$m=e^x(x+1)$有且仅有一解；\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171002203154115-264781013.png\")
\n\n令$g(x)=e^x(x+1)$，$g'(x)=e^x(x+2)$，\n\n当$x\\in (-4，-2)$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减；当$x\\in (-2，0)$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增；\n\n做出函数$g(x)$在$(-4，0)$上的大致图像可知，要使$m=e^x(x+1)$有且仅有一解；\n\n需要函数$y=g(x)$与函数$y=m$的图像交点只能是一个，故$m\\in [-3e^{-4}，1)\\cup \\{-e^{-2}\\}$。\n\n$A.[-\\cfrac{47}{16}，2]$ $B.[-\\cfrac{47}{16}，\\cfrac{39}{16}]$ $C.[-2\\sqrt{3}，2]$ $D.[-2\\sqrt{3}，\\cfrac{39}{16}]$
\n\n法1：从数的角度分析：不等式$f(x)\\ge |\\cfrac{x}{2}+a|$在$R$上恒成立，\n\n即$-f(x) \\leq \\cfrac{x}{2}+a\\leq f(x)$恒成立，\n\n即$g(x)=-f(x)-\\cfrac{x}{2} \\leq a\\leq f(x)-\\cfrac{x}{2}=h(x)$恒成立，\n\n接下来，需要求解分段函数$g(x)_{max}$和分段函数$h(x)_{min}$，而这两个分段函数的最值的求解是比较费事的。\n\n法2：从形的角度，题目要求$f(x)\\ge |\\cfrac{x}{2}+a|$在$R$上恒成立，\n\n则函数$f(x)$的图像必须始终在函数$y=|\\cfrac{x}{2}+a|$的上方，\n\n其中分段函数$f(x)$的图像我们自己可以做出来，\n\n函数$y=|\\cfrac{x}{2}+a|$的图像是个动态的图像，我们也可以做出来，\n\n然后分析其中的控制因素，由形转化为数即可。具体求解如下：\n\n先求解绝对值函数的左支$y=-\\cfrac{x}{2}-a$和分段函数的第一段$y=x^2-x+3，x\\leq 1$相切的切点坐标$(x_0，y_0)$,\n\n当$x\\leq -2a(左支)$时，有$\\begin{cases}k=f'(x_0)=2x_0-1=-\\cfrac{1}{2}\\\\y_0=-\\cfrac{x_0}{2}-a\\\\y_0=x_0^2-x_0+3\\end{cases}$，\n\n解得$x_0=\\cfrac{1}{4}，y_0=\\cfrac{45}{16}$，代入求得$a=-\\cfrac{47}{16}$；\n\n \n\n再求解绝对值函数的右支$y=\\cfrac{x}{2}+a$和分段函数的第二段$y=x+\\cfrac{2}{x}，x> 1$相切的切点坐标$(x_1，y_1)$,\n\n当$x> -2a(右支)$时，有$\\begin{cases}k=f'(x_1)=1-\\cfrac{2}{x_1^2}=\\cfrac{1}{2}\\\\y_1=\\cfrac{x_1}{2}+a\\\\y_1=x_1+\\cfrac{2}{x_1}\\end{cases}$，\n\n解得$x_1=2，y_1=3$，代入求得$a=2$；\n\n \n\n再结合参数$a$的几何意义是$y$截距，可得$-\\cfrac{47}{16}\\leq a\\leq 2$，故选$A$。\n\n$A.(-\\infty，0]$ $B.(-\\infty，1]$ $C.[-2，1]$ $D.[-2，0]$
\n\n法1：从形的角度入手分析，在同一个坐标系中做出静态函数$y=|f(x)|$的图像和动态函数$y=ax$的图像，然后让动态函数的斜率$a$变化，就可以发现，\n\n \n\n当$k\\leq a\\leq 0$时满足$|f(x)|\\ge ax$，\n\n其中$k$是函数$y=ax$与函数$y=x^2-2x$在点$(0，0)$处的切线的斜率。\n\n由$y=h(x)=x^2-2x$得到，$h'(x)=2x-2$，则$h'(0)=k=-2$，\n\n故$-2\\leq a\\leq 0$，故选$D$。\n\n[补充说明]为什么会相切于点$(0,0)$，还可以这样解释；\n\n由$y=x^2-2x(x\\leqslant 0)$和$y=ax(x\\leqslant 0)$联立，得到$x^2-(a+2)x=0$，由于二者相切，\n\n故由$\\Delta=(a+2)^2=0$，得到$a=-2$，代入上述方程$x^2-(a+2)x=0$，得到$x=0$，且$y=0$，\n\n即当直线$y=ax$的斜率$a=-2$时，与曲线$y=x^2-2x(x\\leqslant 0)$相切于点$(0,0)$；\n\n法2：从数的角度入手分析，\n\n(1).当$x>0$时，要使得$|f(x)|\\geqslant ax-1$，即$|\\ln(x+1)|=\\ln(x+1)\\geqslant ax$，显然需要$a\\leqslant 0$；\n\n(2).当$x\\leqslant 0$时，要使得$|f(x)|\\geqslant ax$，即$|-x^2+2x|=x^2-2x\\geqslant ax$，即$ax\\leqslant x^2-2x$恒成立，\n\n当①$x=0$时，即$a\\in R$时满足题意；\n\n②$x<0$时，即$a\\geqslant x-2$恒成立，又由于$x-2<-2$即$x-2$在$x<0$时的最大值的极限为$-2$$\\quad$，则$a\\geqslant -2$； \n\n故当$x\\leqslant 0$时，需要$a\\geqslant -2$，\n\n综上所述，得到$-2\\leqslant a\\leqslant 0$，故选$D$.\n\n$A.[-2，0]$ $B.[-2，1]$ $C.[-4，0]$ $D.[-4，1]$
\n\n法1：注意到我们可以手动做出分段函数$f(x)$的图像，以及过定点$(0，-1)$的斜率$a$变化的动直线$y=ax-1$，故从形入手分析，\n\n \n\n由图像可知，我们的重点是要求解动直线$y=ax-1$和曲线$y=x^2-2x(x\\leq 0)$相切时的切点坐标。\n\n设切点$P(x_0，y_0)$，则有$\\begin{cases}a=f'(x_0)=2x_0-2\\\\ y_0=ax_0-1 \\\\ y_0=x_0^2-2x_0 \\end{cases}$，\n\n解得$x_0=-1，y_0=3$，代入求得$a=-4$；由动图可知，另一个临界位置是$a=0$，故选$C$。\n\n[补充说明]为什么会相切于点$(-1,3)$，还可以这样解释；\n\n由$y=x^2-2x(x\\leqslant 0)$和$y=ax-1(x\\leqslant 0)$联立，得到$x^2-(a+2)x+1=0$，由于二者相切，\n\n故由$\\Delta=(a+2)^2-4\\times1=0$，得到$a=0$(舍去)或$a=-4$，将$a=-4$代入上述方程$x^2-(a+2)x+1=0$，得到$x=-1$，且$y=3$，\n\n即当直线$y=ax-1$的斜率$a=-4$时，与曲线$y=x^2-2x(x\\leqslant 0)$相切于点$(-1,3)$；\n\n法2：从数的角度入手分析，\n\n(1).当$x>0$时，要使得$|f(x)|\\geqslant ax-1$，即$|\\ln(x+1)|=\\ln(x+1)\\geqslant ax-1$，显然需要$a\\leqslant 0$；\n\n(2).当$x\\leqslant 0$时，要使得$|f(x)|\\geqslant ax-1$，即$|-x^2+2x|=x^2-2x\\geqslant ax-1$，即$ax\\leqslant x^2-2x+1$恒成立，\n\n当①$x=0$时，即$a\\in R$时满足题意；\n\n②$x<0$时，即$a\\geqslant \\cfrac{x^2-2x+1}{x}=x+\\cfrac{1}{x}-2$恒成立，又$[x+\\cfrac{1}{x}-2]_{max}=-4$，当$x=-1$时取到等号；\n\n故当$x\\leqslant 0$时，需要$a\\geqslant -4$，\n\n综上所述，得到$-4\\leqslant a\\leqslant 0$，故选$C$.\n\n$A.(-\\infty，\\cfrac{1}{3}]$ $B.[\\cfrac{1}{3}，1]$ $C.[0，+\\infty)$ $D.[1，+\\infty)$
\n\n分析：由题目可知，$f'(x)\\ge 0$在区间$[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$上恒成立，$f'(x)=2a-1-\\cfrac{1}{2}\\cdot (-sin2x)\\cdot 2-a(cosx-sinx)\\ge 0$恒成立，即$2a-1+sin2x+a(sinx-cosx)\\ge 0$恒成立，接下来的思路有：\n\n思路一：分离参数，当分离为$a\\ge \\cfrac{1-sin2x}{2+sinx-cosx}=g(x)$时，你会发现，求函数$g(x)_{max}$很难，所以放弃；\n\n思路二：转化划归，令$sinx-cosx=t=\\sqrt{2}sin(x-\\cfrac{\\pi}{4})$，由于$x\\in [0，\\cfrac{\\pi}{2}]$，故$t\\in [-1，1]$\n\n由$(sinx-cosx)^2=t^2$，得到$sin2x=1-t^2$，\n\n故不等式转化为$at+1-t^2+2a-1\\ge 0$，\n\n即$t^2-at-2a\\leq 0$在$t\\in [-1，1]$上恒成立，\n\n令$h(t)=t^2-at-2a，t\\in [-1，1]$，\n\n则$h(t)\\leq 0$等价于\n\n$\\begin{cases}h(-1)=1+a-2a\\leq 0\\\\h(1)=1-a-2a\\leq \\end{cases}$\n\n解得$a\\ge 1$，故选$D$。\n\n解后反思：\n\n1、已知含参函数$f(x)$的单调性(比如单增)，求参数的取值范围，等价于$f'(x)\\ge 0$，且还需要验证等号时不能让函数$f(x)$称为常函数，不过解答题一般不需要验证，是因为给定的函数比较复杂，当参数取到某个值是一般不会称为常函数。\n\n2、转化为已知恒成立问题，求参数范围，一般首选分离参数的思路。\n\n3、关于三角函数的这种转化必须熟练掌握。三角函数的转化\n\n4、二次函数在某个区间上恒成立问题的模型必须熟练掌握。二次函数恒成立模型\n\n![](\"https://img2018.cnblogs.com/blog/992978/201810/992978-20181003155421524-862135896.png\")
\n\n分析：由图可知，函数$f(x)$在区间$(-\\infty，0)$和$[\\cfrac{1}{2}，+\\infty)$上单调递减，在区间$[0，\\cfrac{1}{2}]$上单调递增，\n\n【点评】：①学会读图，解读图像时，是将变化趋势一致(仅仅上升或仅仅下降)的那部分图像，向$x$轴做射影，所得的区间即为单调区间。②这一方法可以解决高中阶段的许多简单函数的单调性，比如基本初等函数，一次、二次函数、分段函数，抽象函数，复合函数等，\n\n:writing_hand:利用图象能判断导函数的正负，原函数的单调性；\n\n$A.16$ $B.-16$ $C.a^2-2a-16$ $D.a^2+2a-16$
\n\n分析：本题目要求对二次函数的图像和性质必须非常熟悉，\n\n$f(x)=x^2-2(a+2)x+a^2=[x-(a+2)]^2+a^2-(a+2)^2$，对称轴为$x=a+2$\n\n$g(x)=-x^2+2(a-2)x-a^2+8=-[x-(a-2)]^2-a^2+8+(a-2)^2$，对称轴为$x=a-2$\n\n联立$\\left\\{\\begin{array}{l}{y=x^2-2(a+2)x+a^2}\\\\{y=-x^2+2(a-2)x-a^2+8}\\end{array}\\right.$\n\n消掉$y$，得到$x^2-2ax+a^2-4=0$，\n\n即$x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]=0$，即$x_1=a-2$，$x_2=a+2$，\n\n做出如图所示的图像，由图可知，\n\n \n\n$H_1(x)$为图中如图所示的紫色虚线，$H_1(x)_{min}=A=f(a+2)$\n\n$=(a+2)^2-2(a+2)(a+2)+a^2=-4a-4$，\n \n$H_2(x)$为图中如图所示的黄色实线，$H_2(x)_{max}=B=g(a-2)$\n\n$=-(a-2)^2+2(a-2)(a-2)-a^2+8=-4a+12$，\n\n故$A-B=(-4a-4)-(-4a+12)=-16$。故选B。\n\n$A$.$\\forall x\\in(0，1)$，都有$f(x)>0$
$B$.$\\forall x\\in(0，1)$，都有$f(x)<0$
$C$.$\\exists x_0\\in(0，1)$，都有$f(x_0)=0$
$D$.$\\exists x_0 \\in(0，1)$，都有$f(x_0)>0$
![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201610/992978-20161013100128156-493675623.png\")
\n\n解得$0![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201610/992978-20161013100136140-1095357019.png\")
\n\n解得$-2![](\"https://img2020.cnblogs.com/blog/992978/202005/992978-20200506172132503-653685699.png\"/)
其实质是给出分段函数：$f(x)=\\begin{cases}3-x,&x<-1\\\\x^2,&-1\\leqslant x\\leqslant 1\\\\x+1,&x>1\\end{cases}$. \n\n用新定义形式给出；\n\n用绝对值的形式给出；\n\n## 研究内容\n\n分段函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；常多见两段式分段函数，组成分段函数的两部分多为一次、二次函数，指数函数、对数函数、幂函数等；\n\n## 常考题型\n\n* 求分段函数的值域[每段函数的值域的并集]，\n\n$A.[-3，0)$ $B.(-3，0)$ $C.(-3，1)$ $D.(-3，-\\sqrt{3})$
\n\n 分析：做出函数的图像，由图像可知，\n\n原不等式等价于$\\begin{cases}3-x^2\\ge0\\\\2x<0\\end{cases}$或$\\begin{cases}3-x^2<0\\\\2x<0\\\\3-x^2>2x\\end{cases}$.\n\n 解得$-\\sqrt{3}\\leq x<0$或$-3![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201708/992978-20170817203221537-2141307375.png\")
\n\n要使得$f(f(a))\\leq 2$，则必须$f(a)\\ge -2$，\n\n这时就转化为分段函数不等式问题了。\n\n$f(a)\\ge -2$等价于以下两个不等式组：\n\n$\\begin{cases}&a<0 \\\\&a^2+a\\ge -2\\end{cases}$\n\n或者$\\begin{cases}&a\\ge 0 \\\\&-a^2\\ge -2\\end{cases}$。\n\n解得$a<0$或者$0\\leq a\\leq \\sqrt{2}$，故$a\\in(-\\infty，\\sqrt{2}]$。\n\n$A.[0，1]$ $B.[0，1]\\cup\\{7\\}$ $C.[0，1]\\cup [3，4]$ $D.[0，1]\\cup[3，4]\\cup\\{7\\}$
\n\n分析：本题目属于求解分段函数方程，可以将$f(x)$这个整体视为已知中的$x$，则原分段函数方程等价于\n\n第一种情形，$0\\leq f(x)\\leq 1$且$f(x)=1$；或第二种情形，$f(x)-3=1$且$f(x)\\notin[0，1]$，\n\n其中第一种可化简为$0\\leq f(x)\\leq 1$，再等价转化为$\\begin{cases}x\\in[0，1]\\\\f(x)=1\\end{cases}$或$\\begin{cases}x\\notin[0，1]\\\\0\\leq x-3\\leq 1\\end{cases}$\n\n解得$0\\leq x\\leq 1$或$3\\leq x\\leq 4$；\n\n第二种可化简为$f(x)=4$，再等价转化为$\\begin{cases}x\\in[0，1]\\\\1=4\\end{cases}$或$\\begin{cases}x\\notin[0，1]\\\\x-3=4\\end{cases}$，解得$x=7$；\n\n综上所述，$x$的取值范围是$[0，1]\\cup[3，4]\\cup\\{7\\}$，故选$D$。\n\n$A.\\cfrac{1}{4}$ $B.\\cfrac{1}{3}$ $C.\\cfrac{1}{2}$ $D.\\cfrac{1}{5}$
\n\n分析：本题目自然是先要求出最大值$M(a)$，然后再求其最小值。结合函数$y=x^2-a$的函数图像，先分类如下：\n\n当$a\\leq 0$时，自己做出函数图像可知最大值$M(a)=|1-a|=1-a$，\n\n当$a>0$时，最大值$M(a)=max\\{a，|1-a|\\}$，\n\n我们再令$a>|1-a|$，两边平方，得到$a>\\cfrac{1}{2}$，\n\n即$a>\\cfrac{1}{2}$时，$M(a)=a$，\n\n当$0![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171122162856430-960576442.png\")
\n\n分析：此题目的求解关键是理解图像和给定的条件对$\\forall x\\in R$，$f(x)>f(x-2)$恒成立，\n\n其中自变量$x$和$x-2$相隔2个单位且满足$x>x-2$，\n\n由$f(x)>f(x-2)$可知，符合题目的自变量的取值须差值在2个单位之内。\n\n解：由图像可得$a>0$，$f(4a)=a$，$f(-4a)=-a$，\n\n对$\\forall x\\in R$，$f(x)>f(x-2)$恒成立，\n\n则须满足条件$\\begin{cases}4a-(-2a)<2\\\\2a-(-4a)<2\\end{cases}$，\n\n解得$a<\\cfrac{1}{3}$，\n\n故正实数$a$的取值范围是$(0，\\cfrac{1}{3})$。\n\n$A(1，ln2\\sqrt{e})$ $B(ln2\\sqrt{e}，\\cfrac{3}{2})$ $C(\\cfrac{3}{2}，2)$ $D(1，ln2\\sqrt{e})\\cup(\\cfrac{3}{2}，2)$
\n\n分析：显然$x=0$不是方程$f(x)-g(x)=0$的根，故可变形为$k=\\cfrac{f(x)+1}{x}$，\n\n设$\\phi(x)=\\cfrac{f(x)+1}{x}=\\begin{cases}x+\\cfrac{1}{x}+4，x<0\\\\\\cfrac{1}{x}+lnx，x>0\\end{cases}$，即$k=\\phi(x)$在$x\\in(-2，2)$有三个实根，\n\n用导数方法研究函数$\\phi(x)$的单调性，做出其[图像](https://www.desmos.com/calculator/4pje2n1b08)；\n\n由图像可得，要使得函数$y=k$与函数$y=\\phi(x)$有三个交点，则$k\\in (1，ln2\\sqrt{e})\\cup(\\cfrac{3}{2}，2)$\n\n$A[0，+\\infty)$ $B(-2，-1]$ $C(-2，0]$ $D(-\\infty，0]$
\n\n分析：要保证第一段函数存在，则$g(x)=x^2+x+a=(x+\\cfrac{1}{2})^2+a-\\cfrac{1}{4}$，其对称轴为$x=-\\cfrac{1}{2}$，则在$[1，+\\infty)$上单调递增，\n\n \n\n\n故$g(x)_{min}=g(1)=1+1+a=2+a$，要使函数有意义，则$2+a>0$①；\n\n又第二段函数的最小值要小于或等于第一段的最大值，则$2+a\\leq 1$②；\n\n由①②可知，则$-2$A.2$ $B.\\cfrac{1}{2}$ $C.\\cfrac{1}{4}$ $D.\\cfrac{1}{8}$
\n\n【分析】此题的突破口在于如何才会存在唯一的$x$满足条件，结合$f(x)$的值域范围或者图象，易知只有在$f(x)$的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当$f(x)>2$时，才会存在一一对应．\n\n【解答】解：根据$f(x)$的函数，我们易得出其值域为$R，$\n\n又∵$f(x)=2x$，$(x≤0)$时，值域为$(0，1]$；$f(x)=log_2^x$，$(x＞0)$时，其值域为$R$\n\n∴可以看出$f(x)$在$（0，1]$上有两个解，\n\n要想$f(f(x))=2a^2t^2+at，$在$t\\in（1，+∞）$上只有唯一的$x\\in R$满足，\n\n必有$f(f(x))＞1$ （因为$2a^2t^2+at＞0$），\n\n所以：$f(x)＞2，$解得：$x＞4$，\n\n当 $x＞4$时，$x$与$f(f(x))$存在一一对应的关系，\n\n∴$2a^2t^2+at＞1，t∈（1，+∞），$且$a＞0，$\n\n所以有：$(2at-1)(at+1)＞0，$解得：$t＞\\cfrac{1}{2a}$或者$t＜-\\cfrac{1}{a}$（舍去），\n\n∴$\\cfrac{1}{2a} \\leq 1$，∴$a\\ge \\cfrac{1}{2}$，故选：$B$\n\n解后反思：本题主要考查了分段函数的应用，本题关键是可以把$2a^2t^2+at$当作是一个数，然后确定数的大小后再把它作为一个关于$t$的函数．\n\n\n$A.(-\\infty, 0]$ $B.[1,+\\infty)$ $C.(-\\infty,-1] \\cup[0,+\\infty)$ $D.(-\\infty,0] \\cup[1,+\\infty)$
\n\n解: 当 $a\\leqslant 0$ 时, $f(x)=\\left\\{\\begin{array}{l}ax+1, \\quad x \\leqslant t \\\\|x-1|, \\quad x>t\\end{array},\\right.$ 在 $R$ 上总是不单调函数，命题成立；\n\n当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 与 $x=t$ 的图象如图:\n\n \n\n所以当 $t \\geqslant 1$ 时，若$at+1\\geqslant t-1$，则不单调， \n\n可得 $a \\geqslant 1-\\cfrac{2}{t}$必然恒成立， 而$1-\\cfrac{2}{t}<1$， \n\n所以 $a \\geqslant 1$，综上 $a \\in(-\\infty .0] \\cup[1,+\\infty)$， 故选 $D$.\n\n## 延伸阅读\n\n1、由抽象函数不等式求参数的取值范围；",
"BlogId": 294450,
"Description": "分段函数问题，是高考中的一个高频考点，经常和不等式、方程等密不可分，让学生感觉很头疼。",
"DateUpdated": "2024-04-21T22:08:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-06-03T20:40:40.18",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "相关概念 分段函数是一类比较特殊的函数。 给出方式 直接给出分段函数；[1] 间接给出，需要利用奇偶性求解；[2] 间接给出，需要化简完善，有难度的情形；[3] 用程序框图给出：[4] 用新定义形式给出； 用绝对值的形式给出； 研究内容 分段函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；常",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6939661,
"Title": "高斯函数的那些事",
"DateAdded": "2017-06-04T10:08:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n对于 $\\forall x\\in R$， $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数；十八世纪，函数 $y=[x]$ 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”。\n\n其解析式如下：\n\n$$[x]=\\left\\{\\begin{array}{l}\n\\cdots,&\\cdots\\\\\n-1,&-1\\leqslant x<0\\\\\n0,&0\\leqslant x<1\\\\\n1,&1\\leqslant x<2\\\\\n2,&2\\leqslant x<3\\\\\n\\cdots,&\\cdots\\\\\\end{array}\\right.$$\n\n其图像如下图所示，\n\n\n\n## 典例剖析\n\n$A.[-x]=-[x]$ $B.[x+\\cfrac{1}{2}]=[x]$ $C.[2x]=2[x]$ $D.[x]+[x+\\cfrac{1}{2}]=[2x]$
\n\n法1：特殊值验证法，比如取$x=1.5$，逐个验证，\n\n对于选项 $A$，当$x=1.5$时，$[-x]=[-1.5]=-2$，$-[x]=-[1.5]=1$，故排除 $A$；\n\n对于选项 $B$，当$x=1.5$时，$[x+\\cfrac{1}{2}]=[2]=2$，$[x]=[1.5]=1$，故排除 $B$；\n\n对于选项 $C$，当$x=1.5$时，$[2x]=[3]=3$，$2[x]=2[1.5]=2$，故排除 $C$；故选$D$.\n\n法2：函数图像法，利用 `DESMOS` 软件可以验证，其中$[x]$ 的输入符号是 `floor(x)` . \n\n\n\n$A.(-\\infty，\\cfrac{3}{4}]$ $B.[\\cfrac{1}{2}，\\cfrac{3}{4}]$ $C.[\\cfrac{1}{2}，\\cfrac{3}{4})$ $D.[\\cfrac{1}{2}，+\\infty)$
\n\n分析：先将$y=g(x)$在区间$[1，2)$上有且仅有$1$个零点，\n\n转化为$y=f(x)+\\cfrac{1}{2}$与$y=ax$在区间$[1，2)$上有且仅有$1$个交点，\n\n接下来在同一个坐标系中做出两个函数的图像，由图像可知，\n\n\n\n当直线$y=ax$经过点$(1，\\cfrac{1}{2})$和点$(2，\\cfrac{3}{2})$时是两种临界状态，\n\n故要使得$y=f(x)+\\cfrac{1}{2}$与$y=ax$在区间$[1，2)$上有且仅有$1$个交点，\n\n则必须满足$a\\in [\\cfrac{1}{2}，\\cfrac{3}{4})$，故选$C$。\n\n$A.(\\cfrac{3}{2}, \\cfrac{15}{2}$ $B.[2,8]$ $C.[2,8)$ $D.[2,7]$
\n\n解析 : 因为 $4[x]^{2}-36[x]+45<0$，所以 $\\cfrac{3}{2}<[x]<\\cfrac{15}{2}$，\n\n因为 $1.5<[x]<7.5$， 所以 $2\\leq x<8$，\n\n故选 $C$. 点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.\n\n$A.$函数 $\\{x\\}$ 的定义域为 $R$，值域为 $[0,1]$；
$B.$方程$\\{x\\}=\\frac{1}{2}$ 有无数个解；
$C.$函数 $\\{x\\}$ 不是周期函数；
$D.$ 函数 $\\{x\\}$ 是增函数
$A.$$f(x)$ 是偶函数
$B.$ $f(x)$ 是周期函数
$C.$ $f(x)$ 的值域为 $[0,1]$
$D.$当 $x \\in[0,1)$ 时, $f(x)=x$
$A.0$ $B.1$ $C.2$ $D.3$
\n\n解析：结合上题的分析，以及函数的图象，\n\n\n\n可知选项 $B$ 和选项 $D$ 正确，故选 $C$ .\n\n$A.3$ $B.4$ $C.5$ $D.6$
\n\n法1：由于 $[t]=1$ 得到， $1\\leqslant t<2$ ；由于 $[t^2]=2$ 得到， $2\\leqslant t^2<3$ ；\n\n由于 $[t^3]=3$ 得到， $3\\leqslant t^3<4$ ①；由于 $[t^4]=4$ 得到， $4\\leqslant t^4<5$ ，即 $2\\leqslant t^2<\\sqrt{5}$② ；\n\n①②两个同向不等式相乘得到，$6\\leqslant t^5<4\\sqrt{5}$，\n\n又由 $[t^5]=5$ 得到， $5\\leqslant t^5<6$，与上式 $6\\leqslant t^5<4\\sqrt{5}$矛盾，\n\n故正整数 $n$ 的最大值为 $4$ .\n\n法2：由于 $[t]=1$ 得到， $1\\leqslant t<2$ ；由于 $[t^2]=2$ 得到， $\\sqrt{2}\\leqslant t<\\sqrt{3}$ ；\n\n由于 $[t^3]=3$ 得到， $\\sqrt[3]{3}\\leqslant t<\\sqrt[3]{4}$ ；由于 $[t^4]=4$ 得到， $\\sqrt{2}=\\sqrt[4]{4}\\leqslant t<\\sqrt[4]{5}$ ；\n\n由于要同时存在，故以上求交集得到， $\\sqrt[3]{3}$A.\\cfrac{1}{4}$ $B.\\cfrac{1}{3}$ $C.\\cfrac{1}{2}$ $D.\\cfrac{2}{3}$
\n\n解析：当 $2\\leqslant x<3$ 时，$[x]=2$ ，$[\\sqrt{2x}\\;]=2$；\n\n\n当 $3\\leqslant x<4$ 时，$[x]=3$ ，$[\\sqrt{2x}\\;]=2$；\n\n\n当 $4\\leqslant x<4.5$ 时，$[x]=4$ ，$[\\sqrt{2x}\\;]=2$；\n\n\n当 $4.5\\leqslant x<5$ 时，$[x]=4$ ，$[\\sqrt{2x}\\;]=3$；\n\n则由长度型几何概型可知， $\\cfrac{3-2}{5-2}=\\cfrac{1}{3}$，故选 $B$.\n\n$A.\\{0\\}$ $B.\\{-1,0\\}$ $C.\\{-2,-1,0\\}$ $D.\\{-1,0,1\\}$
\n\n解析: $f(x)=\\cfrac{e^{x}-1}{e^{x}+1}-\\cfrac{1}{2}=\\cfrac{e^{x}+1-2}{e^{x}+1}-\\cfrac{1}{2}=-\\cfrac{2}{e^{x}+1}+\\cfrac{1}{2}$，\n\n由于当 $x\\in R$ 时， $e^{x}>0$， 则 $e^x+1>1$，则 $0<\\cfrac{1}{e^{x}+1}<1$，则 $0<\\cfrac{2}{e^{x}+1}<2$，\n\n则 $-2<-\\cfrac{2}{e^{x}+1}<0$，则 $-2+\\cfrac{1}{2}<-\\cfrac{2}{e^{x}+1}+\\cfrac{1}{2}<0+\\cfrac{1}{2}$，\n\n即 $-\\cfrac{3}{2}$A$.$G(x)$是偶函数
$B.$$G(x)$的值域是$\\{-1,0\\}$
$C.$$f(x)$是奇函数
$D.$$f(x)$在 $R$ 上为增函数
$f(x)=kx$；
$f(x)=x^3$；
$f(x)=x^k$($k$为奇数)；
\n\n$f(x)=a\\sqrt{x}-bx$；
$f(x)=x^{\\frac{1}{3}}$；
$f(x)=x^1+x^3+x^5+\\cdots$；
$y=Asin\\omega x$；
$y=e^x-e^{-x}$；
$y=2^x-2^{-x}$；
$y=ln\\frac{x+1}{x-1}$；
$f(x)=x+\\frac{k}{x}(k\\neq 0)$；
$g(x)=lg(\\sqrt{sin^2x+1}+sinx)$；
$g(x)=x^3+lg(\\sqrt{x^2+1}+x)$；
$f(x)=x^3\\pm 3sinx$；
$f(x)=ln(\\sqrt{x^2+1}\\pm x)$；
$g(x)=\\cfrac{2^x-1}{2^x+1}$；
$f(x)=\\cfrac{2^x+1}{2^x-1}$；
$h(x)=\\cfrac{a^x-1}{a^x+1}(a>0，a\\neq 1)$；
$g(x)=x+\\cfrac{1}{x}$；
$f(x)=x-\\cfrac{1}{x}$；
$h(x)=x^3+\\cfrac{1}{x^3}$；
$g(x)=x^3-\\cfrac{1}{x^3}$；
$h(x)=\\cfrac{2^x-2^{-x}}{2^x+2^{-x}}$；
$f(x)=log_2\\cfrac{1-x}{1+x}$；
$f(x)=x^2$；
$y=k|x|(k\\in R)$；
$y=e^{|x|}$；
$f(x)=x^k$($k$为偶数)；
$y=Acos \\omega x+k$；
$y=e^x+e^{-x}$；
$y=2^x+2^{-x}$；
$f(x)=ln(1+|x|)$；
$f(x)=\\frac{|x|}{x^2+1}$；
$h(x)=ln(2^x+2^{-x})$；
$f(x)=x^2+\\cfrac{1}{x^2}$；
$f(x)=x^4+\\cfrac{1}{x^4}$；
$A.3$ $B.2$ $C.6$ $D.4$
\n\n详解： 令$g(x)=x+\\sqrt{1-x^{2}}\\cdot\\cfrac{2^{x}-1}{2^{x}+1}$，\n\n由$1-x^{2}\\geqslant 0$得到定义域为$-1\\leqslant x\\leqslant 1$，\n\n$g(-x)=-x+\\sqrt{1-(-x)^{2}}\\cdot\\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}$\n\n$=-x+\\sqrt{1-(-x)^{2}}\\cdot\\cfrac{(2^{-x}-1)\\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\\cdot 2^x}$\n\n$=-x+\\sqrt{1-x^{2}}\\cdot\\cfrac{1-2^{x}}{1+2^{x}}$\n\n$=-x-\\sqrt{1-x^{2}}\\cdot\\cfrac{2^{x}-1}{1+2^{x}}=-g(x)$\n\n则函数$g(x)$为定义域为$[-1,1]$上的奇函数， $g(x)_{\\max}+g(x)_{\\min}=0$，\n\n所以$M+N=g(x)_{\\max}+3+g(x)_{\\min}+3=6$，故选 $C$。\n\n$A.f(sinx)$ $B.f(cosx)$ $C.x\\cdot f(sinx)$ $D.x^2\\cdot f(cosx)$
\n\n分析：先做出函数$f(x)$的图像，由图像可知$f(x)$为偶函数；\n\n对于选项$A$，令$F(x)=f(sinx)$，则$F(-x)=f(sin(-x))=f(-sinx)=f(sinx)=F(x)$，故$f(sinx)$为偶函数；\n\n对于选项$B$，令$F(x)=f(cosx)$，则$F(-x)=f(cos(-x))=f(cosx)=F(x)$，故$f(cosx)$为偶函数；\n\n对于选项$C$，奇函数乘以偶函数为奇函数，故$x\\cdot f(sinx)$为奇函数；\n\n对于选项$D$，偶函数乘以偶函数为偶函数，故$x^2\\cdot f(cosx)$为偶函数；\n\n故选$C$.\n\n>* 利用奇偶性求值；\n\n$A.\\cfrac{17}{4}$ $B.\\cfrac{5}{2}$ $C.-\\cfrac{15}{4}$ $D.-\\cfrac{3}{2}$
\n\n分析：由于函数$f(x)$为奇函数，且定义域为$R$，故其必满足$f(0)=0$，即$2^0+\\cfrac{a}{2^0}=0$，解得$a=-1$；\n\n又由于函数$g(x)$为偶函数，定义域为$R$，可以用两个思路[①特殊值法，②定义法]求解参数的值；\n\n①特殊值法，由$g(-1)=g(1)$，即$-b-\\log_2(4^{-1}+1)=b-\\log_2(4^1+1)$，\n\n即$2b=\\log_25-\\log_2\\cfrac{5}{4}$，即$2b=\\log_25+\\log_2\\cfrac{4}{5}=\\log_24=2$，解得$b=1$；\n\n②定义法，由$g(-x)=g(x)$恒成立，即$-bx-\\log_2(4^{-x}+1)=bx-\\log_2(4^x+1)$恒成立，\n\n即$2bx=\\log_2(4^x+1)-\\log_2(\\cfrac{1+4^x}{4^x})$，即$2bx=\\log_2(4^x+1)+\\log_2(\\cfrac{4^x}{1+4^x})=\\log_24^x=2x$，\n\n即$2bx-2x=0$，即$2x(b-1)=0$对$\\forall x\\in R$恒成立，即$b=1$；\n\n则$f(ab)=f(-1)=2^{-1}-\\cfrac{1}{2^{-1}}=-\\cfrac{3}{2}$，故选$D$； \n\n$A.\\cfrac{1}{2}$ $B.\\cfrac{2}{3}$ $C.\\cfrac{3}{4}$ $D.-\\cfrac{1}{2}$
\n\n【法1】：由函数$f(x)$为奇函数，则满足$f(-x)=-f(x)$，\n\n$f(x)=\\cfrac{x}{(2x+1)(x-a)}=\\cfrac{x}{2x^2+(1-2a)x-a}$，\n\n$f(-x)=\\cfrac{-x}{(-2x+1)(-x-a)}=\\cfrac{-x}{2x^2-(1-2a)x-a}$，\n\n则$\\cfrac{-x}{2x^2-(1-2a)x-a}=\\cfrac{-x}{2x^2+(1-2a)x-a}$应该恒成立，\n\n只需要$-(1-2a)=1-2a$，解得$a=\\cfrac{1}{2}$；故选$A$；\n\n【法2】：由于定义域中有$-1，1$，故必然满足$f(-1)=-f(1)$，解得$a=\\cfrac{1}{2}$；故选$A$；和法1相比，是特值验证。\n\n【法3】：由于奇函数的定义域关于原点对称，令$2x+1=0$得到$x=-\\cfrac{1}{2}$，故可知定义域中没有$x=-\\cfrac{1}{2}$；\n\n令$x-a=0$得到$x=a$，故定义域中必然没有$x=a$，故$a=\\cfrac{1}{2}$；故选$A$；\n\n【法4】：$f(x)=\\cfrac{x}{(2x+1)(x-a)}=\\cfrac{x}{2x^2+(1-2a)x-a}$，由于分子函数为奇函数，要是$f(x)$为奇函数，则分母函数$y=2x^2+(1-2a)x-a$为二次函数，\n\n要是偶函数，则$1-2a=0$，解得$a=\\cfrac{1}{2}$；故选$A$；\n\n$A.-8$ $B.-10$ $C.-9$ $D.-11$
\n\n分析：令$g(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x$，则$g(x)$为奇函数，则$g(-x)=-g(x)$，\n\n这样$f(x)=g(x)+1$，由于$f(3)=g(3)+1=10$，\n\n令$f(-3)=m=g(-3)+1$，两式相加得到，\n\n$g(3)+1+g(-3)+1=10+m$，即$g(3)+g(-3)+2=10+m$，即$2=10+m$，\n\n解得$m=-8$，即$f(-3)=-8$，故选$A$。\n\n>* 利用奇偶性求取值范围[解不等式]；\n\n$A.(-\\infty，\\cfrac{1}{2})$ $B.(-\\infty，\\cfrac{1}{2})\\cup (\\cfrac{3}{2}，+\\infty)$ $C.(\\cfrac{1}{2}，\\cfrac{3}{2})$ $D.(\\cfrac{3}{2}，+\\infty)$
\n\n分析：由偶函数可知，$f(x)$总满足$f(x)=f(-x)=f(|x|)$，$f(x)$在区间$(0，+\\infty)$上单调递减，\n\n故将已知条件转化为$f(2^{|a-1|})>f(|-\\sqrt{2}|)=f(\\sqrt{2})$，\n\n利用在区间$(0，+\\infty)$上单调递减得到$2^{|a-1|}<2^{\\frac{1}{2}}$，则有$|a-1|<\\cfrac{1}{2}$，\n\n解得$a\\in (\\cfrac{1}{2}，\\cfrac{3}{2})$。\n\n$A.\\{x \\mid x<-2 或 x>4\\}$ $B.\\{x \\mid x<0 或 x>4\\}$ $C.\\{x\\mid x<0 或 x>6\\}$ $D.\\{x\\mid x<-2 或 x>2\\}$
\n\n分析：先利用奇偶性求得函数的解析式$f(x)=\\begin{cases}2^x-4&x\\ge0\\\\2^{-x}-4&x<0\\end{cases}$，[如何求](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6905157.html#tips)，接下来\n\n[法1]：图像法，作出函数$f(x)$的图像，变换得到$f(x-2)$的图像，\n\n从而利用图像解得不等式$f(x-2)>0$。[图像](https://www.desmos.com/calculator/mk9qwtsppc)\n\n[法2]：代数法，由$f(x)$的解析式得到函数$f(x-2)$的解析式\n\n$f(x-2)=\\begin{cases}2^{x-2}-4&x-2\\ge0\\\\2^{-(x-2)}-4&x-2<0\\end{cases}$，\n\n即$f(x-2)=\\begin{cases}2^{x-2}-4&x\\ge2\\\\2^{2-x}-4&x<2\\end{cases}$，\n\n故$f(x-2)>0$可等价转化为$\\begin{cases}x\\ge 2\\\\2^{x-2}-4>0\\end{cases}$\n\n或者$\\begin{cases}x<2\\\\2^{2-x}-4>0\\end{cases}$，\n\n解得$x<0$或$x>4$，故选$B$.\n\n[法3]：利用偶函数的性质，$f(-x)=f(x)=f(|x|)$，\n\n由$f(x)=2^x-4(x\\ge 0)$，可知偶函数$f(x)$在$[0 ，+\\infty)$上单调递增，且有$f(2)=0$，\n\n故所求不等式$f(x-2)>0$，可以转化为$f(x-2)>f(2)$，\n\n由偶函数再次转化为$f(|x-2|)>f(|2|)$，由$f(x)$在$[0 ，+\\infty)$上单调递增，\n\n可知$|x-2|>2$，解得$x<0$或$x>4$，故选$B$.\n\n$A(2，6)$ $B(-6，-2)$ $C(-\\infty，2)\\cup(6，+\\infty)$ $D(-\\infty，-6)\\cup(-2，+\\infty)$
\n\n分析：$g(x)$为偶函数，且在$[0，+\\infty)$上单调递增，$g(|x|)$A(-2，+\\infty)$ $B(-\\infty，-2)$ $C(-1，+\\infty)$ $D(-\\infty，-1)$
\n\n分析：由于$f(-x)=-f(x)$，古函数$f(x)$为奇函数，又由于$f'(x)=cosx+x(-sinx)-cosx-x^2$，\n\n则$f'(x)=-x(sinx+x)\\leq 0$，(此处针对$x$分类讨论即可判断正负)\n\n故函数$f(x)$在$R$上单调递减，又由于$f(2x+3)<-f(1)=f(-1)$，故$2x+3>-1$，解得$x>-2$，故选$A$.\n\n$A.(-\\infty，-1)$ $B.(-1，+\\infty)$ $C.(3，+\\infty)$ $D.(-1，3)$
\n\n分析：由$x>0$时，$f'(x)<0$，可知函数$f(x)$在区间$(0，+\\infty)$上单调递减，\n\n又由于函数$f(x)$为偶函数，由$f(2x)>f(x+3)$可得，$f(|2x|)>f(|x+3|)$，\n\n则有$|2x|<|x+3|$，解得$-1$A.\\alpha > \\beta$ $B.\\alpha+\\beta > 0$ $C.\\alpha < \\beta$ $D.\\alpha^2 > \\beta^2$
\n\n分析：由$\\alpha\\cdot sin\\alpha-\\beta\\cdot sin\\beta>0$，得到$\\alpha\\cdot sin\\alpha>\\beta\\cdot sin\\beta$，左右两边的结构一模一样，故联想到构造函数\n\n令$g(x)=x\\cdot sinx$，则上述条件可表述为$g(\\alpha)>g(\\beta)$，要去掉符号$g$，我们就得研究函数的性质，尤其是奇偶性和单调性。\n\n由于函数$g(-x)=(-x)\\cdot sin(-x)=x\\cdot sinx=g(x)$，故函数$g(x)$为偶函数；\n\n当$x\\in[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$，$g(x)=x\\cdot sinx$单调递增，[^wh01]\n\n[^wh01]:原因一：$x\\in[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$时，$y=x>0$且单调递增，$y=sinx>0$且单调递增，故$g(x)$在$x\\in[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$上单调递增；\n原因二：导数法，$g'(x)=sinx+x\\cdot cosx$，当$x\\in[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$时，$g'(x)>0$，故$g(x)$在$x\\in[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$上单调递增；\n综上，函数$g(x)$在$[-\\cfrac{\\pi}{2}，0]$上单调递减，在$x\\in[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$上单调递增。\n\n利用偶函数的性质，将$g(\\alpha)>g(\\beta)$等价转化为$g(|\\alpha|)>g(|\\beta|)$，\n\n故$|\\alpha|>|\\beta|$，则有$\\alpha^2>\\beta^2$，选$D$。\n\n$A.x_1 > x_2$ $B.x_1+x_2 > 0$ $C.x_1 < x_2$ $D.x_1^2 > x_2^2$
\n\n分析：$f(-x)=e^{1-sinx}+e^{1+sinx}=f(x)$，故函数$f(x)$为偶函数，\n\n又当$x\\in[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$，$f'(x)=e^{1+sinx}\\cdot cosx+e^{1-sinx}\\cdot (-cosx)=cosx(e^{1+sinx}-e^{1-sinx})>0$，\n\n故函数$f(x)$在$[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$上单调递增，则由$f(x_1)>f(x_2)$得到，\n\n$f(|x_1|)>f(|x_2|)$，则有$|x_1|>|x_2|$，则$x_1^2>x_2^2$，故选$D$.\n\n$A.f(a)+f(b)\\leq 0$ $B.f(a)+f(b)\\ge 0$ $C.f(a)-f(b)\\leq 0$ $D.f(a)+f(b)\\ge 0$
\n\n分析：函数$f(x)$满足条件，$f(-x)+f(x)=0$，故为奇函数，又函数在$R$上单调递增，故由$a\\ge -b$，得到$f(a)\\ge f(-b)$，即$f(a)\\ge -f(b)$，则$f(a)+f(b)\\ge 0$，故选$B$。\n\n$A.(-1,0)$ $B.(-\\cfrac{1}{3},1)$ $C.(0,1)$ $D.(-\\infty,0)\\cup(1,+\\infty)$
\n\n解析： 函数 $y=f(x)=x^{\\frac{2}{3}}$，偶函数 ，故原不等式等价于 $f(|x-1|)>f(|3x+1|)$，\n\n又函数 $y=f(x)=x^{\\frac{2}{3}}$在 $[0,+\\infty)$上单调递增，故有 $|x-1|>|3x+1|$，\n\n两边平方得到， $|x-1|^2>|3x+1|^2$，解得，$x\\in (-1,0)$，故选 $A$ .",
"BlogId": 294450,
"Description": "函数的奇偶性习题",
"DateUpdated": "2024-12-01T13:08:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-06-04T10:55:06.227",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 利用函数的奇偶性可以解决以下问题：求函数值，求解析式，求解析式中的参数的值，做函数图像，求特殊值。 奇偶函数 常见的奇函数，最好借助奇偶性和单调性能掌握其函数的图像； $f(x)=kx$； $f(x)=x^3$； $f(x)=x^k$($k$为奇数)； $f(x)=a\\sqrt{x}-bx$；",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 6941722,
"Title": "抽象函数",
"DateAdded": "2017-06-04T20:14:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n小学和初中我们学习了有关数的运算，高中就主要涉及考查$“$代数$”$的运算[用字母代替数字运算和思维]；同理，当我们学习了各种具体的函数[基本初等函数]和[初等函数]之后，接下来的考查自然会延申拓展到抽象函数，在理解抽象函数时，我们可以依托其对应的具体函数来降低思维的难度。遇到抽象函数的问题，采用抽象问题具体化的策略也是不错的选择。\n\n\n## 相关阅读\n\n[复合函数](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9742897.html)；[函数的对称性](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9744631.html)；\n\n[具体函数及其对应的抽象函数](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7627156.html)； [函数的奇偶性](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7674315.html)；\n\n[抽象函数的对称性验证](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6691247.html)； [对函数的再理解](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11627054.html)；\n\n\n## 典例剖析\n\n> * 涉及抽象函数的单调性的变形技巧\n\n$A.0$ $B.2015$ $C.2016$ $D.2017$
\n\n分析：由函数$y=f(x-2015)$的图像关于直线$x=2015$对称可得，\n\n函数$y=f(x)$的图像关于直线$x=0$对称，即函数$f(x)$为偶函数；\n\n又对任意$x\\in R$，都有$f(x+2016)=f(x)+f(1008)$成立，\n\n令$x=-1008$，则有$f(-1008+2016)=f(-1008)+f(1008)$，\n\n即$f(1008)=f(-1008)+f(1008)$，得到$f(1008)=f(-1008)=0$，\n\n即$f(x+2016)=f(x)+f(1008)$变形为$f(x+2016)=f(x)$，\n\n即$T=2016$，故$f(3024)=f(3024-2016)=f(1008)=0$，故选$A$。\n\n> * 抽象函数的单调性\n\n$A.f(2x)+f(3y)\\leq 0$ $B.f(2x)+f(3y)\\ge 0$ $C.f(2x)+f(3y)< 0$ $D.f(2x)+f(3y)> 0$
\n\n分析：$\\frac{f(x)+f(\\frac{3y}{2})}{2x+3y}<0$可变形为 $\\frac{f(x)+f(\\frac{3y}{2})}{x+\\frac{3y}{2}}<0$，即$\\frac{f(x)-f(-\\frac{3y}{2})}{x-(-\\frac{3y}{2})}<0$，\n\n令$x_1=x，x_2=-\\cfrac{3y}{2}$，则$\\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0$，\n\n即函数$f(x)$为R上的减函数，结合$2x>-3y$,可得$f(2x)$A.(-\\infty，\\cfrac{1}{2})$ $B.(-\\infty，\\cfrac{1}{2})\\cup (\\cfrac{3}{2}，+\\infty)$ $C.(\\cfrac{1}{2}，\\cfrac{3}{2})$ $D.(\\cfrac{3}{2}，+\\infty)$
\n\n分析：由偶函数可知，$f(x)$总满足$f(x)=f(-x)=f(|x|)$，$f(x)$在区间$(0，+\\infty)$上单调递减，\n\n故将已知条件转化为$f(2^{|a-1|})>f(|-\\sqrt{2}|)=f(\\sqrt{2})$，\n\n利用在区间$(0，+\\infty)$上单调递减得到$2^{|a-1|}<2^{\\frac{1}{2}}$，则有$|a-1|<\\cfrac{1}{2}$，\n\n解得$a\\in (\\cfrac{1}{2}，\\cfrac{3}{2})$，故选$C$.\n\n\n\n故$f(x)$在$[0，+\\infty)$上单调递增，
\n\n又$f(a)
\n\n解得$a<\\cfrac{1}{2}$，即$a\\in(-\\infty，\\cfrac{1}{2})$。\n\n## 拔高训练\n\n:writing_hand: 涉及抽象函数的构造\n\n
![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201804/992978-20180406161633427-636016503.png\")
\n\n如右图所示，我们选取的周期是$[0，2\\pi]$，从图上可以看出，\n\n当$sinx>\\cfrac{1}{2}$时，在一个周期内的不等式的解是$\\cfrac{\\pi}{6}< x <\\cfrac{5\\pi}{6}$，\n\n而题目中$x\\in R$，故我们还需要做出拓展，那么怎么拓展呢？\n\n函数$y=\\cfrac{1}{2}$，自然是向左右两端无限延伸的，\n\n函数$y=sinx$也是向左右两端按照周期$T=2\\pi$的整数倍无限延伸的，\n\n故满足题意的不等式的解集绝不仅仅是上述解出的解集，\n\n应该还有，就是把上述的解集也向左右两端按照周期的整数倍延伸，\n\n即$k \\cdot 2\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}< x < k \\cdot 2\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6}(k\\in Z)$，\n\n故所求的不等式的所有解集应该是$\\{x\\mid 2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}< x <2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6}，k\\in Z\\}$；\n\n或者$(2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}，2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6})(k\\in Z)$ $\\hspace{4em}$错误写法：[^wh01]\n\n\n[^wh01]:上述解集的常见错误写法：\n$\\{x\\mid x\\in (2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}，2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6}) k\\in Z\\}$，不符合描述法的格式；\n$\\{x\\mid 2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}< x <2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6}\\}$，漏写$k\\in Z$；\n$x\\in (2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}，2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6})$，漏写$k\\in Z$；\n$(2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}，2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6})$，漏写$k\\in Z$；\n\n\n\n\n\n> 法1的反思提升： \n\n* 1、周期函数的周期一定要选$[0，2\\pi]$吗？\n\n那倒不一定，原则上只要区间的长度为$2\\pi$都可以，比如本题还可以选周期为$[-\\pi，\\pi]$，这样我们可以看到在一个周期内的不等式的解集是连续的，便于我们的表达刻画。\n\n* 2、如果解$sinx<\\cfrac{1}{2}$，周期怎么选？\n\n此时如果还选$[0，2\\pi]$，那就不好，由上图我们可以看出，\n\n此时一个周期内的解集有$[0，\\cfrac{\\pi}{6})$，还有$(\\cfrac{5\\pi}{6}，2\\pi]$，两个解集就没有连续在一起，后续拓展表达很不方便；\n\n那么我们怎么解决这一问题呢？只要选周期为$[\\cfrac{\\pi}{2}，\\cfrac{5\\pi}{2}]$就可以，\n\n此时一个周期内的解集就可以表达为$\\cfrac{5\\pi}{6}< x<\\cfrac{13\\pi}{6}$，\n\n再拓展得到$R$上的解集为$2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6} < x<2(k+1)\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}(k\\in Z)$，\n\n* 3、如何解不等式$sin(2x+\\cfrac{\\pi}{4})>\\cfrac{1}{2}$？\n\n此时，将整体$2x+\\cfrac{\\pi}{4}$看成上述解法中的$x$(整体思想)，\n\n先得到$sinx>\\cfrac{1}{2}$的解集为$2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}< x <2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6}(k\\in Z)$；\n\n然后回归，得到$2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}< 2x+\\cfrac{\\pi}{4} <2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6}(k\\in Z)$；\n\n解上述的双连不等式就得到不等式$sin(2x+\\cfrac{\\pi}{4})>\\cfrac{1}{2}$的解集。\n\n请自行解决。\n\n* 4、如何解不等式：$\\cfrac{1}{2}\\cdot sinx+\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}cosx>\\cfrac{1}{2}$.\n\n先将其转化划归为$sin(x+\\cfrac{\\pi}{3})>\\cfrac{1}{2}$，然后仿照上例解决即可。\n\n* 5、如何解不等式$2cosx\\geqslant 1$；\n\n其一可以借助函数$y=cosx$的图像求解即可。其二，可以借助单位圆和三角函数线法；此时需要注意，解集的区间表示有难点。\n\n\n\n如图所示，满足题意的角的终边应该落在劣弧$AB$所对的扇形区域内，由于此时$x$轴的正半轴包含在其中，故表示时射线$OB$应该用$2k\\pi-\\cfrac{\\pi}{3}$刻画，射线$OA$应该用$2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{3}$刻画，\n\n即解集应该为$[2k\\pi-\\cfrac{\\pi}{3},2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{3}]$$(k\\in Z)$，\n\n【易错】①好多学生在此容易错误的认为，射线$OB$应该用$2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{3}$刻画，此时是错误的，原因是若解集为$[2k\\pi+\\cfrac{5\\pi}{3},2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{3}]$$(k\\in Z)$，明显区间特点为左大右小，故错误；\n\n②还有学生会纠结，为什么表示角的终边在$y$轴负半轴时，可以用$2k\\pi+\\cfrac{3\\pi}{2}$$(k\\in Z)$，也可以用$2k\\pi-\\cfrac{\\pi}{2}$$(k\\in Z)$，为什么上题中这样使用就是错误的？原因是上题表示的结果是一个区域，边界线射线$OB$不是孤立存在的，与别人有大小关系，故不能随心所欲的表示；\n\n③如何选取区域，做一条角的终边落在某个区域内，然后验证即可。角的终边定区域[线性规划中，特殊点定区域]\n\n[例1的法2]：三角函数线法，做出如右图所示的单位圆，在$y$轴的正半轴找到$\\cfrac{1}{2}$，\n\n过此点做$x$轴的平行线与单位圆交于点$P$和点$Q$，\n\n![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201804/992978-20180406174722328-601261592.png\")
\n\n则$sinx=\\cfrac{1}{2}$时的正弦线是$MP$和$NQ$，那么$sinx>\\cfrac{1}{2}$时的角的终边应该落在劣弧$OPQ$内部，\n\n故在一个周期内的不等式的解是$\\cfrac{\\pi}{6}< x <\\cfrac{5\\pi}{6}$，\n\n拓展后得到$R$上的解集为$\\{x\\mid k \\cdot 2\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}< x < k \\cdot 2\\pi+\\cfrac{5\\pi}{6}(k\\in Z)\\}$；\n\n当然，如果是解不等式$sinx<\\cfrac{1}{2}$ ，则角的终边应该落在优弧$OPQ$内，\n\n在一个周期内的不等式的解是$-\\cfrac{7\\pi}{6}< x <\\cfrac{\\pi}{6}$， \n\n拓展后得到$R$上的解集为$\\{x \\mid k \\cdot 2\\pi-\\cfrac{7\\pi}{6}< x < k \\cdot 2\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}(k\\in Z)\\}$； \n\n## 化为模型\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201610/992978-20161011080207086-389147234.png\")
\n\n【解析】三角不等式常用两种解法，利用三角函数线或者三角函数图像，详解如下：\n\n【1、单位圆+三角函数线】\n\n如图所示，由正弦线可知，$sinx>0$得到：$x\\in(2k\\pi，2k\\pi+\\pi)(k\\in Z)$\n\n由余弦线可知，$cos2x\\ge-\\cfrac{1}{2}$\n\n得到：$2x\\in[2k\\pi-\\cfrac{2\\pi}{3}，2k\\pi+\\cfrac{2\\pi}{3}](k\\in Z)$，\n\n所以$x\\in[k\\pi-\\cfrac{\\pi}{3}，k\\pi+\\cfrac{\\pi}{3}]\\\\=[2k\\pi-\\cfrac{\\pi}{3}，2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{3}]\\bigcup[2k\\pi+\\cfrac{2\\pi}{3}，2k\\pi+\\cfrac{4\\pi}{3}](k\\in Z)$，\n\n求其交集得到$x\\in(2k\\pi，2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{3}]\\bigcup[2k\\pi+\\cfrac{2\\pi}{3}，2k\\pi+\\pi)(k\\in Z)$\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201610/992978-20161010124932071-935405354.png\")
\n\n【2、三角函数法】转化为解三角函数不等式组$\\begin{cases} sinx> 0 \\\\ cos2x+\\frac{1}{2}\\ge 0\\end{cases}$，\n\n解不等式$sinx>0$\n\n得到：$x\\in(2k\\pi，2k\\pi+\\pi)(k\\in Z)$\n\n解不等式$cos2x\\ge-\\cfrac{1}{2}$\n\n得到：$2x\\in[2k\\pi-\\cfrac{2\\pi}{3}，2k\\pi+\\cfrac{2\\pi}{3}](k\\in Z)$，\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201610/992978-20161010130449977-1834569456.png\")
\n所以$x\\in[k\\pi-\\cfrac{\\pi}{3}，k\\pi+\\cfrac{\\pi}{3}](k\\in Z)$，\n\n求其交集得到$x\\in(2k\\pi，2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{3}]\\bigcup[2k\\pi+\\cfrac{2\\pi}{3}，2k\\pi+\\pi)(k\\in Z)$\n\n![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201808/992978-20180807170809474-165937201.png\")
\n\n分析：由题目可知，$|x|\\leq 5①$，且$sinx>\\cfrac{1}{2}②$\n\n解①得到$-5\\leq x\\leq 5$；解②得到$2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{6}$A.[\\cfrac{\\pi}{6}，\\cfrac{\\pi}{3}]$ $B.[\\cfrac{\\pi}{4}，\\cfrac{\\pi}{3}]$ $C.[\\cfrac{\\pi}{4}，\\cfrac{\\pi}{2})$ $D.[\\cfrac{\\pi}{4}，\\cfrac{2\\pi}{3}]$
\n\n分析：设直线的倾斜角为$\\theta$，则$k=tan\\theta=2cos\\alpha$，由于$\\alpha\\in [\\cfrac{\\pi}{6}，\\cfrac{\\pi}{3}]$，则$2cos\\alpha\\in [1，\\sqrt{3}]$，\n\n即$k=tan\\theta\\in [1，\\sqrt{3}]$，故$\\theta\\in [\\cfrac{\\pi}{4}，\\cfrac{\\pi}{3}]$，故选$B$.\n\n$A.(0，\\cfrac{\\pi}{2})$ $B.(0，\\pi)$ $C.[-\\cfrac{\\pi}{4}，\\cfrac{\\pi}{4}]$ $D.[0，\\cfrac{\\pi}{4}]\\cup[\\cfrac{3\\pi}{4}，\\pi)$
\n\n分析：设直线的倾斜角为$\\theta$，则$k=tan\\theta=sin\\alpha\\in [-1，1]$，又由于$\\theta\\in [0，\\pi)$，\n\n则$\\theta\\in [0，\\cfrac{\\pi}{4}]\\cup[\\cfrac{3\\pi}{4}，\\pi)$，故选$D$.\n\n$A.[0，\\pi)$ $B.[0，\\cfrac{\\pi}{4}]\\cup[\\cfrac{3\\pi}{4}，\\pi)$ $C.[0，\\cfrac{\\pi}{4}]$ $D.[0，\\cfrac{\\pi}{4}]\\cup(\\cfrac{\\pi}{2}，\\pi)$
\n\n分析：由点$A(2，1)$、$B(1，m^2)$得到，$k=tan\\theta=\\cfrac{m^2-1}{1-2}=1-m^2\\leqslant 1$，故$\\theta\\in [0，\\cfrac{\\pi}{4}]\\cup(\\cfrac{\\pi}{2}，\\pi)$，故选$D$.\n\n## 相关链接\n\n> * 三角方程的解法\n\n$\\hspace{4em}符号语言$
$\\hspace{2em}自然语言$
$①f(x+4)=f(x)或f(x+2)=f(x-2)\\Longrightarrow$
$最小正周期T=4$
$②f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=\\cfrac{k}{f(x)}\\Longrightarrow$
$最小正周期T=2a(a>0，k\\neq 0)$
$③f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0\\Longrightarrow$
$f(x)是奇函数$
$④f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0\\Longrightarrow$
$f(x)是偶函数$
$⑤f(4-x)=f(x)或f(4-x)-f(x)=0\\Longrightarrow$
$f(x)关于直线x=2对称$
$⑥f(-x)+f(x)=2或f(-x)=2-f(x)\\Longrightarrow$
$f(x)关于点(0，1)对称$
$\\hspace{4em}自然语言$
$\\hspace{2em}符号语言$
$①f(x)的最小正周期T=4\\Longrightarrow$
$f(x+4)=f(x)或f(x+3)=f(x-1)$
$②f(x)是奇函数\\Longrightarrow$
$f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0$
$③f(x)是偶函数\\Longrightarrow$
$f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0$
$④f(x)关于直线x=2对称\\Longrightarrow$
$f(4-x)=f(x)或f(3+x)=f(1-x)$
$⑤f(x)关于点(2，1)对称\\Longrightarrow$
$f(4-x)+f(x)=2或f(3+x)+f(1-x)=2$
$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$
\n\n分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，\n\n那么由①可知，函数满足$f(x+4)=f(x)$，其周期是$4$；\n\n由②可知$y=f(x)$的对称轴是$x=2$，可以表达为$f(x+4)=f(-x)$，\n\n那么在结合$f(x+4)=f(x)$，可知$f(-x)=f(x)$，则函数$f(x)$还是偶函数；\n\n由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数$f(x)$在区间$(0，2]$上单调递增，\n\n有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。\n\n$a=f(-5)\\xlongequal{周期性}f(-1)\\xlongequal{奇偶性}f(1)$；\n\n$b=f(\\cfrac{19}{2})\\xlongequal{周期性}f(\\cfrac{3}{2})=f(1.5)$；\n\n$c=f(\\cfrac{41}{4})\\xlongequal{周期性}f(2+\\cfrac{1}{4})\\xlongequal{已知表达式}f(\\cfrac{1}{4}-2)\\xlongequal{偶函数}f(2-\\cfrac{1}{4})=f(1.75)$；\n\n或$c=f(\\cfrac{41}{4})=f(2+\\cfrac{1}{4})=f(2+\\cfrac{1}{4}-4)=f(-\\cfrac{7}{4})=f(\\cfrac{7}{4})=f(1.75)$\n\n由$\\because f(x)$在区间$(0，2]$上$\\nearrow$，$1<1.5<1.75$， $\\therefore f(1)$A.①②③$ $B.②③④$ $C.①③④$ $D.①②③④$
\n\n分析：对于选项①而言，由于$f(x-2)=-f(x)$ ，故很容易得到，$T=4$，故①是真命题；\n\n对于选项②而言，其实质是求解析式，由于$1\\leqslant x\\leqslant 3$，则$-1\\leqslant x-2\\leqslant 1$，又由于已知$1$$\\leqslant$$x$$\\leqslant$$1$时， $f(x)=x^{3}$，故$f(x-2)=(x-2)^3$，又由于$f(x)=-f(x-2)$，故当$1\\leqslant x\\leqslant 3$时，$f(x)=-(x-2)^3=(2-x)^3$，故②是真命题；\n\n对于选项③而言，由于切点为 $(\\cfrac{3}{2}, f(\\cfrac{3}{2}))$，故需要计算其纵坐标此时必须借助解析式$1$$\\leqslant$$x$$\\leqslant$$3$时，$f(x)=(2-x)^3$计算，$\\quad$，$f(\\cfrac{3}{2})=(2-\\cfrac{3}{2})^3=\\cfrac{1}{8}$；同时还需要计算斜率$k$，由于$f(x)=(2-x)^3$，故$f'(x)=-3(2-x)^2$此处易错，涉及到复合函数的求导运算，请参阅博文[复合函数](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9742897.html)$\\quad$，故$k=f'(\\cfrac{3}{2})=-\\cfrac{3}{4}$，由点斜式可得切线方程为$y$$-$$\\cfrac{1}{8}$$=$$-\\cfrac{3}{4}$$(x-\\cfrac{3}{2})$，整理得到$3x$$+$$4y$$-$$5$$=$$0$，则 ③ 是真命题；\n\n对于选项④而言，要说明对称轴中有直线$x=1$，需要得到$f(-x)=f(x-2)$此处当然也可以是其等价变形形式中的任意一个，比如$f(1-x)$$=$$f(1+x)$，或者$f(x)$$=$$f(2-x)$，或者$f(-1-x)$$=$$f(3+x)$等等，但是越接近题目的已知条件越便于利用已知条件；$\\quad$，由$f(-x)=-f(x)$和$f(x-2)=-f(x)$联立，得到$f(-x)=f(x-2)$，故其有对称轴$x=1$；\n\n同理，要说明对称轴中有直线$x=-1$，需要得到$f(-x)=f(x+2)$，故用$x+2$替换条件$f(x-2)=-f(x)$中的$x$，得到$f(x)=-f(x+2)$，又由于$-f(-x)=f(x)$，得到$-f(x+2)=-f(-x)$，即$f(x+2)=f(-x)$，故其有对称轴$x=-1$；则可知④是真命题；\n\n综上所述，选$D$.\n",
"BlogId": 294450,
"Description": "高效快速掌握函数的各种性质",
"DateUpdated": "2024-11-17T08:27:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-06-30T15:00:02.76",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 高中数学的学习中，学生很是头疼函数的性质，性质多繁杂，而且是经常是组合式考查，让学生防不胜防，那么我们到底改怎么学习和掌握函数的性质呢？ 厘清性质 重要的是，必须首先先弄清楚函数的各种基本性质以及各种性质的变式说法，这是正确快速理解题意的先决条件。 掌握变形 比如我们知道函数\\(f(x)\\)是",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 7113605,
"Title": "概率与统计习题",
"DateAdded": "2017-07-03T23:49:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "\n## 典例剖析\n\n$A.8$ $B.15$ $C.16$ $D.32$
\n\n分析：原样本数据的相关数字特征如下：\n\n$x_1，x_2，\\cdots，x_{10}$的平均数为$\\bar{x}=\\cfrac{x_1+x_2+\\cdots+x_{10}}{10}$；\n\n其方差为$s_1^2=\\cfrac{1}{10}[(x_1-\\bar{x})^2+(x_2-\\bar{x})^2+\\cdots+(x_{10}-\\bar{x})^2]$；\n\n其标准差为$s_1=\\sqrt{\\cfrac{1}{10}[(x_1-\\bar{x})^2+(x_2-\\bar{x})^2+\\cdots+(x_{10}-\\bar{x})^2]}=8$；\n\n则新样本数据的相关数字特征如下：\n\n$2x_1-1，2x_2-1，\\cdots，2x_{10}-1$的平均数为\n\n$\\bar{x'}=\\cfrac{(2x_1-1)+(2x_2-1)+\\cdots+(2x_{10}-1)}{10}=2\\bar{x}-1$；\n\n其方差为$s_2^2=\\cfrac{1}{10}[(2x_1-1-\\bar{x'})^2+(2x_2-1-\\bar{x'})^2+\\cdots+(2x_{10}-1-\\bar{x'})^2]$；\n\n$=\\cfrac{2^2}{10}[(x_1-\\bar{x})^2+(x_2-\\bar{x})^2+\\cdots+(x_{10}-\\bar{x})^2]=2^2\\cdot s_1^2$\n\n其标准差为$s_2=\\sqrt{\\cfrac{1}{10}[(2x_1-1-\\bar{x'})^2+(2x_2-1-\\bar{x'})^2+\\cdots+(2x_{10}-1-\\bar{x'})^2]}$；\n\n$=\\sqrt{\\cfrac{1}{10}[(2x_1-2\\bar{x})^2+(2x_2-2\\bar{x})^2+\\cdots+(2x_{10}-2\\bar{x})^2]}$\n\n$=\\sqrt{\\cfrac{2^2}{10}[(x_1-\\bar{x})^2+(x_2-\\bar{x})^2+\\cdots+(x_{10}-\\bar{x})^2]}$\n\n$=2\\sqrt{\\cfrac{1}{10}[(x_1-\\bar{x})^2+(x_2-\\bar{x})^2+\\cdots+(x_{10}-\\bar{x})^2]}$\n\n$=2\\cdot s_1=2\\times8=16$，故选$C$。\n\n反思总结：\n\n一组样本数据$x_1，x_2，\\cdots，x_n$，其平均数为$\\bar{x}$，方差为$s^2$，标准差为$s$，\n\n则样本数据$ax_1+b，ax_2+b，\\cdots，ax_n+b$，其平均数为$a\\bar{x}+b$，方差为$a^2\\cdot s^2$，标准差为$a\\cdot s$，\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170707221444878-2009110072.png\")
\n\n（2）若不等式$f(x)\\ge g(x)$的解集包含$[-1，1]$，求$a$的取值范围。\n\n法1：数形结合法，函数$f(x)=-x^2+ax+4$，对称轴为$x=\\cfrac{a}{2}$，开口向下，由有图可知，要使得不等式$f(x)\\ge g(x)$的解集包含$[-1，1]$，只需要满足条件$\\begin{cases}f(-1)\\ge 2\\\\f(1)\\ge 2\\end{cases}$，解得$\\begin{cases}a\\leq 1\\\\a\\ge -1\\end{cases}$，故$a$的取值范围为$[-1，1]$。\n\n法2：转化为不等式恒成立求解，当$x\\in [-1，1]$时，$g(x)=2$，由题目可知，不等式$f(x)\\ge 2$的解集包含$[-1，1]$，即当$x\\in [-1，1]$时，$f(x)\\ge 2$恒成立，即$-x^2+ax+2\\ge 0$恒成立，\n\n令$h(x)=-x^2+ax+2$，则只需满足条件$\\begin{cases}h(-1)\\ge 0\\\\h(x)\\ge 0\\end{cases}$，解得$-1\\leq a \\leq 1$，故$a$的取值范围为$[-1，1]$。\n\n法3：恒成立+分离参数法\n当转化得到$x\\in [-1，1]$时，$f(x)\\ge 2$恒成立，即$-x^2+ax+2\\ge 0$恒成立，接下来准备分离参数：\n\n$1^。$当$x=0$时，代入得到$2\\ge 0$，即$a\\in R$；\n\n$2^。$当$x<0$时，由$ax\\ge x^2-2$分离参数得到$a\\leq \\cfrac{x^2-2}{x}=x-\\cfrac{2}{x}$，令$h(x)=x-\\cfrac{2}{x}$，$h(x)$在区间$(-1，0)$上单调[递增](http://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6867016.html)，故$h(x)_{min}\\rightarrow h(-1)=1$即$a\\leq 1$；\n\n$3^。$当$x>0$时，由$ax\\ge x^2-2$分离参数得到$a\\ge \\cfrac{x^2-2}{x}=x-\\cfrac{2}{x}$，令$h(x)=x-\\cfrac{2}{x}$，$h(x)$在区间$(0，1)$上单调递增，故$h(x)_{max}\\rightarrow h(1)=-1$即$a\\ge -1$；\n\n综上所述，由于三种情形下都要成立，故需要取其交集得到$a$的取值范围为$[-1，1]$。\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170707231539269-1531817194.png\")
\n\n法3：绝对值不等式法，由于$||x+1|-|x-1||\\leq |(x+1)-(x-1)|=2$，故$-2\\leq |x+1|-|x-1|\\leq 2$；故$h(x)_{min}=-2；h(x)_{max}=2$；\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170710104859978-1690319981.png\")
\n\n分别解得$x\\in\\varnothing$，或$1\\leq x \\leq 2$，或$x>2$，求并集得到解集$x\\in [1，+\\infty)$。\n\n法2：数形结合图像法，其中红色的是函数$f(x)=|x+1|-|x-2|$图像，蓝色的是函数$g(x)=1$的图像由图像可以直观看出解集为$x\\in [1，+\\infty)$。\n\n（2）若不等式$f(x)\\ge x^2-x+m$的解集非空，求$m$的取值范围；\n\n分析：已知不等式解集非空求参数范围类题目，我们常常转化为分离参数+能成立，比如先分离参数得到$m\\leq f(x)-x^2+x=h(x)$，接下来想办法求新构造函数$h(x)$的最大值就可以了。\n\n法1：【高考给定解法】$h(x)=f(x)-x^2+x=|x+1-|x-2|-x^2+x\\leq |x|+1+|x|-2-x^2+|x|=-(|x|-\\frac{3}{2})^2+\\cfrac{5}{4}\\leq \\cfrac{5}{4}$；且当$x=\\cfrac{3}{2}$时，$|x+1|-|x-2|-x^2+x= \\cfrac{5}{4}$，故$m$的取值范围是$(-\\infty， \\cfrac{5}{4}]$。\n\n说明：本解法用到了放缩法，不太好掌握。\n\n法2：将$h(x)$转化为分段函数求其最大值。\n\n$h(x)=f(x)-x^2+x=\\begin{cases}-x^2+x-3,&x<-1\\\\-x^2+x+2x-1,&-1\\leq x\\leq 2\\\\-x^2+x+3,&x>2 \\end{cases} =\\begin{cases}-(x-\\frac{1}{2})^2-\\frac{11}{4},&x<-1\\\\ -(x-\\frac{3}{2})^2+\\frac{5}{4},&1\\leq x\\leq 2\\\\-(x-\\frac{1}{2})^2+\\frac{13}{4},&x>2 \\end{cases}$\n\n故$h(x)_{max}=\\begin{cases}-3,&x<-1\\\\ \\frac{5}{4},&1\\leq x \\leq 2\\\\1,&x>2\\end{cases}$，故在整个定义域上$h(x)_{max}=\\cfrac{5}{4}$；\n\n故要使得$m\\leq h(x)$的解集非空，必须满足$m\\leq \\cfrac{5}{4}$，即$m$的取值范围是$(-\\infty， \\cfrac{5}{4}]$。\n\n$A.-1$ $B.0$ $C.1$ $D.0或1$
\n\n分析：①当 $a^2-a-1=-1$ 时，即 $a^2-a=0$，解得 $a=0$ 或 $a=1$；\n\n当 $a=1$ 时，$\\{2,a^2-a-1,a^2+1\\}=\\{2,-1,2\\}$，与元素的互异性矛盾，舍去；故 $a=0$\n\n②当 $a^2+1=-1$ 时，$a^2=-2$，$a$ 无实数解，\n\n由①②可得，$a=0$，故选 $B$.\n\n$A.$在$(0，2)$上单调递增
$B.$在$(0，2)$上单调递减
$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称
$D.y=f(x)$的图像关于点$(1，0)$对称
$A.f(x)$在$(0，4)$上单调递增
$B.f(x)$在$(0，4)$上单调递减
$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=2$对称
$D.y=f(x)$的图像关于点$(2，0)$对称
![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201708/992978-20170802114451255-2065863929.png\")
\n\n* 定义域变化，往往会引起函数的性质的变化，好多学生恰恰没有意识到这一点。\n\n以配图为例，红色的是函数$y=2x^2-x-3，x\\in R$的图像，这时候函数的性质比较简单，比如有对称性，对称轴是$x=\\cfrac{1}{4}$，没有单调性，此时只有最小值，\n\n蓝色的是函数$y=x^2-5x+2，x\\in [1，5]$的图像，此时定义域变成$R$的一个子集，这时候函数的性质就变得复杂了，此时没有了对称性，也没有单调性，但是有了最小值也有最大值。如果定义域变成$x\\in [3，5]$，那么此时又有了单调性，且有最大值和最小值。\n\n* 有些问题如果借助二次函数求解会变得简单， 比如利用图像确定二次方程的根的分布，如下例题。\n\n![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170719093450505-234958457.png\")
\n\n$A.a+b >0$ $B.a-b>0$ $C.ab >1$ $D.\\cfrac{a}{b}>1$
\n\n分析：本题是问下面的四个选项哪一个是题干$a>0,b>0$的必要不充分条件，如果从下面往上做，就有难度，如果调整语序，那么原题目是问$a>0,b>0$是哪一个选项的充分不必要条件，那么我们就很容易选择$A$是正确的。\n\n5、题目中出现“若$p$或$q$为真命题，若$p$且$q$为假命题”，则意味着$p$、$q$必然一真一假，接下来需要分类讨论：$p$真$q$假；或$p$假$q$真；\n\n## 题型方法\n\n* 1、写出一个命题的其他三种命题形式：\n\n①若不是“若$p$，则$q$”的形式，先改写；如“对顶角相等”。\n\n②若有大前提，要保留；如[设$a$、$b$、$c\\in R$，若$a>b$，则$ac^2>bc^2$]，题中的$a$、$b$、$c\\in R$就是大前提。\n\n* 2、判断一个命题的真假：直接法，等价转化法(等价关系：原命题和逆否命题、逆命题和否命题；即同真同假)。\n\n* 3、充分必要条件的判断：\n\n①定义法，利用$p\\Rightarrow q$和$q\\Rightarrow p$来判断；\n\n②集合法：利用集合之间的包含关系来间接判断命题之间的充要关系\n\n若命题$p、q$的结果对应的集合是$A$、$B$，记为$A=\\{x\\mid p\\{x\\}\\}$，$B=\\{x\\mid q\\{x\\}\\}$，则有以下结论：\n\n若$A\\subseteq B$，则$p$是$q$的充分条件；若$B\\subseteq A$，则$p$是$q$的必要条件；\n\n若$A\\subsetneqq B$，则$p$是$q$的充分不必要条件；若$B\\subsetneqq A$，则$p$是$q$的必要不充分条件；\n\n若$A=B$，则$p$是$q$的充要条件；若$A\\not\\subseteq B$且$B\\not\\subseteq A$，则$p$是$q$的既不充分也不必要条件；\n\n③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题等价性，把要判断的原命题转化为逆否命题进行判断，这个方法特别适用于以否定形式给出的命题。\n\n引例1，比如判断“$x+y\\neq 5$”是\"$x\\neq 2$或$y\\neq 3$\"的何种条件，不好判断，那么转化为判断\"$x= 2$且$y= 3$\"是\"$x+y=5$\"的什么条件，(充分不必要)。\n\n原命题：“$x+y\\neq 5$”是\"$x\\neq 2$或$y\\neq 3$\"的何种条件；(充分不必要)\n\n逆否命题：\"$x=2$且$y=3$\"是\"$x+y=5$\"的何种条件；(充分不必要)\n\n引例2，命题 “面积相等的两个三角形全等”的否命题的真假判断，\n\n否命题为：“面积不相等的两个三角形不全等”，这是个真命题，若判断不了，利用逆命题：两个三角形全等，则面积相等，显然逆命题是真命题，故命题 “面积相等的两个三角形全等”的否命题也是真命题。\n\n* 4、命题的否定\n\n①$p$的否定：$\\neg p$；\n\n已知命题$p:$任意$a\\geqslant 0,$ $a^4+a^2\\geqslant 0$，则命题$\\neg p:$ 存在$a_0\\geqslant 0$，$a_0^4+a_0^2<0$。\n\n②$\\neg p$的否定：$\\neg(\\neg p)=p$；\n\n③$p\\land q$的否定：$\\neg(p\\land q)=(\\neg p)\\lor(\\neg q)$；\n\n④$p\\lor q$的否定：$\\neg(p\\lor q)=(\\neg p)\\land(\\neg q)$；\n\n⑤若$p$则$q$型命题的否定：$\\neg(p \\rightarrow q)=p\\land (\\neg q)$；根据真值表可以看出，若$p$则$q$型命题的否定，应该为：若$p$且$\\neg q$；而不是：若$p$则$\\neg q$；\n\n$A.a^2+b^2\\leq 1$ $B.a^2+b^2\\ge 1$ $C.\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\leq 1$ $D.\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\ge 1$
\n\n法1：三角函数的有界性，由于点 $P(cos\\theta，sin\\theta)$ 在直线 $\\cfrac{x}{a}+\\cfrac{y}{b}=1$ 上，则有$bcos\\theta+asin\\theta=ab$，\n\n即$\\sqrt{a^2+b^2}sin(\\theta+\\phi)=ab，tan\\phi=\\cfrac{b}{a}$，由三角函数的有界性可知$|sin(\\theta+\\phi)|=|\\cfrac{ab}{\\sqrt{a^2+b^2}}|\\leq 1$，\n\n即$\\cfrac{\\sqrt{a^2+b^2}}{|ab|}\\ge 1$，即$\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\ge 1$，故选$D$.\n\n法2：数形结合，由已知单位圆上的点 $P(\\cos\\theta,\\sin\\theta)$ 在给定直线上，则可知直线和圆的位置关系只能是相切和相交，\n\n故圆心$(0，0)$到直线$bx+ay-ab=0$的距离应该小于等于半径$1$，即$\\cfrac{|b\\cdot 0+a\\cdot 0-ab|}{\\sqrt{a^2+b^2}}\\leq 1$，\n\n化简得$\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\ge 1$，故选$D$.\n\n法3：豆包提供的解法，有点超出现行的高中学生的数学认知水平。\n\n由于 点 $P(\\cos\\theta,\\sin\\theta)$ 在直线 $\\dfrac{x}{a}+\\dfrac{y}{b}=1$ 上，\n\n代入得：$\\cfrac{\\cos\\theta}{a}+\\cfrac{\\sin\\theta}{b}=1$，\n\n\n由柯西不等式：$\\left(\\cfrac{\\cos\\theta}{a}+\\cfrac{\\sin\\theta}{b}\\right)^2$$\\le$$\\left(\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta\\right)\\left(\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\right)$，\n\n又由于 $\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta=1$，因此：$1\\le 1\\cdot\\left(\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\right)$，\n\n即 $\\cfrac{1}{a^2}+\\cfrac{1}{b^2}\\ge 1$，故选 $D$。\n\n$A.\\cfrac{1}{a} > \\cfrac{1}{b}$ $B.a^2 < b^2$ $C.ab+1 > a+b$ $D.\\ln a+\\ln b > 0$
\n\n分析：由于$a>b>0$，则得到$\\cfrac{1}{a}<\\cfrac{1}{b}$，且$a^2>b^2$，故选项$A$，$B$错误；\n\n又由于$lna\\cdot lnb>0$，则$lna$与$lnb$同正或同负，由$y=lnx$的图像可知，它们同正或同负都有可能，故选项$D$错误；\n\n对于选项$C$而言，可以变形得到$ab+1-a-b=(a-1)(b-1)$，则当$a，b\\in (0，1)$或$a，b\\in (1，+\\infty)$时，可知$ab+1-a-b=(a-1)(b-1)>0$，故选$C$。\n\n$A.a < b < c$ $B.c< b < a$ $C.c < a < b$ $D.b < a < c$
\n\n法1：作差法，$a-b=\\cfrac{ln3}{3}-\\cfrac{ln4}{4}=\\cfrac{1}{12}(4ln3-3ln4)=\\cfrac{1}{12}(ln81-ln64)>0$，则$a >b$； \n\n$b-c=\\cfrac{ln4}{4}-\\cfrac{ln5}{5}=\\cfrac{1}{20}(5ln4-4ln5)=\\cfrac{1}{20}(ln1024-ln625)>0$，则$b >c$；\n\n综上所述，$c< b < a$，故选$B$. \n\n法2：作商法，注意到$a,b,c>0$，则可以考虑作商法，\n\n$\\cfrac{b}{a}=\\cfrac{\\cfrac{ln4}{4}}{\\cfrac{ln3}{3}}=\\cfrac{3ln4}{4ln3}=\\cfrac{ln64}{ln81}<1$，则$b $A.c\\geqslant b >a$ $B.a >c\\geqslant b$ $C.c > b >a$ $D.a > c >b$
\n\n分析：由于$c-b=4-4a+a^2=(a-2)^2\\geqslant 0$，故$c\\geqslant b$；\n\n又由于$c+b=6-4a+3a^2$，$c-b=4-4a+a^2$，故由方程思想得到，$b=a^2+1$，\n\n则$b-a=a^2-a+1>0$恒成立，即$b>a$，故$c\\geqslant b >a$，选$A$. \n\n\n\n![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201808/992978-20180806185005031-1726167080.png\")
\n\n由图可知，$S_{\\Delta OAP}![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201708/992978-20170822183532371-1911952268.gif\")
\n\n当$-\\cfrac{a}{2}![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201708/992978-20170822190943589-2045937361.gif\")
\n\n$1^{\\circ}$ 当$a^2>a$，即$a<0$或$a>1$时，解集为$[a，a^2]$；\n\n$2^{\\circ}$ 当$a^2=a$，即$a=0$或$a=1$时，解集为$\\{0，1\\}$；\n\n$3^{\\circ}$ 当$a^2$A.\\{x\\mid-5 < x < 3 或 4 < x < 5\\}$
$B.\\{x\\mid-5\\leq x < 3或 4 < x \\leq 5\\}$
$C.\\{x\\mid -5 < x \\leq 3或4 \\leq x < 5\\}$
$D.\\{x\\mid-5 \\leq x \\leq 3 或 4 \\leq x \\leq 5\\}$
![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201709/992978-20170901202121749-932520067.gif\")
\n\n* 隐藏不必要的元素，得到课件的最终效果：\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201709/992978-20170901202309921-2059107331.gif\")
\n\n同样的方法，可以制作沿$y$轴平移的动画：\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201709/992978-20170901203630358-676204840.gif\")
\n",
"BlogId": 294450,
"Description": "用几何画板制作函数图像的动态平移效果",
"DateUpdated": "2022-05-11T09:11:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-08-28T20:45:06.87",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "准备工作：几何画板5.06版本，使用函数为$y=sinx$ 制作过程： A、建立坐标系(比较喜欢自定义的小坐标系，精干)和所用的函数 1、用几何画板的“自定义工具”==》 “新新坐标系” 》“坐标系工具”，建立小型坐标系，并完成初始化工作，为做图做好准备， 2、点击工具栏中的“数据” 》“新建函数”",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 7449688,
"Title": "用几何画板制作函数图像的动态伸缩效果",
"DateAdded": "2018-12-25T22:02:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 水平伸缩变换\n\n> * 沿$x$轴的水平伸缩变换\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201709/992978-20170901205403468-1466395076.gif\" "“左右平移”")
\n\n## 竖直伸缩变换\n\n> * 沿$y$轴的竖直伸缩变换\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201709/992978-20170901205441421-2102939135.gif\" "“左右平移”")
",
"BlogId": 294450,
"Description": "用几何画板制作函数图像的动态伸缩效果",
"DateUpdated": "2022-05-11T09:11:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-08-29T18:16:52.693",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "水平伸缩变换 沿$x$轴的水平伸缩变换 竖直伸缩变换 沿$y$轴的竖直伸缩变换",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 7598188,
"Title": "双曲线",
"DateAdded": "2017-09-26T18:18:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 必备知识\n\n若双曲线方程为$\\cfrac{x^2}{a^2}-\\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$，则渐近线方程为$y=\\pm \\cfrac{b}{a} x$；巧记，将原方程改写为$\\cfrac{x^2}{a^2}$-$\\cfrac{y^2}{b^2}$$=0$，解得其渐近线方程为$y$$=$$\\pm$$\\cfrac{b}{a}x$；$\\quad$；\n\n若双曲线的渐近线方程为$ax\\pm by=0$，则可设双曲线方程为$a^2x^2-b^2y^2=\\lambda(\\lambda\\neq 0)$；\n\n若双曲线的$e=\\sqrt{2}$，则可知$a=b$，则可设双曲线方程为$x^2-y^2=\\lambda(\\lambda\\neq 0)$；\n\n若双曲线为等轴双曲线，则可设双曲线方程为$x^2-y^2=\\lambda(\\lambda\\neq 0)$；\n\n## 典例剖析\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201709/992978-20170926190735090-394994485.jpg\")
\n\n设$l$和直线AF平行且和双曲线的左支相切与点P，故直线$l：2\\sqrt{6}x+y+m=0$，\n\n联立$2\\sqrt{6}x+y+m=0$和$x^2-\\cfrac{y^2}{8}=1$，消$y$得到$16x^2+4\\sqrt{6}mx+m^2+8=0$，\n\n由于相切得到$\\Delta =96m^2-4\\times16(m^2+8)=0$，解得$m=\\pm 4$，结合图像将$m=-4舍弃$，\n\n即直线$l：2\\sqrt{6}x+y+4=0$，故三角形的高的最小值即两条平行线的间距，\n\n故AF边上的高$h=\\cfrac{|4-(-6\\sqrt{6})|}{\\sqrt{(2\\sqrt{6})^2+1}}=\\cfrac{6\\sqrt{6}+4}{5}$，\n\n故$S_{min}=\\cfrac{1}{2}\\times|AF|\\times \\cfrac{6\\sqrt{6}+4}{5}=\\cfrac{1}{2}\\times15\\times \\cfrac{6\\sqrt{6}+4}{5}=9\\sqrt{6}+6$。\n\n法2、函数法，如图2所示，由题目可知双曲线的左支对应的函数为$y=f(x)=\\pm\\sqrt{8x^2-8}(x<0)$，\n\n设点$P(x_0，y_0)$，则$f'(x)=\\pm\\cfrac{1}{2\\sqrt{8x^2-8}}\\cdot 16x=\\pm\\cfrac{8x}{\\sqrt{8x^2-8}}$，\n\n结合图像可知$f'(x)<0$，故取$f'(x)=\\cfrac{8x}{\\sqrt{8x^2-8}}(x<0)$，当$f'(x)=k_{AF}=-2\\sqrt{6}$时，\n\nAF边上的高线最小(可结合平行线法理解)，故$\\cfrac{8x_0}{\\sqrt{8x_0^2-8}}=-2\\sqrt{6}$，\n\n解得$x_0=-\\cfrac{\\sqrt{6}}{2}$，代入得到$y=2$，即切点$P(-\\cfrac{\\sqrt{6}}{2}，2)$，\n\n故高$h=\\cfrac{|2\\sqrt{6}\\cdot(-\\cfrac{\\sqrt{6}}{2})+2-6\\sqrt{6}|}{5}=\\cfrac{6\\sqrt{6}+4}{5}$，\n\n故$S_{min}=\\cfrac{1}{2}\\times|AF|\\times \\cfrac{6\\sqrt{6}+4}{5}=\\cfrac{1}{2}\\times15\\times \\cfrac{6\\sqrt{6}+4}{5}=9\\sqrt{6}+6$。\n\n法3、参数方程法，不要求学生掌握。由于双曲线为$x^2-\\cfrac{y^2}{8}=1$，\n\n故其参数方程为$\\begin{cases}x=\\cfrac{1}{cos\\theta}\\\\y=2\\sqrt{2}tan\\theta\\end{cases}(\\theta为参数)$，\n\n故$h=\\cfrac{|\\cfrac{2\\sqrt{6}}{cos\\theta}+2\\sqrt{2}tan\\theta-6\\sqrt{6}|}{5}=\\cfrac{|\\cfrac{2\\sqrt{6}}{cos\\theta}+\\cfrac{2\\sqrt{2}sin\\theta}{cos\\theta}-6\\sqrt{6}|}{5}$，\n\n以下难点转化为求$\\cfrac{2\\sqrt{6}}{cos\\theta}+\\cfrac{2\\sqrt{2}sin\\theta}{cos\\theta}$的值。\n\n令$m=\\cfrac{2\\sqrt{6}}{cos\\theta}+\\cfrac{2\\sqrt{2}sin\\theta}{cos\\theta}$，\n\n则有$2\\sqrt{6}+2\\sqrt{2}sin\\theta=mcos\\theta$，故$\\sqrt{m^2+8}cos\\theta=2\\sqrt{6}$，\n\n即$cos\\theta=\\cfrac{2\\sqrt{6}}{\\sqrt{m^2+8}}$，故$|cos\\theta|=|\\cfrac{2\\sqrt{6}}{\\sqrt{m^2+8}}|\\leq 1$，\n\n解得$m\\ge 4$或者$m\\leq -4$，由于参数$\\theta\\in(0，\\pi)$，且点P在左支，\n\n故$\\theta\\in(\\cfrac{\\pi}{2}，\\pi)$，故$m<0$，故当$m=-4$时$d$有最小值，\n\n此时$d_{min}=\\cfrac{|-4-6\\sqrt{6}|}{5}=\\cfrac{4+6\\sqrt{6}}{5}$，\n\n故$S_{min}=\\cfrac{1}{2}\\times|AF|\\times \\cfrac{6\\sqrt{6}+4}{5}=\\cfrac{1}{2}\\times15\\times \\cfrac{6\\sqrt{6}+4}{5}=9\\sqrt{6}+6$。\n\n\n$A.3$ $B.2$ $C.\\sqrt{6}$ $D.\\sqrt{3}$
\n\n分析：抛物线的焦点为$(1，0)$，准线为$x=-1$，令$AB$的中点为$C$，则$|CF|=2$，\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171006161801115-1818949197.png\")
\n\n又有题目可知，$\\Delta FAB$为等腰直角三角形，故$|AC|=|CF|=2$，\n\n故点A$(-1，2)$ 代入双曲线方程得到$a^2=\\cfrac{1}{2}$，\n\n故$c^2=a^2+b^2=4+\\cfrac{1}{2}=\\cfrac{9}{2}$，\n\n则双曲线的离心率为$e=\\sqrt{\\cfrac{c^2}{a^2}}=3$。 故选$A$。\n\n$A.\\cfrac{4}{3}$ $B.\\cfrac{5}{3}$ $C.\\cfrac{5}{4}$ $D.\\cfrac{7}{4}$
\n\n分析：先将圆配方为$(x-\\cfrac{3}{2})^2+(y-2)^2=9+\\cfrac{9}{4}$，\n\n由已知可知，圆心$(\\cfrac{3}{2}，2)$一定在直线$ax-by=0$上，\n\n故$\\cfrac{3}{2}a=2b$，即$3a=4b$，\n\n令$a=4t(t>0)$，则$b=3t$，$c=5t$，\n\n故离心率$e=\\cfrac{c}{a}=\\cfrac{5}{4}$。故选$C$。\n\n$A.\\cfrac{3\\sqrt{2}}{2}$ $B.\\cfrac{3}{2}$ $C.2$ $D.3$
\n\n分析：将$x_0=\\cfrac{4}{3}a$代入双曲线方程$\\cfrac{x^2}{a^2}-\\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)$，\n\n求得$y=\\pm\\cfrac{\\sqrt{7}}{3}b$，不妨取正，即点$P(\\cfrac{4}{3}a，\\cfrac{\\sqrt{7}}{3}b)$，\n\n又$F_1(-c，0)$，$F_2(c，0)$，由$\\overrightarrow{F_1P}\\cdot \\overrightarrow{F_2P}=0$；\n\n得到$(\\cfrac{4a}{3}+c，\\cfrac{\\sqrt{7}b}{3})\\cdot(\\cfrac{4a}{3}-c，\\cfrac{\\sqrt{7}b}{3})=0$\n\n即$(\\cfrac{4a}{3})^2-c^2+(\\cfrac{\\sqrt{7}b}{3})^2=0$\n\n又$c^2=a^2+b^2$，代入上式，得到$a^2=\\cfrac{2}{9}c^2$，\n\n即$e^2=\\cfrac{c^2}{a^2}=\\cfrac{9}{2}$，故$e=\\cfrac{3\\sqrt{2}}{2}$。故选$A$。\n\n$A.\\sqrt{3}$ $B.\\cfrac{5\\sqrt{5}}{3}$ $C.\\cfrac{2\\sqrt{3}}{3}$ $D.\\cfrac{3\\sqrt{5}}{5}$
\n\n\n$A.\\cfrac{x^2}{8}-\\cfrac{y^2}{10}=1$ $B.\\cfrac{x^2}{4}-\\cfrac{y^2}{5}=1$ $C.\\cfrac{x^2}{5}-\\cfrac{y^2}{4}=1$ $D.\\cfrac{x^2}{4}-\\cfrac{y^2}{3}=1$
\n\n分析：由双曲线$C：\\cfrac{x^2}{a^2}-\\cfrac{y^2}{b^2}=1$可知其渐进线为$y=\\cfrac{b}{a}x$，由已知渐近线方程为$y=\\cfrac{\\sqrt{5}}{2}x$，\n\n则可设$a=2k$，$b=\\sqrt{5}k(k>0)$，则$c=3k$，又由椭圆的$c=3$，可可知$3k=3$，即$k=1$，故双曲线的$a=2$，$b=\\sqrt{5}$，则其方程为$\\cfrac{x^2}{4}-\\cfrac{y^2}{5}=1$，故选$B$。\n\n$A.2$ $B.\\sqrt{3}$ $C.\\cfrac{5}{3}$ $D.\\cfrac{3}{2}$
\n\n分析：由于$(\\overrightarrow{F_1P}+\\overrightarrow{F_1Q})\\cdot \\overrightarrow{PQ}=0$，则可知$PQ\\perp x$轴，又由于$|QM|=3|PM|$，则$M$为$PF_2$的中点；\n\n\n\n由于直线$PQ$为$x=c$，将其代入双曲线，得到$\\cfrac{c^2}{a^2}-\\cfrac{y^2}{b^2}=1$，解得$y=\\cfrac{b^2}{a}$，\n\n即点$P(c，\\cfrac{b^2}{a})$，则点$M(c，\\cfrac{b^2}{2a})$，\n\n又由于双曲线的渐近线为$y=\\cfrac{b}{a}x$，则可知$\\cfrac{\\cfrac{b^2}{2a}-0}{c-a}=\\cfrac{b}{a}$，得到$\\cfrac{b}{2}=c-a$，\n\n即$b=2(c-a)$，两边平方得到，$b^2=4(c-a)^2$，即$c^2-a^2=4c^2-8ac+4a^2$，即$3c^2-8ac+5a^2=0$，同除以$a^2$\n\n即$3e^2-8e+5=0$，解得$e=\\cfrac{5}{3}$或$e=1$(舍去)，故选$C$。\n\n$A.y=\\pm \\cfrac{\\sqrt{2}}{2} x$ $B.y=\\pm \\cfrac{\\sqrt{3}}{2} x$ $C.y=\\pm \\cfrac{\\sqrt{5}}{2} x$ $D.y=\\pm \\cfrac{\\sqrt{6}}{2} x$
\n\n分析：由题可知，$a^2=3$，$b^2=-m$，则$c^2=3-m$，又$e=\\cfrac{\\sqrt{15}}{3}$，\n\n则$e^2=\\cfrac{c^2}{a^2}=\\cfrac{15}{9}=\\cfrac{2-m}{3}$，解得$m=-2$，即双曲线为$\\cfrac{y^2}{3}-\\cfrac{x^2}{2}=1$，\n\n则由$\\cfrac{y^2}{3}-\\cfrac{x^2}{2}=0$，求得渐近线方程为$y=\\pm \\cfrac{\\sqrt{6}}{2} x$，故选$D$。\n\n$A.\\sqrt{2}$ $B.\\cfrac{\\sqrt{5}}{2}$ $C.\\sqrt{5}$ $D.\\cfrac{\\sqrt{5}}{2}或\\sqrt{5}$
\n\n分析：由题目可知，由于双曲线$C$的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，故有两种情形，焦点在$x$轴和焦点在$y$轴，\n\n则渐近线的斜率$k=\\cfrac{1}{2}=\\cfrac{a}{b}$或者$k=\\cfrac{1}{2}=\\cfrac{b}{a}$，\n\n当$a=1$，$b=2$时，此时$c=\\sqrt{5}$，$e=\\sqrt{5}$；当$a=2$，$b=1$时，此时$c=\\sqrt{5}$，$e=\\cfrac{\\sqrt{5}}{2}$；\n\n综上所述，故选$D$。\n\n$A.-\\cfrac{4}{15}$ $B.\\cfrac{4}{15}$ $C.\\cfrac{11}{15}$ $D.\\cfrac{5}{8}$
\n\n详解： 由双曲线的定义知， $|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=2\\sqrt{5}$，\n\n又 $|PF_{1}|=3|PF_{2}|$， 故 $|PF_{1}|=3|PF_{2}|=3\\sqrt{5}$，$|F_{1}F_{2}|=2\\sqrt{7}$， \n\n$\\cos\\angle F_{1}PF_{2}=\\cfrac{|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|}{2|PF_{1}|\\cdot|P F_{2}|}=\\cfrac{11}{15}$\n\n解后反思： 本题考查双曲线的定义，考查余弦定理. 在双曲线中涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，要考虑利用双曲线的定义求解，这样才能事半功倍.\n\n$A.(1,\\cfrac{3}{2}]$ $B.[2,3]$ $C.(1,2]$ $D.(1,3]$
\n\n法1：如图所示，由双曲线的定义可知，$|MF_1|-|MF_2|=2a$，即$|MF_1|=|MF_2|+2a$，\n\n\n\n故$\\cfrac{|MF_1|-2a}{|MF_1|^2}=\\cfrac{|MF_2|+2a-2a}{(|MF_2|+2a)^2}=\\cfrac{|MF_2|}{(|MF_2|+2a)^2}=\\cfrac{|MF_2|}{|MF_2|^2+4a|MF_2|+4a^2}$\n\n$=\\cfrac{1}{|MF_2|+\\frac{4a^2}{|MF_2|}+4a}\\leqslant \\cfrac{1}{2\\sqrt{4a^2}+4a}=\\cfrac{1}{8a}=\\cfrac{1}{4}$，当且仅当$|MF_2|=2a$时取到等号；\n\n故解得$a=\\cfrac{1}{2}$，结合题意$|A_1A_2|\\geqslant |A_2F_2|$，\n\n即$2a\\geqslant c-a$，则$3a\\geqslant c$，即$\\cfrac{c}{a}\\leqslant 3$，\n\n又由于双曲线的离心率$e=\\cfrac{c}{a}>1$，故$1<\\cfrac{c}{a}\\leqslant 3$，\n\n则$\\cfrac{1}{2}=a![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201709/992978-20170927214829497-90332556.png\")
\n\n以点$D$为坐标原点，以$DF$、$DB$以及与$FP$平行的直线分别为$x$，$y$，$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系，\n\n令正四面体的棱长为$2$，则得到以下点的空间坐标\n\n$D(0，0，0)$，$A(0，-1，0)$，$B(0，1，0)$，\n\n$C(-\\sqrt{3}，0，0)$，$P(-\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}，0，\\cfrac{2\\sqrt{6}}{3})$，$E(-\\cfrac{2\\sqrt{3}}{3}，0，\\cfrac{\\sqrt{6}}{3})$，\n\n则有$\\overrightarrow{PD}=(\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}，0，-\\cfrac{2\\sqrt{6}}{3})$；$\\overrightarrow{AE}=(-\\cfrac{2\\sqrt{3}}{3}，1，\\cfrac{\\sqrt{6}}{3})$；\n\n令异面直线$PD$和$AE$的夹角为$\\theta$，则有$cos\\theta$\n\n$=\\cfrac{|\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}\\cdot (-\\cfrac{2\\sqrt{3}}{3})+0\\cdot 1+(-\\cfrac{2\\sqrt{6}}{3}\\cdot \\cfrac{\\sqrt{6}}{3})|}{\\sqrt{(\\cfrac{\\sqrt{3}}{3})^2+(-\\cfrac{2\\sqrt{6}}{3})^2}\\cdot \\sqrt{(-\\cfrac{2\\sqrt{3}}{3})^2+1^2+(\\cfrac{\\sqrt{6}}{3})^2}}=\\cfrac{2}{3}$。\n\n说明：向量的夹角范围为$[0，\\pi]$，两异面直线的夹角范围$[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$。\n\n解法:two: ：立体几何法，先作再证后算。思路：异面直线所成的角，一般是经过平移，使其相交，构建三角形来计算。\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201709/992978-20170927160441981-1549581970.png\")
\n\n过点$A$做$AM//BC$，过点$B$做$BM//AC$交$AM$于点$M$，\n\n点$F$、$H$、$G$分别是线段$PB$、$AM$、$BD$的中点，连接$HF$、$FG$、$HG$，\n\n则有 $EF\\;\\;{}_{=}^{//}AH$，则$AE//FH$，又$PD//FG$，故$\\angle HFG$为两条异面直线所成的角。\n\n设正四面体的棱长为$2$，则$AE=FH=PD=\\sqrt{3}$，$FG=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}$；\n\n又在$\\Delta AHG$中，$AH=1$，$AG=\\cfrac{3}{2}$，$\\angle HAG=60^\\circ$，\n\n由余弦定理可知，$HG=\\cfrac{\\sqrt{7}}{2}$，\n\n在$\\Delta HFG$中，$HF=\\sqrt{3}$，$FG=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}$，$HG=\\cfrac{\\sqrt{7}}{2}$，\n\n由余弦定理可知$cos\\angle HFG=\\cfrac{2}{3}$。\n\n:writing_hand: 四棱锥中的建系，建立空间直角坐标系；\n\n$A.0$ $B.-\\cfrac{1}{4}$ $C.\\cfrac{1}{4}$ $D.\\cfrac{1}{2}$
\n\n解法:one: ：空间向量法，第一种建系方式；以点$A$为坐标原点，以$AC$，$AA_1$分别为$y$、$z$轴，以和$AC$垂直的直线为$x$轴，建立如图所示的空间直角坐标系，\n\n![](\"https://img2018.cnblogs.com/blog/992978/201901/992978-20190115152713880-1532982362.jpg\")
\n\n则$A(0，0，0)$，$B(\\sqrt{3}，1，0)$，$A_1(0，0，2)$，$B_1(\\sqrt{3}，1，2)$，$C(0，2，0)$，\n\n$\\overrightarrow{AB_1}=(\\sqrt{3}，1，2)$，$\\overrightarrow{A_1C}=(0，2，-2)$，且线线角的范围是$[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$，\n\n故所求角的余弦值为$|cos<\\overrightarrow{AB_1}，\\overrightarrow{A_1C}>|=\\cfrac{|1\\times 2+2\\times(-2)|}{\\sqrt{8}\\times\\sqrt{8}}=\\cfrac{1}{4}$。故选$C$。\n\n解法:two: ：空间向量法，第二种建系方式；以$BN$的中点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，\n\n![](\"https://img2018.cnblogs.com/blog/992978/201901/992978-20190115165944484-572030767.jpg\")
\n\n则$A(1，0，0)$，$B(0，\\sqrt{3}，0)$，$C(-1，0，0)$，$A_1(1，0，2)$，$B_1(0，\\sqrt{3}，2)$，$C_1(-1，0，2)$，\n\n$\\overrightarrow{AB_1}=(-1，\\sqrt{3}，2)$，$\\overrightarrow{A_1C}=(-2，0，-2)$，且线线角的范围是$[0，\\cfrac{\\pi}{2}]$，\n\n故所求角的余弦值为$|cos<\\overrightarrow{AB_1}，\\overrightarrow{A_1C}>|=\\cfrac{|-1\\times (-2)+\\sqrt{3}\\times 0+2\\times(-2)|}{\\sqrt{8}\\times\\sqrt{8}}=\\cfrac{1}{4}$。故选$C$。\n\n解法:three: ：立体几何法，补体平移法，将正三棱柱补体为一个底面为菱形的直四棱柱，连结$B_1D$，则$B_1D//A_1C$，\n\n
![](\"https://img2018.cnblogs.com/blog/992978/201901/992978-20190115151103884-1472795649.jpg\")
\n\n故异面直线$AB_1$与$CA_1$所成角，即转化为共面直线$AB_1$与$B_1D$所成的角$\\angle AB_1D$，连结$AD$，\n\n在$\\Delta AB_1D$中，$AB=AA_1=2$，可得$AB_1=B_1D=2\\sqrt{2}$，$AD=2\\sqrt{3}$，
\n\n由余弦定理可知，$cos\\angle AB_1D=\\cfrac{(2\\sqrt{2})^2+(2\\sqrt{2})^2-(2\\sqrt{3})^2}{2\\times 2\\sqrt{2}\\times 2\\sqrt{3}}=\\cfrac{1}{4}$，
\n\n故所求为$\\cfrac{1}{4}$，故选$C$。
\n\n:writing_hand: 三棱锥中的建系，建立空间直角坐标系；\n\n
$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$
\n\n分析：对于①，借助墙角模型思考，两个平面垂直，其交线中有$3$个公共点，但是其位置关系不是重合，而是相交[垂直]；所以①错误；\n\n对于②，先回顾两条直线的位置关系有平行、相交、异面三种，其中两条平行或者相交的直线是可以确定一个平面的，但是若是异面的直线就不能确定一个平面，故②错误；\n\n对于③，需要翻译成文字语言容易理解，两个平面的公共点$M$一定在两个平面的公告交线上，故正确；\n\n对于④，需要考虑两两相交的三条直线的交点个数问题，若交点个数是一个，那么在空间中，三条直线可以是异面的直线，故不在同一平面内，若交点的个数是三个，那么它们一定会共面，在同一个平面内，故④错误；另外，两两相交的三条直线的交点个数不会是两个。\n\n综上所述，本题目选$A$.\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171103165653966-175454679.png\")
\n\n(1).求证：平面 $BEF\\perp$ 平面 $PCD$.\n\n证明：因为 $E$ 为 $CD$ 的中点，$CD=2AB$，则 $AB=DE$，又因为 $AB//CD$，所以四边形 $ABED$ 为平行四边形。\n\n又因为 $BC=BD$ ，$E$ 为 $CD$ 的中点，故 $BE\\perp CD$，则四边形 $ABED$ 为矩形，则 $AB\\perp AD$。\n\n又因为 $AB\\perp PA$，$PA\\cap AD=A$，所以 $AB\\perp$平面$PAD$。\n\n又因为 $AB//CE$，所以 $CD\\perp$ 平面$PAD$，所以 $CD\\perp PD$。\n\n又因为 $EF//PD$，所以 $CD\\perp EF$。又因为 $CD\\perp BE$，所以 $CD\\perp$ 平面$BEF$。所以平面 $PCD\\perp$ 平面$BEF$。\n\n(2).求直线 $PD$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值。\n\n待补充。\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171107202326122-1540926295.png\")
\n\n(1)求证：$EF\\perp$ 平面$BCG$\n\n分析提示：只要证明$AD\\perp$ 平面$BCG$\n\n(2)求三棱锥 $D-BCG$ 的体积。\n\n分析：在平面 $ABC$ 内，作 $AO\\perp BC$，交 $CB$ 延长线于 $O$，由平面 $ABC\\perp BCD$，可知 $AO\\perp$ 平面 $BDC$，\n\n由 $G$ 到平面 $BCD$ 距离 $h$ 是 $AO$ 长度的一半，在 $\\Delta AOB$ 中，$AO=AB\\cdot sin60^{\\circ}=\\sqrt{3}$，\n\n故$V_{D-BCG}=V_{G-BCD}=\\cfrac{1}{3}S_{\\Delta DBC}\\cdot h$$=\\cfrac{1}{3}\\cdot \\cfrac{1}{2}\\cdot BD\\cdot BC$$\\cdot sin120^{\\circ}\\cdot \\cfrac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\cfrac{1}{2}$。\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201712/992978-20171212153442957-1962312818.png\")
\n\n分析：本题目关键是求球的半径$R$ ，如上例4中的模型，已知的三点可以安放在图中的点$A'$、$B$、$C'$处，\n\n但是要注意，已知的平面$ABC$和模型中的平面$A'BC'$平行，不一定重合，此时求半径问题就转化为求正三棱锥的侧棱的长问题了，\n\n而且此时正三棱锥的底面边长为$2\\sqrt{3}$，正三棱锥的高是1，高的垂足$E$是下底面的中心，\n\n则其侧棱$OA$为$\\sqrt{1^2+2^2}=\\sqrt{5}$，故$R=\\sqrt{5}$，\n\n故该球的体积$V_球=\\cfrac{4}{3}\\cdot \\pi\\cdot R^3=\\cfrac{20\\sqrt{5}}{3}\\pi$。\n\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201712/992978-20171212222600988-1305478106.png\")
\n\n(1).证明：$BD\\perp$平面$PAC$；\n\n证明：由于侧棱$PA\\perp$底面$ABCD$，$BD\\subsetneqq$底面$ABCD$，故$PA\\perp BD$；\n\n又由于$AC$和$BD$是正方形的对角线，则$AC\\perp BD$，\n\n则$BD\\perp AC$，$BD\\perp PA$，$PA\\cap AC=A$，\n\n$PA\\subsetneqq$平面$PAC$，$AC\\subsetneqq$平面$PAC$，\n\n故$BD\\perp$平面$PAC$；\n\n(2).求二面角$C-BD-Q$的余弦值。\n\n分析：由题可知，$AB、AP、AD$两两垂直，以$A$为坐标原点，分别以$AB、AD、AP$所在直线为$x，y，z$轴建立空间直角坐标系，如图所示。\n\n则点$B(2，0，0)$，$C(2，2，0)$，$D(0，2，0)$，$Q(0，0，1)$，\n\n所以$\\overrightarrow{BD}=(-2，2，0)$，$\\overrightarrow{BQ}=(-2，0，1)$，\n\n设平面$BDQ$的法向量为$\\vec{m}=(x，y，z)$，则有\n\n$\\begin{cases}\\vec{m}\\perp\\overrightarrow{BD}\\\\\\vec{m}\\perp\\overrightarrow{BQ}\\end{cases}$ $\\Longrightarrow \\begin{cases}\\vec{m}\\cdot\\overrightarrow{BD}=0\\\\\\vec{m}\\cdot\\overrightarrow{BQ}=0\\end{cases}$\n\n即$\\begin{cases}-2x+2y=0\\\\-2x+z=0\\end{cases}$，可以取$\\vec{m}=(1，1，2)$\n\n平面$BDC$的法向量为$\\vec{n}=(0，0，1)$，\n\n设二面角$C-BD-Q$为$\\theta$，由图可知，$\\theta$为钝角，则有\n\n$cos\\theta=-|cos<\\vec{m}，\\vec{n}>|=-\\cfrac{\\vec{m}\\cdot\\vec{n}}{|\\vec{m}||\\vec{n}|}=-\\cfrac{2}{\\sqrt{6}}=-\\cfrac{\\sqrt{6}}{3}$\n\n所以二面角$C-BD-Q$的余弦值为$-\\cfrac{\\sqrt{6}}{3}$。\n\n$A$.若$l//\\alpha，\\alpha//\\beta，m\\subset \\beta，l\\not\\subset \\beta$，则$l//m$；\n
$B$.若$\\alpha\\perp \\beta，l//\\alpha，m\\perp l，m\\not\\subset \\beta$，则$m\\perp \\beta$；
$C$.若$l//m，m//\\alpha，l\\perp\\beta，l\\not\\subset \\alpha$，则$\\alpha\\perp \\beta$；
$D$.若$l\\perp\\alpha，m\\perp\\beta，\\alpha\\perp \\beta$，则$l//m$；
$A.A_1O//D_1C$ $B.A_1O\\perp BC$ $C.A_1O//平面B_1CD_1$ $D.A_1O\\perp平面AB_1D_1$
\n\n分析：由于题目中给定点$O$是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心$E$，如图所示，\n\n\n\n当连结$CE$时，我们就很容易看出$A_1O//CE$，以下做以说明；\n\n由于$OC//A_1E$，且$OC=A_1E$，则可知$A_1O//CE$，\n\n又由于$A_1O\\not \\subset 面B_1CD_1$，$CE \\subset 面B_1CD_1$，故$A_1O//平面B_1CD_1$ ，故选$C$，\n\n此时，我们也能轻松的排除$A$，$B$，$D$三个选项是错误的。\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201801/992978-20180124183121975-55629616.png\")
\n\n反思总结：1、一般的考法是题目作出这样的平面，然后要求我们证明面面平行，现在是要求我们利用面面平行的判定定理作出这样的平面，应该是要求提高了。 \n\n2、注意图中的线的虚实。\n \n(2).【文】若$|\\overrightarrow{AB}|=4$，在(1)的条件下求多面体$MNCBPQ$的体积。\n\n【理】若$\\overrightarrow{AQ}=\\lambda \\overrightarrow{AB}$，是否存在实数$\\lambda$，使二面角$M-PQ-B$的平面角大小为$60^{\\circ}$？若存在，求出$\\lambda$的值；若不存在，请说明理由。\n\n【文科】法1：![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201801/992978-20180121211933349-425986972.png\")
\n\n如图所示，连接$PB、NB$，有题目可知在(1)的情形下，平面$MNPQ$与平面$ABCD$垂直，由题目可知，$AB=4$，$BC=PC=2$，$SD=2$，$NP=1$，\n\n则$SD\\perp面ABCD$，$NP//SD$，则$NP\\perp 面ABCD$，\n\n$\\Delta PCB$是边长为2的等边三角形，则$V_{N-PBC}=\\cfrac{1}{3}\\cdot S_{\\Delta PBC}\\cdot |NP|=\\cfrac{1}{3}\\cdot \\cfrac{\\sqrt{3}}{4}\\cdot 4\\cdot 1=\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}$ \n\n由$MN//BC$，$MN \\perp面SAD$，面$MNPQ$是直角梯形，$MN=NP=1$，$PQ=2$\n\n连接$BD$交$PQ$于点$H$，在$\\Delta ABD$中，由余弦定理可知，$BD=2\\sqrt{3}$，$AB^2=AD^2+BD^2$，则$BD\\perp AD$\n\n即$BH\\perp PQ$，且$BH\\perp NP$，故$BH\\perp 面MNPQ$，\n\n$V_{B-MNPQ}=\\cfrac{1}{3}\\cdot S_{MNPQ}\\cdot |BH|=\\cfrac{1}{3}\\cdot \\cfrac{(1+2)\\cdot 1}{2}\\cdot \\sqrt{3}=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}$\n\n故$V_{MNCBPQ}=V_{B-MNPQ}+V_{N-PBC}=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}+\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}=\\cfrac{5\\sqrt{3}}{6}$。\n\n法2：![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201801/992978-20180121211928521-1257430086.png\")
\n\n待补充。\n\n【理科】待补充。",
"BlogId": 294450,
"Description": "立体几何习题",
"DateUpdated": "2024-05-08T16:09:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-09-27T22:25:49.73",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 典例剖析 【2020人大附中试题】下列说法中，正确说法的个数是【】 ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若\\(M\\in \\alpha\\)，\\(M\\in \\alpha\\)，\\(\\alpha\\cap\\beta=l\\)，则\\(M\\in l\\)； ④空间中",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 7604802,
"Title": "高中数学常见角的范围及其表示",
"DateAdded": "2017-09-28T07:44:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n高中数学中的角，各式各样，其范围的理解和记忆就是个问题，其实遵照从简原则，可以很容易破解，举例如下：\n\n平面内两条直线$AB$和$CD$相交于点$O$，形成了两组对顶角，四组邻补角；\n\n\n\n如上图所示，遵照从简原则，很显然我们只要用$[0,\\cfrac{\\pi}{2}]$的范围就足以刻画其位置关系；\n\n## 三角函数\n\n三角形内角：锐角：$0<\\theta<\\cfrac{\\pi}{2}$ 直角：$\\theta=\\cfrac{\\pi}{2}$ 钝角：$\\cfrac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi$；\n\n三角形中的最小内角三角形的最小内角不超过 $\\cfrac{\\pi}{3}$，如果最小内角超过 $\\cfrac{\\pi}{3}$，则内角和会超过 $\\pi$； ：$0<\\theta\\leqslant\\cfrac{\\pi}{3}$ ；三角形中的最大内角三角形的最大内角不小于 $\\cfrac{\\pi}{3}$，如果最大内角小于 $\\cfrac{\\pi}{3}$，则内角和会不足 $\\pi$； ：$\\cfrac{\\pi}{3}\\leqslant\\theta<{\\pi}$ ；\n\n某个范围的角的标记符号： $0^{\\circ}$到$90^{\\circ}$间的角$\\theta$：$\\theta\\in [0^{\\circ}，90^{\\circ})$； $0^{\\circ}\\sim 90^{\\circ}$的角$\\theta$：$\\theta\\in [0^{\\circ}，90^{\\circ})$；\n\n三角函数中的象限角[弧度制下]：[角度制下][^wh007] \n\n第一象限的角：$\\{\\theta\\mid 2k\\pi<\\theta<2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{2}，k\\in Z\\}$ \n\n第二象限的角：$\\{\\theta\\mid 2k\\pi+\\cfrac{\\pi}{2}<\\theta<2k\\pi+\\pi，k\\in Z\\}$ \n\n第三象限的角：$\\{\\theta\\mid 2k\\pi+\\pi<\\theta<2k\\pi+\\cfrac{3\\pi}{2}，k\\in Z\\}$ \n\n第四象限的角：$\\{\\theta\\mid 2k\\pi+\\cfrac{3\\pi}{2}<\\theta<2k\\pi+2\\pi，k\\in Z\\}$ \n\n[^wh007]:角度制下的象限角的表示：\n第一象限的角：$\\{\\theta\\mid k\\cdot360^{\\circ}+0^{\\circ}<\\theta![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201803/992978-20180301111725094-1023619271.png\")
\n\n法1：用梯形的面积公式可得，$S_{梯形ABCD}=\\cfrac{(2+8)}{2}\\times 3=15$；\n\n法2：用定积分求解面积，$S_{梯形ABCD}=\\displaystyle\\int_{1}^{4}2x\\;dx=2\\times\\cfrac{x^2}{2}\\Big|_1^4=16-1=15$；\n\n定积分可以求规则图形的面积，也可以求不规则图形的面积，这样我们能解决的问题的类型就更多了。\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n分析：条件$a >0，b >0，a^2+b^2 <1$对应位于第一象限的单位圆内部的点的横纵坐标，故$0< a<1$且$0< b<1$； \n\n而结论$ab+1>a+b$等价于$(a-1)(b-1)>0$，即$a>1，b>1$ \n\n或者$0< a<1，0< b<1(本题有前提条件)$； \n\n故$a^2+b^2<1$能推出$ab+1>a+b$，但反之不成立，选A。 \n\n$A.充分不必要$ $ B.必要不充分$ $C.充分必要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n分析：当$a_1 < a_2 < a_3$时，设公比为$q$，则有$a_1 < a_1q < a_1q^2$；\n\n若$a_1>0$，则有$1< q< q^2$，得到$q >1$，\n\n此时$a_n=a_1\\cdot q^{n-1}$，指数型函数，单调递增；\n\n若$a_1<0$，则有$1> q > q^2$，得到$0< q <1$，\n\n此时$a_n=a_1\\cdot q^{n-1}$，指数型函数，单调递增；\n\n反之，当数列$\\{a_n\\}$是递增等比数列，必有$a_1 < a_2< a_3$，\n\n故选 C、充分必要条件 。\n\n反思：由等比数列的通项公式可知，$a_n=a_1\\cdot q^{n-1}$可知，\n\n当$a_1 >0且q >1$或者$a_1 <0且0< q <1$时，$a_n$单调递增；\n\n当$a_1 <0且q>1$或者$a_1 >0且0< q <1$时，$a_n$单调递减；\n\n当$q=1$时为常数列，无单调性；\n\n当$q <0$时为摆动数列，无单调性。\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n分析：由上述分析可知：$a_n=a_1\\cdot q^{n-1}$，指数型函数，\n\n它的变化取决于两个要素，$a_1$和$q$，故选D。\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n分析：由$a_n=dn+(a_1-d)$可知，选C。\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n分析：由$\\cfrac{a}{b}>1$两边平方，得到$\\cfrac{a^2}{b^2}>1$，即$a^2>b^2$，即得到$|a|>|b|$，而由$|a|>|b|$不能得到$\\cfrac{a}{b}>1$，\n\n只要让$a=1，b=0$，就能说明不能。故选$A$.\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n分析：将题目的已知条件等价转化为：存在负数$\\lambda$，使得$\\vec{m}=\\lambda \\vec{n}\\Leftrightarrow \\theta=180^{\\circ}$\n\n将题目的所求结论等价转化为：$\\vec{m}\\cdot \\vec{n}<0\\Leftrightarrow \\theta\\in(90^{\\circ}，180^{\\circ}]$，\n\n故此时能轻易判断选 $A$。\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n分析：选B，先验证由后推前的命题，由于$(x_0，y_0)$为这一组数据的样本中心点，故其满足线性回归方程；\n\n但当我们验证由前推后的命题时，此时并不一定知道，$(x_0，y_0)$为样本中心，故前不能推后，即为必要不充分条件。\n\n这句话可以这样理解，样本中心一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的点不一定是样本中心，也可能是其他点。\n\n\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201804/992978-20180411144654668-2145794994.png\")
\n\n分析：判断充分性，由题目可知，当存在集合$C$，使得$A\\subseteq C$，$B\\subseteq C_UC$时，\n\n必有$A\\cap B=\\varnothing$成立，故充分性成立；\n\n再判断必要性，当$A\\cap B=\\varnothing$成立时，$U$为全集，$A、B$为集合，\n\n只要令$A=C$即能说明，必然存在集合$C$，使得$A\\subseteq C$，$B\\subseteq C_UC$成立，故必要性成立，\n\n故选充要条件，C.\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n分析：充分性成立，原因\"偶+偶=偶\"；必要性不成立，比如，$h(x)=e^x+e^{-x}$为偶函数，\n\n但是$f(x)=e^x$和$g(x)=e^{-x}$都没有奇偶性；故选$A$。\n\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n分析：由$cos2\\theta=cos^2\\theta-sin^2\\theta$可知，当$sin\\theta=cos\\theta$时，能推出$cos2\\theta=0$，故充分性成立；\n\n但是当$cos2\\theta=0$时，只能推出$cos^2\\theta=sin^2\\theta$，并不能推出$sin\\theta=cos\\theta$，故必要性不成立，\n\n综上所述，选$A$.\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n分析：先化简命题$q$，由圆心$(0,0)$到直线$y=kx+2$的距离为$1$，即由$d=r$得到，$\\cfrac{|2|}{k^2+1}=1$，解得$k=\\pm \\sqrt{3}$，或者联立消元后的方程$x^2+(kx+2)^2=1$的$\\Delta=0$，都可以得到$k=\\pm \\sqrt{3}$，\n\n法1：即$p:k=\\sqrt{3}$，$q:k=\\pm\\sqrt{3}$，故$p\\Rightarrow q$，但是$q\\not\\Rightarrow p$，故$p$是$q$的充分不必要条件，则$\\neg p$是$\\neg q$的必要不充分条件。故选$B$.\n\n法2：由上得到，$\\neg p:k\\neq\\sqrt{3}$，$\\neg q:k\\neq\\pm\\sqrt{3}$，故由集合的包含关系可知，$\\neg p\\not\\Rightarrow \\neg q$，但是$\\neg q\\Rightarrow \\neg q$，故$\\neg p$是$\\neg q$的必要不充分条件。故选$B$.\n\n## 充要条件的证明\n\n②$f(x)-f(y)=f(x-y)$；|一次或正比例函数$y=f(x)=kx+b$($k\\neq 0$)|\n|①$f(x)\\cdot f(y)=f(x\\cdot y)$；
②$\\cfrac{f(x)}{f(y)}$$=f(\\cfrac{x}{y})$；|幂函数$f(x)=x^a$|\n|①$f(x)\\cdot f(y)=f(x＋y)$；
②$\\cfrac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$；|指数函数$f(x)=a^x$，($a>0$，$a\\neq 1$)|\n|①$f(x)+f(y)=f(x\\cdot y)$；
②$f(x)-f(y)=$$f(\\cfrac{x}{y})$；|对数函数$f(x)=log_a^\\;x$，($a>0$，$a\\neq 1$)|\n|①$h(x+y)=h(x)g(y)+g(x)h(y)$；
②$f(x)+f(y)=2f(\\cfrac{x+y}{2})f(\\cfrac{x-y}{2})$；|三角函数$h(x)=\\sin x$，$g(x)=\\cos x$，$f(x)=\\cos x$|\n|$f(x+y)=\\cfrac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$；|正切函数$y=\\tan x$|\n\n## 相关问题\n\n
![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201712/992978-20171212144505832-1208734528.png\")
\n\n分析：由题可知，$a=3$，如图所示，由椭圆的定义可知$|AF_1|+|AF_2|=2a$，$|BF_1|+|BF_2|=2a$，\n\n故$\\Delta ABF_1$的周长为$|AF_1|+|BF_1|+|AB|=|AF_1|+|BF_1|+|AF_2|+|BF_2|=4a=12$。\n\n$A.\\cfrac{\\sqrt{6}}{3}$ $B.\\cfrac{\\sqrt{3}}{3}$ $C.\\cfrac{\\sqrt{2}}{3}$ $D.\\cfrac{1}{3}$
\n\n分析：由于$A_1A_2=2a$，故圆的半径为$r=a$，由题目圆与直线$bx-ay+2ab=0$相切，\n\n则圆心到此直线的距离$d=r$，即$\\cfrac{|b\\times 0-a\\times 0+2ab|}{\\sqrt{a^2+b^2}}=a$，解得$a^2=3b^2$，则$c^2=a^2-b^2=2b^2$，\n\n故$e^2=\\cfrac{c^2}{a^2}=\\cfrac{2b^2}{3b^2}=\\cfrac{\\sqrt{6}}{3}$，故选$A$。\n\n$A.162$ $B.166$ $C.312$ $D.364$
\n\n分析：椭圆$\\cfrac{x^2}{25}+\\cfrac{y^2}{9}=1$中的最短弦长为通经，最长的弦长为长轴的长，容易计算得到通经长为$\\cfrac{18}{5}=3.6$，则椭圆的弦从最短的弦变化为最长的弦的过程中，得到的好弦的长度分别为$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$，$10$，\n\n\n\n而且由于椭圆关于$x$轴对称，故有两组，又由于焦点有两个，故还有两组，故共有四组，其和为$(4+5+6$ $+7+8+9+$ $10)\\times 4$ $=196$，但是上述的计算过程中将最长的好弦(即长轴)多计算了3次，故所求为$196-30=166$，故选$B$。\n\n$A.(0，\\cfrac{2\\sqrt{2}}{3})$ $B.(0，\\cfrac{\\sqrt{5}}{3}]$ $C.[\\cfrac{\\sqrt{6}}{3}，1)$ $D.[\\cfrac{2\\sqrt{2}}{3}，1)$
\n\n分析：设椭圆的左焦点为$F_1$，则由$\\triangle FOB \\cong \\triangle F_1OA$，则可知$|AF_1|=|BF|$，则由$|AF|+|BF|=6$结合椭圆的定义，得到$2a=6$，则$a=3$，\n\n\n\n又由于点$M$与直线$l$的距离不小于$\\cfrac{8}{5}$，得到$\\cfrac{|-4b|}{5}\\ge \\cfrac{8}{5}$，解得$b\\ge 2$，\n\n则$e^2=\\cfrac{c^2}{a^2}=\\cfrac{a^2-b^2}{a^2}=1-\\cfrac{b^2}{9}\\leq 1-\\cfrac{4}{9}=\\cfrac{5}{9}$，故$0![](\"http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170712221900962-402066491.png\")
\n\n分析：自己作图，读图即可解答，解集为$(-1，0)\\cup(1，3)$；\n\n法2：还可以利用周期和对称性求得$f(x)$的解析式，\n\n代入计算，当然这个方法没有图像法直观快捷。\n\n$A.(-3，0)\\cup(3，+\\infty)$
$B.(-3，0)\\cup(0，3)$
$C.(-\\infty，-3)\\cup(3，+\\infty)$
$D.(-\\infty，-3)\\cup(0，3)$
![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171016190434318-707047980.png\")
\n\n故在区间$(0,3)$上$h(x)<0$，$h(3)=0$，在区间$(3，+\\infty)$上$h(x)>0$, \n\n故不等式$f(x)g(x)<0$的解集即$h(x)<0$的解集为$(-\\infty,-3)\\cup(0,3)$。\n\n反思总结：注意函数$h(x)=f(x)g(x)$的零点有三个$x=-3、x=0、x=3$，\n\n本题目容易错误的理解为在$(-\\infty，0)$单增，在$(0，+\\infty)$单增，在$x=0$处有定义，\n\n那么在$(-\\infty，+\\infty)$单增，这样函数$h(x)$的零点只有一个，这样的理解是错误的。\n\n只有函数$h(x)$在$x=0$处左右连续，且$\\lim\\limits_{x\\to 0^+} h(x)=\\lim\\limits_{x\\to 0^-} h(x)=h(0)$，\n\n此时的$h(x)$才只有一个零点。\n\u00A0\u00A0\n法2：由上述解法可知，函数$h(x)$在$(-\\infty，0)$上单调递减，\n\n在$(0，+\\infty)$上单调递增，故由$h(x)<0=h(-3)$，\n\n和$h(x)<0=h(3)$得到，解集为$(-\\infty,-3)\\cup(0,3)$。\n\n$A.f(2x)+f(3y)\\leq 0$
$B.f(2x)+f(3y)\\ge 0$
$C.f(2x)+f(3y)< 0$
$D.f(2x)+f(3y) > 0$
$A.(-\\infty，-1)$ $B.(-\\infty，-1]$ $C.(1，+\\infty)$ $D.[1，+\\infty)$
\n\n法1：先求得函数$f(x)$的解析式，转化为分段函数不等式求解；\n\n当$x<0$时，则$-x>0$，故$f(x)=-f(-x)=-(1-2^x)=-1+2^x$，\n\n故函数$f(x)$的解析式为$f(x)=\\begin{cases}1-2^{-x}，&x\\ge 0\\\\-1+2^x，&x<0\\end{cases}$，求$f(x)<-\\cfrac{1}{2}$，\n\n等价转化为$\\begin{cases}x\\ge0\\\\1-2^{-x}<-\\cfrac{1}{2}\\end{cases}$，或$\\begin{cases}x<0\\\\-1+2^x<-\\cfrac{1}{2}\\end{cases}$，\n\n解得$x<-1$，故选$A$；\n\n法2：利用奇函数的对称性求解，由于奇函数的图像关于原点对称，\n\n当$x>0$时，$f(x)=1-2^{-x}>0$，而$f(x)<-\\cfrac{1}{2}$的解集和$f(x)>\\cfrac{1}{2}(x>0)$ 的解集关于原点对称，\n\n故先求解不等式$f(x)>\\cfrac{1}{2}(x>0)$ ，\n\n得到$1-2^{-x}>\\cfrac{1}{2}(x>0)$，解得$x>1$，\n\n故原不等式$f(x)<-\\cfrac{1}{2}$的解集为$x<-1$，故选$A$。\n\n$A(2，6)$ $B(-6，-2)$ $C(-\\infty，2)\\cup(6，+\\infty)$ $D(-\\infty，-6)\\cup(-2，+\\infty)$
\n\n分析：$g(x)$为偶函数，且在$[0，+\\infty)$上单调递增，$g(|x|)$A.[-3，1]$ $B.[-4，2]$ $C.(-\\infty，-3)\\cup [1，+\\infty)$ $D.(-\\infty，-4)\\cup [2，+\\infty)$
\n\n分析：由于$f(x+1)$是偶函数，故$f(x)$的图像关于$x=1$对称，\n\n由$f(m+2)\\geqslant f(x-1)$得到，[说明：$f(x)$对称轴为$x=0$，则$f(x-1)$的对称轴为$x=1$；]\n\n故$f(|(m+2)-1|)\\geqslant f(|(x-1)-1|)$，又由于函数$f(x)$在$[1，+\\infty)$上单调递减，\n\n故$|(m+2)-1|\\leqslant |(x-1)-1|$，即$|m+2|\\leqslant |2-x|$对任意的$x\\in [-1，0]$恒成立，\n\n而右侧函数$y=|2-x|$在$x\\in [-1，0]$上的最小值为$2$，\n\n故得到$|m+1|\\leqslant 2$，即$-3\\leqslant m\\leqslant 1$，故选$A$。\n\n$A$.$f(-\\frac{1}{2})=0$
$B.$$f(-1)=0$
$C.$$f(2)=0$
$D.$$f(4)=0$
$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$
\n\n解析：由 $f(2x+1)$ 为偶函数，可得到 $f(-2x+1)$$=$$f(2x+1)$由于$\\cfrac{(-2x+1)+(2x+1)}{2}$$=$$1$，故函数 $f(x)$ 关于直线 $x=1$ 对称，，故函数 $f(x)$ 关于直线 $x=1$ 对称，即有 $f(x+2)$$=$$f(-x)$ ①[关于直线$x=1$对称的另外一种等价写法]；\n\n由 $f(x-1)$ 为奇函数，可得 $f(-x-1)$$=$$-f(x-1)$ ，即 $f(-x-1)+f(x-1)=0$ 由于$\\cfrac{(-x-1)+(x-1)}{2}$$=$$-1$ 且 $\\cfrac{f(-x-1)+f(x-1)}{2}$$=$$\\cfrac{y_1+y_2}{2}$$=$$0$，故函数 $f(x)$ 关于点 $(-1,0)$ 成中心对称，，则有 $f(-x)$$+$$f(-2+x)$$=$$0$ ②[关于点 $(-1,0)$ 对称的另外一种等价写法]；\n\n由①②可得，$f(x+2)$$+$$f(-2+x)$$=$$0$，用 $x+2$ 替换其中的 $x$ ，得到 $f(x+4)$$+$$f(x)$$=$$0$，即 $f(x+4)$$=$$-f(x)$，故 $T$$=$$8$，\n\n由此可得，故 (1). $f(x)$$=$$f(x-16)$ 正确，\n\n又由于 $f(x-1)$ 为奇函数，令 $x=0$ ，故可得 $f(-1)$$=$$0$[后边备用] ，又 $f(11)$$=$$f(3)$，赋值 $f(-2x+1)$$=$$f(2x+1)$ 中的 $x=1$，可得 $f(3)$$=$$f(-1)$，故有 $f(11)$$=$$f(3)$$=$$f(-1)$$=$$0$，即 (2). $f(11)$$=$$0$ 正确；\n\n由于函数 $f(x)$ 的 $T=8$，则 $f(2022)$$=$$f(6)$，赋值 $f(x+4)$$=$$-f(x)$ 中的 $x=2$，得到 $f(6)$$=$$-f(2)$，再赋值 $f(-2x+1)$$=$$f(2x+1)$ 中的 $x=\\cfrac{1}{2}$，可得 $f(2)$$=$$f(0)$，故有 $f(2022)$$=$$f(6)$$=$$-f(2)$$=$$-f(0)$，即 (3). $f(2022)$$=$$-f(0)$ 正确；\n\n由于函数 $f(x)$ 的 $T=8$，故有 $f(2021)$$=$$f(5)$$=$$f(-3)$，即 (4). $f(2021)$$=$$f(-3)$ 正确；\n\n综上所述，故选 $D$ .\n\n〔解后反思〕：此类题目的内涵特别的大，由 $f(2x+1)$ 为偶函数，可得到函数 $f(x)$ 关于直线对称，由 $f(x-1)$ 为奇函数，得到函数 $f(x)$ 关于某个点中心对称，将函数的关于直线对称和关于某点中心对称，改写后就可以推到周期性了；另外，赋值法在这类题目中少不了。\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201711/992978-20171104132136154-1958917428.png\")
\n\n则$\\overrightarrow{OA}\\cdot \\overrightarrow{OB}=|\\overrightarrow{OA}||\\overrightarrow{OB}|cos\\theta=3\\times\\sqrt{x^2+9}\\times\\cfrac{3}{\\sqrt{x^2+9}}=9$\n\n$A.a < b$ $B.a > b$ $C.ab < 1 $ $D.ab>2$
\n\n分析：$a^2=1+sin2\\alpha$， $b^2=1+sin2\\beta$，\n\n由于 $0<\\alpha<\\beta<\\cfrac{\\pi}{4}$，则有 $0<2\\alpha<2\\beta<\\cfrac{\\pi}{2}$，则$sin2\\alpha$A.2020$ $B.2021$ $C.2022$ $D.2023$
\n\n解析： 因为 $a_{1}$$=$$a_{2}$$=$$1$ ，所以\n\n$1$$+$$a_{3}$$+$$a_{5}$$+$$a_{7}$$+$$a_{9}$$+$$\\cdots$$+$$a_{2021}$\n\n$=$$a_{2}$$+$$a_{3}$$+$$a_{5}$$+$$a_{7}$$+$$a_{9}$$+$$\\cdots$$+$$a_{2021}$\n\n$=$$a_{4}$$+$$a_{5}$$+$$a_{7}$$+$$a_{9}$$+$$\\cdots$$+$$a_{2021}$\n\n$=$$a_{6}$$+$$a_{7}$$+$$a_{9}$$+$$\\cdots$$+$$a_{2021}$\n\n$=$$\\cdots$$+$$a_{2019}$$+$$a_{2021}$\n\n$=$$a_{2020}$$+$$a_{2021}$$=$$a_{2022}$ ，故选 $C$ .\n\n\n$A.2$ $B.2\\sqrt{2}$ $C.4$ $D.4\\sqrt{2}$
\n\n分析：设长方体的长宽高分别为$x$，$y$，$z$，则由题可知有$\\left\\{\\begin{array}{l}{xy=8①}\\\\{yz=12②}\\\\{xz=24③}\\end{array}\\right.$，三式相乘得到$x^2y^2z^2=48^2④$，\n\n用④式分别除以①②③式，得到$x=4$，$y=2$，$z=6$，要想削成一个正四面体，\n\n需要先取其最小棱的长度作为基础，首先得到棱长为$2$的正方体，然后由正方体切削成正四面体，\n\n此时正四面体的棱长为该正方体的面对角线，故正四面体的棱长的最大值为$2\\sqrt{2}$。\n\n\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171017165905131-1242174130.png\")
\n\n$\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{BC}=2\\overrightarrow{BE}=\\cfrac{4}{3}\\overrightarrow{BO}=-\\cfrac{4}{3}\\overrightarrow{OB}$，\n\n$\\overrightarrow{CB}+\\overrightarrow{CA}=2\\overrightarrow{CF}=\\cfrac{4}{3}\\overrightarrow{CO}=-\\cfrac{4}{3}\\overrightarrow{OC}$，\n\n故$\\overrightarrow{OA}+\\overrightarrow{OB}+\\overrightarrow{OC}$$=-\\cfrac{4}{3}(\\overrightarrow{OA}+\\overrightarrow{OB}+\\overrightarrow{OC})$\n\n$=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AC}+\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{BC}+\\overrightarrow{CB}+\\overrightarrow{CA}=\\vec{0}$；\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171017203923521-879204658.png\")
\n\n充分性，由$\\overrightarrow{OA}+\\overrightarrow{OB}+\\overrightarrow{OC}=\\vec{0}$，得到$\\overrightarrow{OB}+\\overrightarrow{OC}=-\\overrightarrow{OA}$，\n\n又$\\overrightarrow{OB}+\\overrightarrow{OC}=2\\overrightarrow{OD}$，则$-\\overrightarrow{OA}=2\\overrightarrow{OD}$，\n\n故点$A、O、D$三点共线，且$AD$为三角形的一条中线；\n\n同理，$BE、CF$为三角形的中线；故$O$是 $\\triangle ABC$的重心；证毕。\n\n\n\n
\n\n> :writing_hand: 命题二：$O$是 $\\triangle ABC$的重心，则$S_{\\Delta AOB}=S_{\\Delta BOC}=S_{\\Delta COA}$；\n\n证明：$O$是 $\\triangle ABC$的重心，令边$AB$上的高线为$h$，\n\n则$S_{\\Delta AOB}=\\cfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot \\cfrac{h}{3}=\\cfrac{1}{3}S_{\\Delta ABC}$，\n\n同理，$S_{\\Delta BOC}=\\cfrac{1}{3}S_{\\Delta ABC}$，$S_{\\Delta AOC}=\\cfrac{1}{3}S_{\\Delta ABC}$，\n\n故$S_{\\Delta AOB}=S_{\\Delta BOC}=S_{\\Delta COA}$；\n\n> :writing_hand: 命题三：已知$D、E、F$是 $\\triangle ABC$的边$BC、AC、AB$的中点，则$\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{BE}+\\overrightarrow{CF}=\\vec{0}$；\n\n证明：已知$D、E、F$是 $\\triangle ABC$的边$BC、AC、AB$的中点，$O$是 $\\triangle ABC$的重心，\n\n则$\\overrightarrow{AD}=\\cfrac{1}{2}(\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AC})$，$\\overrightarrow{BE}=\\cfrac{1}{2}(\\overrightarrow{BC}+\\overrightarrow{BA})$，$\\overrightarrow{CF}=\\cfrac{1}{2}(\\overrightarrow{CA}+\\overrightarrow{CB})$，\n\n故$\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{BE}+\\overrightarrow{CF}$$=\\cfrac{1}{2}(\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AC}+\\overrightarrow{BC}+\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{CA}+\\overrightarrow{CB}) =\\vec{0}$；\n\n\n## 三角形外心\n\n* 外心：三角形的三条边的中垂线交点，也是外接圆的圆心；\n\n> :writing_hand: 已知$O$为 $\\triangle ABC$内的一点，满足$|\\overrightarrow{OA}|=|\\overrightarrow{OB}|=|\\overrightarrow{OC}|$，则 $O$ 是 $\\triangle ABC$的外心；\n\n证明：到三角形的三个顶点等距离的点是三角形的外接圆的圆心，故 $O$ 是 $\\triangle ABC$的外心；\n\n\n\n## 三角形垂心\n\n* 垂心：三角形的三条边的高线的交点。\n\n> :writing_hand: 命题一：已知$O$为 $\\triangle ABC$内的一点，满足$\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}=\\overrightarrow{OB}\\cdot\\overrightarrow{OC}=\\overrightarrow{OC}\\cdot\\overrightarrow{OA}$，则$O$是 $\\triangle ABC$的垂心；\n\n证明：由于$\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}=\\overrightarrow{OC}\\cdot\\overrightarrow{OA}$，则$\\overrightarrow{OA}\\cdot(\\overrightarrow{OB}-\\overrightarrow{OC})=0$，\n\n这条性质在具体题目中又是如何使用的呢？应用举例
\n\n如【2020宝鸡市二检理科第15题】已知点 $P$ 为三角形 $\\triangle ABC$ 内部一点，且满足 $\\overrightarrow{PB}$$+$$\\overrightarrow{PC}$$=$$\\overrightarrow{AP}$，。。。
分析：将给定条件先变形得到，$\\overrightarrow{PB}$$+$$\\overrightarrow{PC}$$-$$\\overrightarrow{AP}$$=$$\\vec{0}$，变形后即$\\overrightarrow{PB}$$+$$\\overrightarrow{PC}$$+$$\\overrightarrow{PA}$$=$$\\vec{0}$，故点$P$是三角形的重心。\n
\n分析：将给定条件先变形得到，$\\overrightarrow{PB}$$+$$\\overrightarrow{PC}$$-$$\\overrightarrow{AP}$$=$$\\vec{0}$，变形后即$\\overrightarrow{PB}$$+$$\\overrightarrow{PC}$$+$$\\overrightarrow{PA}$$=$$\\vec{0}$，故点$P$是三角形的重心。\n
![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171017173526162-1532261472.png\")
\n\n即$\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{CB}=0$，则$OA\\perp BC$，\n\n同理 $\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}=\\overrightarrow{OB}\\cdot\\overrightarrow{OC}$，可得$OB\\perp AC$，\n\n$\\overrightarrow{OB}\\cdot\\overrightarrow{OC}=\\overrightarrow{OC}\\cdot\\overrightarrow{OA}$，可得 $OC\\perp AB$，\n\n故$O$是 $\\triangle ABC$的垂心；\n\n> :writing_hand: 命题二：已知$O$为 $\\triangle ABC$所在平面内的一点，且$|\\overrightarrow{OA}|^2$$+$$|\\overrightarrow{BC}|^2$$=|\\overrightarrow{OB}|^2+$$|\\overrightarrow{CA}|^2$$=|\\overrightarrow{OC}|^2+$$|\\overrightarrow{AB}|^2$，则$O$是 $\\triangle ABC$的垂心；\n\n## 三角形内心\n\n* 内心：三角形的三个内角平分线的交点，也是内切圆的圆心；\n\n> :writing_hand: 命题一：$O$为 $\\triangle ABC$的内心的充要条件是$\\overrightarrow{OA}\\cdot(\\cfrac{\\overrightarrow{AB}}{|\\overrightarrow{AB}|}-\\cfrac{\\overrightarrow{AC}}{|\\overrightarrow{AC}|})$$= \\overrightarrow{OB}\\cdot(\\cfrac{\\overrightarrow{BA}}{|\\overrightarrow{BA}|}-\\cfrac{\\overrightarrow{BC}}{|\\overrightarrow{BC}|})$$=\\overrightarrow{OC}\\cdot(\\cfrac{\\overrightarrow{CA}}{|\\overrightarrow{CA}|}-\\cfrac{\\overrightarrow{CB}}{|\\overrightarrow{CB}|})=0$\n\n证明：充分性，如图，向量$\\overrightarrow{AB}$、$\\overrightarrow{AC}$的单位向量分别是$\\overrightarrow{AE}$、$\\overrightarrow{AD}$，\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171017213753912-1982169177.png)
\n\n则$\\Delta ADE$为等腰三角形，\n\n由$\\overrightarrow{OA}\\cdot (\\cfrac{\\overrightarrow{AB}}{|\\overrightarrow{AB}|}-\\cfrac{\\overrightarrow{AC}}{|\\overrightarrow{AC}|})$$=\\overrightarrow{OA}\\cdot (\\overrightarrow{AE}-\\overrightarrow{AD})$$=\\overrightarrow{OA}\\cdot \\overrightarrow{DE}=0$，\n\n故$OA$为$\\angle A$的平分线；同理可得$OB$、$OC$分别为$\\angle B、\\angle C$的平分线；\n\n故点$O$是 $\\triangle ABC$的内心。\n\n必要性，由点$O$是 $\\triangle ABC$的内心，则可知$OA$为$\\angle A$的平分线，\n\n故容易知道$\\overrightarrow{OA}\\cdot \\overrightarrow{DE}=0$，\n\n即$\\overrightarrow{OA}\\cdot(\\cfrac{\\overrightarrow{AB}}{|\\overrightarrow{AB}|}-\\cfrac{\\overrightarrow{AC}}{|\\overrightarrow{AC}|})=0$，\n\n同理可知$ \\overrightarrow{OB}\\cdot(\\cfrac{\\overrightarrow{BA}}{|\\overrightarrow{BA}|}-\\cfrac{\\overrightarrow{BC}}{|\\overrightarrow{BC}|})$$=\\overrightarrow{OC}\\cdot(\\cfrac{\\overrightarrow{CA}}{|\\overrightarrow{CA}|}-\\cfrac{\\overrightarrow{CB}}{|\\overrightarrow{CB}|})=0$，证毕。\n\n\n\n\n## 典例剖析\n\n$A.\\textbf{重心, 外心, 垂心}$ $B.\\textbf{重心, 外心, 内心}$ $C.\\textbf{外心, 重心, 垂心}$ $D.\\textbf{外心, 重心, 内心}$
\n\n解：若 $|\\overrightarrow{OA}|$$=$$|\\overrightarrow{OB}|$$=$$|\\overrightarrow{OC}|$，则 $O$ 为 $\\triangle ABC$ 的外心； 若$\\overrightarrow{NA}$$+$$\\overrightarrow{NB}$$+$$\\overrightarrow{NC}$$=$$\\vec{0}$， 则 $N$ 为 $\\triangle ABC$ 的重心； 若 $\\overrightarrow{PA}$$\\cdot$$\\overrightarrow{PB}$$=$$\\overrightarrow{PB}$$\\cdot$$\\overrightarrow{PC}$$=$$\\overrightarrow{PC}$$\\cdot$$\\overrightarrow{PA}$， 则 $P$ 为 $\\triangle ABC$ 的垂心，故选 $C$ .\n\n\n$A.\\textbf{内心}$ $B.\\textbf{垂心}$ $C.\\textbf{重心}$ $D.\\textbf{外心}$
\n\n解: 设 $BC$ 的中点为 $D$，\n\n\n\n$$\n\\overrightarrow{OP}=\\cfrac{\\overrightarrow{OB}+\\overrightarrow{OC}}{2}+\\lambda\\Big(\\cfrac{\\overrightarrow{AB}}{|\\overrightarrow{AB}| \\cos B}+\\cfrac{\\overrightarrow{AC}}{|\\overrightarrow{AC}|\\cos C}\\Big)=\\overrightarrow{OD}+\\lambda\\Big(\\cfrac{\\overrightarrow{AB}}{|\\overrightarrow{AB}|\\cos B}+\\cfrac{\\overrightarrow{AC}}{|\\overrightarrow{AC}|\\cos C}\\Big)\n$$\n\n即 $$\\overrightarrow{DP}=\\lambda\\Big(\\cfrac{\\overrightarrow{AB}}{|\\overrightarrow{AB}|\\cos B}+\\cfrac{\\overrightarrow{AC}}{|\\overrightarrow{AC}|\\cos C}\\Big)$$ \n\n两端同时点乘向量 $\\overrightarrow{BC}$，得到\n\n$\\overrightarrow{DP}\\cdot\\overrightarrow{BC}$$=$$\\lambda\\Big(\\cfrac{\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{BC}}{|\\overrightarrow{AB}|\\cos B}+\\cfrac{\\overrightarrow{AC}\\cdot\\overrightarrow{BC}}{|\\overrightarrow{AC}|\\cos C}\\Big)$\n\n$=$$\\lambda\\Big(\\cfrac{|\\overrightarrow{AB}|\\cdot|\\overrightarrow{BC}|\\cos(\\pi-B)}{|\\overrightarrow{AB}|\\cos B}+\\cfrac{|\\overrightarrow{AC}|\\cdot|\\overrightarrow{BC}|\\cos C}{|\\overrightarrow{AC}|\\cos C}\\Big)$\n\n$=$$\\lambda(-|\\overrightarrow{BC}|+|\\overrightarrow{BC}|)=0$\n\n所以 $DP\\perp BC$，点 $P$ 在 $BC$ 的垂直平分线上， 即 $P$ 经过 $\\triangle ABC$ 的外心，故选 $D$ .\n\n$A$.若$S_A:S_B:S_C$=$1:1:1$, 则$M$为$\\triangle$$ABC$的重心
$B.$若$M$为$\\triangle ABC$的内心 ,则$BC$$\\cdot$$\\overrightarrow{MA}$$+$$AC$$\\cdot$$\\overrightarrow{MB}$$+$$AB$$\\cdot$$\\overrightarrow{MC}$$=$$\\vec{O}$.
$C.$若$\\angle BAC=45^{\\circ}$ ,$\\angle ABC=60^{\\circ}$,$M$为$\\triangle ABC$的外心 , 则$S_A:S_B:S_C$$=$$3:2:1$
$D.$$M$为$\\triangle ABC$的垂心, $3\\overrightarrow{MA}+4\\overrightarrow{MB}+5\\overrightarrow{MC}=\\vec{O}$, 则$\\cos\\angle AMB=-\\cfrac{\\sqrt{6}}{6}$.
![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171017172208646-750921313.png\")
\n\n则在$\\Delta PAC$中，$\\overrightarrow{PA}+\\overrightarrow{PC}=2\\overrightarrow{PO}$，在$\\Delta PBD$中，$\\overrightarrow{PB}+\\overrightarrow{PD}=2\\overrightarrow{PO}$，\n\n故$\\overrightarrow{PA}+\\overrightarrow{PC}+\\overrightarrow{PB}+\\overrightarrow{PD}$$=4\\overrightarrow{PO}$，\n\n即$\\overrightarrow{PO}=\\cfrac{1}{4}(\\overrightarrow{PA}+\\overrightarrow{PB}+\\overrightarrow{PC}+\\overrightarrow{PD})$；\n\n> :writing_hand: 已知$O$为 $\\triangle ABC$的外心，$H$为其垂心，则$\\overrightarrow{OH}=\\overrightarrow{OA}+\\overrightarrow{OB}+\\overrightarrow{OC}$.\n",
"BlogId": 294450,
"Description": "三角形的四心的向量表示",
"DateUpdated": "2024-09-17T10:19:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-10-12T14:16:07.493",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 若三角形的四心用文字语言表述时，许多学生还可以对付一阵，若但换成向量形式的符号语言，则大多就哑口无言了，所以有必要将三角形四心的向量表示形式好好作以总结储备。 相关延伸 常用结论 1、已知 \\(O\\) 为 \\(\\triangle ABC\\)内的一点，若 \\(\\overrightarrow{OA",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 7670374,
"Title": "平面向量习题|高阶",
"DateAdded": "2019-02-10T13:45:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n* 在高中阶段，平面向量是个非常特殊的数学素材，在没有引入向量的坐标时，我们一般会想到用“形”来刻画向量，它们之间的加减运算主要依托“三角形法则”和“平行四边形法则”展开；当引入了向量的坐标表示以后，向量就有了“数”的内涵，这时候向量之间的运算，即可以考虑用“形”来刻画，也可以考虑用数来刻画。\n\n* 比如用形来刻画运算，$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BC}+\\overrightarrow{CA}=\\vec{0}$，$\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{AC}-\\overrightarrow{BC}$等，\n\n* 再比如用数来刻画运算，设$\\vec{a}=(x_1，y_1)$，$\\vec{b}=(x_2，y_2)$；则$\\vec{a}\\pm \\vec{b}=(x_1\\pm x_2，y_1\\pm y_2)$，$\\vec{a}\\cdot \\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$；\n\n* 再比如用数来刻画位置关系，$\\vec{a}//\\vec{b}\\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$；$\\vec{a}\\perp \\vec{b}\\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0$；\n\n## 解题经验\n\n* 熟练掌握[平面向量习题|低阶](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/17323161.html)，熟悉和强化[平面几何相关定理](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10360820.html)；\n\n* 特别要注意向量的代数和表达式中的[数字系数的拆分技巧](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12344951.html)\n\n* 当三角形中出现一边的中点时，是否可以考虑用向量方法求解；当求解两个向量的和向量的取值范围时，是否可以考虑用三角形的中点，转化为求中线向量的取值范围；\n\n## 典例剖析\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171016192742506-1506891211.png\")
\n\n分析：设点$P(x，y)$，由点$F_1(-c，0)$和点$F_2(c，0)$，得到$\\overrightarrow{OP}=(x，y)$，$\\overrightarrow{OF_2}=(c，0)$，\n\n$\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{OF_2}=(c+x，y)$，$\\overrightarrow{PF_1}=(-c-x，-y)$，$\\overrightarrow{PF_2}=(c-x，-y)$，\n\n由$(\\overrightarrow{OP}+\\overrightarrow{OF_2})\\cdot \\overrightarrow{PF_2}=0$得到，\n\n$(c-x)(c+x)-y^2=0$，即$c^2=x^2+y^2$，\n\n即点$P$在以坐标原点为圆心，以$c$为半径的圆上；\n\n也在以$F_1F_2$为直径的圆上，故$\\angle F_1PF_2=90^{\\circ}$初中数学：直径所对的圆周角为直角 。\n\n故有$\\overrightarrow{PF_1}\\cdot \\overrightarrow{PF_2}=0$，\n\n这样$3|\\overrightarrow{PF_1}|=4|\\overrightarrow{PF_2}|$得到，\n\n可设$|PF_1|=4k(k>0)$，$|PF_2|=3k$，故$|F_1F_2|=5k$，即$2c=5k$，\n\n又由双曲线的定义知道，$|PF_1|-|PF_2|=2a=k$ ，\n\n则离心率$e=\\cfrac{2c}{2a}=\\cfrac{5k}{k}=5$。\n\n【点评】①用向量的左边引入数学运算，从而能得到点 $P$ 的轨迹，这样就能得出直角三角形。②由直角三角形结合已知条件能得到 $2c$，用定义式能得到 $2a$，从而离心率可解。\n\n$A.[\\sqrt{5}，2\\sqrt{5}]$ $B.[\\sqrt{5}，2\\sqrt{10})$ $C.(\\sqrt{5}，\\sqrt{10})$ $D.[\\sqrt{5}，2\\sqrt{10}]$
\n\n解：$\\overrightarrow{OC}=m\\overrightarrow{OA}-n\\overrightarrow{OB}=m(3，1)-n(-1，3)=(3m，m)-(-n，3n)=(3m+n，m-3n)$，\n\n故$|\\overrightarrow{OC}|=\\sqrt{(3m+n)^2+(m-3n)^2}=\\sqrt{10m^2+10n^2}=\\sqrt{10}\\sqrt{m^2+n^2}$\n\n【预备知识】已知$m>0$，$n>0$ ，$m+n\\in [1，2]$，求$m^2+n^2$的取值范围。\n\n分析：将上述给定的数的条件转化为形的条件，则$m^2+n^2$可以看成半径为$r$的动圆上位于第一象限内的一点，$1\\leq m+n\\leq 2$可以看成两条平行线$m+n=1$和$m+n=2$之间的平面区域内且位于第一象限的的任意一点，\n\n \n\n故$m^2+n^2$的取值范围：最小值可以看成圆心$(0，0)$到直线$m+n=1$的距离的平方，最大值可以看成圆心$(0，0)$到点$(0，2)$或$(2，0)$的距离的平方(取不到)，\n\n则可知$d_1=\\cfrac{1}{\\sqrt{2}}$，$d_2=2$，故$d_1^2=\\cfrac{1}{2}$，$d_2^2=4$，即$m^2+n^2\\in [\\cfrac{1}{2}，4]$；\n\n接上可知，$|\\overrightarrow{OC}|=\\sqrt{10}\\sqrt{m^2+n^2}\\in [\\sqrt{5}，2\\sqrt{10})$，故选$B$。\n\n$A.3$ $B.2\\sqrt{2}$ $C.\\sqrt{5}$ $D.2$
\n\n分析：以点$A$为坐标原点，分别以$AD$，$AB$所在的直线为$x$轴和$y$轴建立如图所示的平面直角坐标系，则$A(0，0)$，$B(0，1)$，$C(2，1)$，$D(2，0)$；\n\n又由于$AB=1$，$AD=2$，动点$P$在以$C$为圆心且与$BD$相切的圆上，则$BD=\\sqrt{5}$，由等面积法可知圆的半径为$r=\\cfrac{2}{\\sqrt{5}}$，这样圆上的动点的坐标可设为$P(2+\\cfrac{2}{\\sqrt{5}}cos\\theta，1+\\cfrac{1}{\\sqrt{5}}cos\\theta)$，\n\n \n\n由于$\\overrightarrow{AP}=\\lambda \\overrightarrow{AB}+\\mu \\overrightarrow{AD}=\\lambda(0，1)+\\mu(2，0)=(2\\mu，\\lambda)$，\n\n又由于$\\overrightarrow{AP}=(2+\\cfrac{2}{\\sqrt{5}}cos\\theta，1+\\cfrac{2}{\\sqrt{5}}sin\\theta)$，则有\n\n$2\\mu=2+\\cfrac{2}{\\sqrt{5}}cos\\theta$，$\\lambda=1+\\cfrac{2}{\\sqrt{5}}sin\\theta$，\n\n化简为$\\mu=1+\\cfrac{1}{\\sqrt{5}}cos\\theta$，$\\lambda=1+\\cfrac{2}{\\sqrt{5}}sin\\theta$，\n\n则$\\lambda+\\mu=1+\\cfrac{1}{\\sqrt{5}}cos\\theta+1+\\cfrac{2}{\\sqrt{5}}sin\\theta=2+\\cfrac{1}{\\sqrt{5}}cos\\theta+\\cfrac{2}{\\sqrt{5}}sin\\theta=2+sin(\\theta+\\phi)$，\n\n由于$-1\\leq sin(\\theta+\\phi)\\leq 1$，故$2-1\\leq 2+sin(\\theta+\\phi)\\leq 2+1$，即$\\lambda+\\mu\\in [1，3]$，\n\n故所求的最大值为3，故选$A$。\n\n解后反思：培养主动使用向量这一数学工具的数学应用意识很关键。\n\n$A.\\cfrac{1}{2}$ $B.-\\cfrac{1}{2}$ $C.\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}$ $D.-\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}$
\n\n分析：由题可知，$(\\vec{a}-2\\vec{b})\\cdot (3\\vec{a}+\\vec{b})=0$，化简得到，$3\\vec{a}^2-5\\vec{a}\\cdot \\vec{b}-2\\vec{b}^2=0$①，\n\n由$|\\vec{a}|=\\cfrac{1}{2}|\\vec{b}|$，可设$|\\vec{a}|=t(t>0)$，则$|\\vec{b}|=2t$，代入①式，\n\n得到$-10t^2cos\\theta+5t^2=0$，得到$cos\\theta=\\cfrac{1}{2}$，则$sin\\theta=\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}$，故选$C$.\n\n$A.-\\cfrac{1}{e^2}$ $B.-\\cfrac{1}{e}$ $C.\\cfrac{1}{e^2}$ $D.\\cfrac{1}{e}$
\n\n分析：先做出分段函数$f(x)$的大致草图如下，\n\n \n\n由于分段函数的图像关于$x=a$对称，点$P(a，0)$在对称轴上，故由$\\overrightarrow{PA}\\cdot \\overrightarrow{PB}$的最小值为$0$，\n\n结合图像可知两个向量的夹角为锐角或直角，不可能为钝角，否则最小值为负值，\n\n又由于图像是对称的，从点$P$出发的两条射线都和曲线相切时向量的夹角才会最大，\n\n故说明向量的夹角为$90^{\\circ}$，且可知两条切线的斜率为$k=\\pm 1$，且可知$\\angle APO=45^{\\circ}$，\n\n那么怎么说明两个切点就是图中的$A$，$B$两个点呢？\n\n设切点$A(x_0，y_0)$，则$-e^{-x_0}=-1$，则$x_0=0$，$y_0=1$，故点$A(0，1)$，从而可知$a=1$，\n\n由对称性也可知，$B(2，1)$，到此完全说明$A(0，1)$，$B(2，1)$为两个切点。\n\n故$f(x)_{min}=f(a)=f(1)=\\cfrac{1}{e}$，故选$D$。\n\n$A.4$ $B.6$ $C.4\\sqrt{3}$ $D.6\\sqrt{3}$
\n\n分析：如图所示，$|OB|=2$，$|BD|=\\cfrac{1}{2}|AB|=\\sqrt{3}$，故$\\angle BOD=60^{\\circ}$，\n\n\n\n则$\\angle PBO=30^{\\circ}$，则两向量$\\overrightarrow{PA}$与$\\overrightarrow{PB}$的夹角为$\\angle APB=60^{\\circ}$，\n\n又由于$Rt\\triangle BOP$，则$|\\overrightarrow{PB}|=2\\sqrt{3}$，则有$\\overrightarrow{PA}\\cdot \\overrightarrow{PB}=2\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{3}\\times cos60^{\\circ}=6$，故选$B$.\n\n$A.若\\theta确定，则|\\vec{a}|唯一确定$
$B.若\\theta确定，则|\\vec{b}|唯一确定$
$C.若|\\vec{a}|确定，则\\theta唯一确定$
$D.若|\\vec{b}|确定，则\\theta唯一确定$
$A.\\sqrt{7}$ $B.\\cfrac{5}{2}+\\sqrt{7}$ $C.\\cfrac{7}{2}$ $D.3+\\cfrac{3\\sqrt{3}}{2}$
\n\n\n\n法1：如图所示，设$\\angle OBC=\\theta$，则$\\theta\\in [0，\\cfrac{\\pi}{2}]$，则点$B(2cos\\theta，0)$，$C(0，2sin\\theta)$，\n\n则点$A(2cos(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)，2sin(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)+2sin\\theta)$，点$M(cos\\theta+cos(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)，sin(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)+sin\\theta)$\n\n故$\\overrightarrow{OA}\\cdot \\overrightarrow{OM}=(2cos(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)，2sin(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)+2sin\\theta)\\cdot (cos\\theta+cos(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)，sin(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)+sin\\theta)$\n\n$=2cos(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)\\cdot [cos\\theta+cos(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)]+[2sin(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)+2sin\\theta]\\cdot [sin(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)+sin\\theta]$\n\n$=2cos(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)\\cdot cos\\theta+2cos^2(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)+2sin^2(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)+4sin(\\cfrac{\\pi}{3}-\\theta)\\cdot sin\\theta+2sin^2\\theta$\n\n$=2(\\cfrac{1}{2}cos\\theta+\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}sin\\theta)cos\\theta+2+4(\\cfrac{\\sqrt{3}}{2}cos\\theta-\\cfrac{1}{2}sin\\theta)\\cdot sin\\theta+2sin^2\\theta$\n\n$=cos^2\\theta+\\sqrt{3}sin\\theta cos\\theta+2+2\\sqrt{3}sin\\theta cos\\theta-2sin^2\\theta+2sin^2\\theta$\n\n$=3\\sqrt{3}sin\\theta cos\\theta+cos^2\\theta+2$\n\n$=\\cfrac{3\\sqrt{3}}{2}sin2\\theta+\\cfrac{1}{2}cos2\\theta+\\cfrac{5}{2}$\n\n$=\\sqrt{7}sin(2\\theta+\\phi)+\\cfrac{5}{2}$\n\n当$sin(2\\theta+\\phi)=1$时， $\\overrightarrow{OA}\\cdot \\overrightarrow{OM}$最大值为$\\cfrac{5}{2}+\\sqrt{7}$，故选$B$.\n\n法2：题源，另一种解法\n\n\n$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$
\n\n法1： 从数的角度求解，由于点$A$，$B$，$C$不共线，则三点可以构成一个三角形$\\triangle ABC$，\n\n由向量加法可知，$\\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{AC}-\\overrightarrow{AB}$，则|$\\overrightarrow{AB}$+$\\overrightarrow{AC}$|>|$\\overrightarrow{BC}$|\n\n等价于|$\\overrightarrow{AB}$+$\\overrightarrow{AC}$|>|$\\overrightarrow{AC}$-$\\overrightarrow{AB}$|，两边平方，变形得到，\n\n$4|\\overrightarrow{AB}|\\cdot |\\overrightarrow{AC}|\\cdot \\cos\\theta>0$，故$\\cos\\theta>0$，即$\\theta$为锐角；\n\n反之，当两个向量的夹角为锐角时，上述过程逆推成立，故选$C$;\n\n法2：从形的角度求解；做一个向量三角形，让$\\theta$变化，从动态图中就可以看出来；选$C$;\n\n\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171015123405762-485820555.png\")
\n\n由$|\\vec{c}-(\\vec{a}+\\vec{b})|=|\\vec{a}-\\vec{b}|$得到，\n\n$|(x，y)-(1，1)|=|(1，-1)|$，即$\\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$，\n\n即$(x-1)^2+(y-1)^2=2$，\n\n故$\\vec{c}$的终点坐标对应的轨迹为圆心为$(1，1)$，半径为$\\sqrt{2}$的圆，\n\n又由于圆过圆心，则$|\\vec{c}|$的最大值为圆的直径$2\\sqrt{2}$。\n\n$A.\\sqrt{2}-1$ $B.\\sqrt{2}$ $C.\\sqrt{2}+1$ $D.\\sqrt{2}+2$
\n\n法1：从形入手，条件 $|\\vec{c}-(\\vec{a}+\\vec{b})|$ $=$ $1$ 可以理解为如图的情况，而 $|\\vec{a}+\\vec{b}|$ $=$ $\\sqrt{2}$，向量 $\\vec{c}$ 的终点在单位圆上，故向量 $|\\vec{c}|$ 的最大值为 $\\sqrt{2}+1$，故选C。\n\n法2：从数的角度，由题意得到$|\\vec{a}|=|\\vec{b}|=1，\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=0$，\n\n所以$|\\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{2}$，又因为$|\\vec{c}-\\vec{a}-\\vec{b}|=1$，\n\n所以$|\\vec{c}-\\vec{a}-\\vec{b}|^2=\\vec{c}^2-2\\vec{c}\\cdot(\\vec{a}+\\vec{b})+(\\vec{a}+\\vec{b})^2=1$，\n\n![](\"http://images2017.cnblogs.com/blog/992978/201710/992978-20171017211840021-1806668430.png\")
\n\n设$\\vec{c}$与$\\vec{a}+\\vec{b}$的夹角为$\\theta$，\n\n则$|\\vec{c}|^2-2|\\vec{c}|\\times\\sqrt{2}cos\\theta+2=1$，\n\n即$|\\vec{c}|^2+1=2\\sqrt{2}|\\vec{c}|cos\\theta\\leq 2\\sqrt{2}|\\vec{c}|$，\n\n即$|\\vec{c}|^2-2\\sqrt{2}|\\vec{c}|+1\\leq 0$，\n\n解得$\\sqrt{2}-1\\leq |\\vec{c}|\\leq \\sqrt{2}+1$。\n\n法3：数形结合，由于$\\vec{a}，\\vec{b}$为单位向量，且$\\vec{a}\\perp \\vec{b}$，\n\n故设$\\vec{a}=(1，0)，\\vec{b}=(0，1)，\\vec{c}=(x，y)$，\n\n则$\\vec{c}-\\vec{a}-\\vec{b}=(x-1，y-1)$，由$|\\vec{c}-(\\vec{a}+\\vec{b})|=1$可得，\n\n$\\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=1$，即$(x-1)^2+(y-1)^2=1$，\n\n即向量$\\vec{c}$的终点坐标在圆心位于点$(1，1)$半径为$1$的圆上，\n\n故$|\\vec{c}|$的最大值是$\\sqrt{2}+1$，\n\n当然也可以知道$|\\vec{c}|$的最小值是$\\sqrt{2}-1$。\n\n## 针对性训练\n\n$A.(-\\infty, 1]$ $B.(-\\infty, 2]$ $C.[2,6]$ $D.[2,+\\infty)$
\n\n解析: 易知函数$f(x)$在定义域$(-\\infty，+\\infty)$ 上是增函数，因为$f(a+1)\\geqslant f(2a-1)$\n\n所以$a+1 \\geqslant 2a-1$，解得$a \\leqslant 2$，故实数$a$的取值范围是$(-\\infty, 2]$，故选$B$。\n\n* 2、题目中用文字语言直接给出；\n\n如函数在区间$[a，b]$单调递增； \n\n* 3、以定义式给出；\n\n如给出函数$f(x)$在区间$D$上满足$\\forall x_1，x_2\\in D$，$x_1\n\n分析：令$x_1> x_2$，则$x_1-x_2>0$，故$f(x_1-x_2)<0$，
\n\n则有$ f(x_1) = f(x_1-x_2+x_2) = f(x_1-x_2)+f (x_2) < f( x_2) $，
\n\n故函数$f(x)$在$R$上单调递减。
\n\n* 8、以导函数的整体或部分形式给出(更难些)，\n\n比如题目给出当$x>0$时满足条件$xf'(x)-f(x)<0$，则是告诉我们需要构造新函数，同时能知道新函数的单调性；\n\n分析：构造$g(x)=\\cfrac{f(x)}{x}$，则当$x>0$时，\n\n则$g'(x)=\\cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}<0$，\n\n即新函数$g(x)$在区间$(0，+\\infty)$上单调递减。\n\n## 典例剖析\n\n
$A.a < b < c$ $B.b < a < c$ $C.c < a < b$ $D.c < b < a$
\n\n分析：注意到$a，b，c$的结构，由题目猜想：要构造的函数是$g(x)=\\cfrac{f(x)}{x}$，那么是否正确，以下做以验证。\n\n令$0$A.f(sinA) > f(cosB)$ $B.f(sinA) < f(cosB)$ $C.f(sinA) > f(sinB)$ $D.f(sinA) < f(sinB)$
\n\n分析：在钝角$\\triangle ABC$中，$sinA增长率逐渐增大型：如函数$y=m(x)$；
增长率逐渐减小型：如函数$y=n(x)$；
增长率恒定不变型：如函数$y=f(x)$；
增长率先慢后快型：如函数$y=g(x)$；
增长率先快后慢型：如函数$y=h(x)$；
$A.\\cfrac{1}{3}$ $B.-\\cfrac{1}{3}$ $C.5$ $D.8$
\n\n解析:注意，整个函数$f(x)=a\\sin x+b\\sqrt[3]{x}+4$不具有奇偶性，但是其中的组成部分$y=a\\sin x$和$y=b\\sqrt[3]{x}$却是有奇偶性的，\n\n由$f(x)=a\\sin x+b\\sqrt[3]{x}+4$，我们得到，\n\n则$f(-x)=-a\\sin x-b\\sqrt[3]{x}+4$，所以$f(x)+f(-x)=8$，\n\n由于 $f(\\lg\\cfrac{1}{3})=f(-\\lg3)$，\n\n因此$f(\\lg3)+f(-\\lg3)=8$，则$3+f(-\\lg 3)=8,$ \n\n所以$f(-\\lg3)=5$，故$f(lg\\cfrac{1}{3})=f(-\\lg3)=5$，故选$C$。\n\n* 8、以图像变换为依托给出， \n\n如$f(x-1)$的对称轴是$x=1$，则可知$f(x)$的对称轴是$y$轴，即$f(x)$是偶函数；\n\n* 9、以积函数的形式给出；[^wh03]\n\n[^wh03]:如函数$f(x)=x\\cdot ln(x+\\sqrt{a+x^2})$为偶函数，求$a$的值；\n分析：由$f(x)=x\\cdot ln(x+\\sqrt{a+x^2})$为偶函数，其中的因子函数$y=x$为奇函数，则可知另一个因子函数$g(x)=ln(x+\\sqrt{a+x^2})$为奇函数，则$g(-x)+g(x)=0$恒成立，即$ln(-x+\\sqrt{a+x^2})+ln(x+\\sqrt{a+x^2})=0$，整理得到$ln(a+x^2-x^2)=0$，解得$a=1$。\n\n* 10、以函数的变形构造给出\n\n如，题目给定 $f(x)$$+$$f(-x)$$+$$2x^2$$=$$0$ ，则可以得到 $f(x)$$+$$x^2$$=$$-f(-x)$$-$$(-x)^2$，令$h(x)$$=$$f(x)$$+$$x^2$，则 $h(x)$$=$$-h(-x)$，故 $h(x)$ 为奇函数，参阅[具体题目](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/16068389.html#tips003)；\n\n* 11、以周期性和对称性结合给出奇偶性； \n\n已知函数$f(x)$的周期是2，且满足$f(2+x)=f(-x)$，则可推知函数$f(x)$为偶函数。\n\n具体变形如下：由$f(x+2)=f(x)$和$f(2+x)=f(-x)$，得到$f(-x)=f(x)$，故函数$f(x)$为偶函数。\n\n* 12、以复合函数的形式给出； \n\n若$f(x)$为奇函数，$g(x)$为偶函数，则$f(g(x))$为偶函数，$g(f(x))$也为偶函数；奇偶复合后为偶函数；[^wh04]\n\n[^wh04]:证明如下：若$f(x)$为奇函数，$g(x)$为偶函数，\n设$H(x)=f(g(x))$，则$H(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=H(x)$；故$f(g(x))$为偶函数；\n设$G(x)=g(f(x))$，则$G(-x)=g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))=G(x)$；故$g(f(x))$为偶函数；\n\n若$f(x)$为偶函数，$g(x)$为偶函数，则$f(g(x))$为偶函数，$g(f(x))$也为偶函数；偶偶复合后为偶函数；\n\n若$f(x)$为奇函数，$g(x)$为奇函数，则$f(g(x))$为奇函数，$g(f(x))$也为奇函数；奇奇复合后为奇函数；[^wh05]\n\n[^wh05]:证明如下：若$f(x)$为奇函数，$g(x)$为奇函数，\n设$H(x)=f(g(x))$，则$H(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-H(x)$；故$f(g(x))$为奇函数；\n设$G(x)=g(f(x))$，则$G(-x)=g(f(-x))=g(-f(x))=-g(f(x))=-G(x)$；故$g(f(x))$为奇函数；\n\n* 13、以结合赋值法给出； \n\n对任意实数$m，n$都满足$f(m)+f(n-m)=f(n)$，则函数$f(x)$为奇函数令$m$$=$$n$$=0$，得到$f(0)$$+$$f(0-0)$$=$$f(0)$，则$f(0)$$=$$0$，再令$n$$=$$0$，得到$f(m)$$+$$f(-m)$$=$$f(0)$$=0$，即$f(-m)$$=$$-f(m)$，即函数$f(x)$为奇函数，；对任意实数$m，n$都满足$f(m)-f(n-m)=f(n)$，则 $f(x)$ 为偶函数；\n\n已知函数$f(x)$满足$f(1)=\\cfrac{1}{2}$，且$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，则可推知函数$f(x)$为偶函数。[^wh06]\n\n[^wh06]:具体变形如下：\n令$x=y=0$，则有$2f(0)=2f^2(0)$，得到$f(0)=0$或$f(0)=1$；\n再令$x=1，y=0$，则有$2f(1)=2f(1)f(0)$，得到$f(0)=1$；\n又题目已知$f(1)=\\cfrac{1}{2}$，得到$f(0)=1$[$f(0)=0$舍去]；\n再令$x=0$，则得到$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)$，\n所以$f(-y)=f(y)$，可知函数是偶函数。\n\n## 常用结论 \n\n1．奇偶性的几个重要结论\n\n* (0)如果函数$f(x)$为奇函数且有最值，则$f(x)_{max}+f(x)_{min}=0$或者说，闭区间上的单调函数+奇函数，则其最值之和为$0$，比如$[-1，1]$上的奇函数$f(x)$$=$$x^3$$+$$x$，则$f(x)_{max}$$+$$f(x)_{min}$$=$$0$..\n\n* (1)如果一个奇函数$f(x)$在原点处有定义，即$f(0)$有意义，那么一定有$f(0)＝0$。\n\n* (2)如果函数$f(x)$是偶函数，那么$f(x)＝f(|x|)$，在求解抽象不等式时使用频度很高。\n\n* (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即$f(x)＝0$，$x∈D$，其中定义域$D$是关于原点对称的非空数集．\n\n* (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．\n\n* (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；\n\n奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．\n\n* (6)既奇又偶的函数仅仅只有一类，$f(x)=0$，$x\\in D$，$D$是关于原点对称的定义域，可以是离散取值的，也可以是连续取值的。\n\n* (7)函数有奇偶性的前提是定义域关于原点对称，利用这一点可以求参数的值。\n\n如定义在$[a，b]$上的奇函数$f(x)$，则可知$a+b=0$，若其定义在$[2a-1，3a]$上，则有$(2a-1)+3a=0$，解得$a=\\cfrac{1}{5}$；\n\n2、二次函数$y=ax^2+bx+c(a\\neq0)$ 为偶函数的充要条件是$b=0$ ，\n\n证明：对称轴为$x=-\\cfrac{b}{2a}$，\n\n充分性：由$b=0$，得到对称轴为$x=0$，即就是$y$轴。\n\n必要性：由函数为偶函数，对称轴是$x=-\\cfrac{b}{2a}$， 得到$b=0$。\n\n由此推广得到以下结论：\n\n3、多项式函数$y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ 为奇函数的充要条件是$a=c=e=0$\n\n说明： $f(-x)+f(x)=0$恒成立，\n\n即$[a(-x)^4+b(-x)^3+c(-x)^2+d(-x)+e]+(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)$\n\n$=2ax^4+2cx^2+2e=0$，\n\n即$ax^4+cx^2+e=0$对$\\forall x\\in R$都成立，故$a=c=e=0$。\n\n比如，已知函数$f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax$为奇函数，则$a=1$；\n\n4、多项式函数$y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ 为偶函数的充要条件是$b=d=0$\n\n仿上例可说明。\n\n5、奇函数的导函数为偶函数；\n\n文科：举例说明，比如函数$f(x)=sinx$为奇函数，其导函数为$f'(x)=cosx$为偶函数；\n\n理科：逻辑证明，设函数$f(x)$为奇函数，其导函数$f'(x)$，\n\n记$f'(x)=g(x)$，由函数$f(x)$为奇函数，\n\n则有$f(-x)+f(x)=0$，对其两边求导得到，\n\n$-f'(-x)+f'(x)=0$，即$-g(-x)+g(x)=0$，\n\n即$g(-x)=g(x)$，\n\n即函数$g(x)$为偶函数；\n\n但要注意，导函数是奇函数的函数不一定是偶函数， [图像说明](https://www.desmos.com/calculator/7ii5xpstmm)\n\n6、偶函数的导函数为奇函数；\n\n文科：举例说明，比如函数$f(x)=cosx$为偶函数，其导函数为$f'(x)=-sinx$为奇函数；\n\n理科：逻辑证明，设函数$f(x)$为偶函数，其导函数为$f'(x)$，\n\n记$f'(x)=g(x)$，由函数$f(x)$为偶函数，\n\n则有$f(-x)-f(x)=0$，对其两边求导得到，\n\n$-f'(-x)-f'(x)=0$，即$-g(-x)-g(x)=0$，\n\n即$g(-x)=-g(x)$，\n\n即函数$g(x)$为奇函数；\n\n【应用举例】已知函数$f(x)=(x^2+1)(ax^2+b)$，且其导函数为$f'(x)$，已知$f'(1)=2$，求$f'(-1)$的值。\n\n法1：计算法，将$f(x)$打开再求导；\n\n法2：性质法，由于函数$f(x)$为偶函数，故$f'(x)$为奇函数，\n\n则有$f'(-1)=-f'(1)=-2$。\n\n7、若函数为奇函数，则在其关于原点对称的两点处的导函数的值相等。\n\n文科：如$f(x)=x^3$，则$f'(x)=3x^2$，故$f'(-1)=f'(1)=3$；\n\n理科：如函数$f(x)$满足$f(-x)+f(x)=0$，则给两边求导得到，\n\n$-f'(-x)+f'(x)=0$，则有$f'(x_0)-f'(-x_0)=0$\n\n引申：对称性，若函数$f(x)+f(2-x)=2$，则函数$f(x)$关于点$(1，1)$对称，\n\n且$f'(x_0)=f'(2-x_0)$，比如$f'(0)=f'(2)$；\n\n8、若函数为偶函数，则在其关于原点对称的两点处的导函数的值互为相反数。\n\n文科：如$f(x)=x^2$，则$f'(x)=2x$，故$f'(-1)=-2，f'(1)=2$；\n\n理科：如函数$f(x)$满足$f(-x)-f(x)=0$，则给两边求导得到，\n\n$-f'(-x)-f'(x)=0$，则有$f'(x_0)+f'(-x_0)=0$\n\n引申：对称性，若函数$f(x)=f(2-x)$，则函数$f(x)$关于直线$x=1$对称，\n\n且$f'(x_0)=-f'(2-x_0)$，比如$f'(0)=-f'(2)$；\n\n9、定义为对称区间上的任何函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。\n\n证明：若$f(x)$为定义在$(-m，m)$上的任意函数，\n\n可设$g(x)=\\cfrac{f(x)+f(-x)}{2}$，$h(x)=\\cfrac{f(x)-f(-x)}{2}$，\n\n容易验证$g(-x)=g(x)$，$h(-x)=-h(x)$，\n\n所以$g(x)$为偶函数，$h(x)$为奇函数，\n\n而$\\cfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\\cfrac{f(x)-f(-x)}{2}=f(x)=g(x)+h(x)$，\n\n故命题得证，即定义为对称区间上的任何函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。\n\n[反思提升]：此证明过程同时还给出了这个奇函数和偶函数的构造过程，\n\n比如，已知任意函数$f(x)=e^x$，\n\n则奇函数为$h(x)=\\cfrac{f(x)-f(-x)}{2}=\\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}$，\n\n则偶函数为$g(x)=\\cfrac{f(x)+f(-x)}{2}=\\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}$。\n\n$A.e^x-e^{-x}$ $B.\\cfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ $C.\\cfrac{1}{2}(e^{-x}-e^x)$ $D.\\cfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})$
\n\n分析：由于$f(-x)=f(x)$，$g(-x)=-g(x)$，\n\n又由于$f(x)+g(x)=e^x$①，则$f(-x)+g(-x)=e^{-x}$，即$f(x)-g(x)=e^{-x}$②，\n\n联立①②解方程，可得$g(x)=\\cfrac{1}{2}(e^x-e^{-x})$，故选$D$。",
"BlogId": 294450,
"Description": "函数的奇偶性的如何理解，给出方式，常用结论等。",
"DateUpdated": "2026-03-27T16:19:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-10-15T21:24:38.367",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的奇偶性习题；函数的奇偶性周期性习题； 常用给出 1、直接给出； 如函数\\(f(x)\\)在某区间\\(D\\)上是奇函数。 2、以定义式给出； 如\\(\\forall x \\in D，f(-x)=- f(x)\\)，则它是奇函数。 \\(\\for",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 7674322,
"Title": "说透函数的周期性",
"DateAdded": "2018-10-05T12:50:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前情概要\n\n当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读[函数的奇偶性周期性习题](https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7631819.html)；\n\n## 周期概念\n\n(1). 周期函数：对于函数 $y＝f(x)$，如果存在一个非零常数 $T$，使得当 $x$ 取定义域内的任何值时，都有 $f(x+T)$$=$$f(x)$，那么[^wh+005]就称函数 $y＝f(x)$ 为周期函数，称 $T$ 为这个函数的周期。 \n\n比如，函数 $y=f(x)=\\sin x$，由于 $x\\in R$，则 $x+4\\pi\\in R$，且对任意 $x$ 都满足 $\\sin(x+4\\pi)=\\sin x$，故 函数 $y$$=$$f(x)$$=$$\\sin$$x$是周期函数，$4\\pi$ 为它的一个周期。\n\n\n[^wh+005]:如果$\\cdots$，那么$\\cdots$句式，说明不是所有的函数都满足$f(x+T)=f(x)$，即有些函数不是周期函数，比如指数函数 $f(x)=2^x$。\n\n(2). 最小正周期：如果在周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 $f(x)$ 的最小正周期。\n\n理解概念中的关键词，知道有些函数如 $f(x)$$=$$2^x$ 不是周期函数，有些函数仅有正周期如 $f(x)$$=$$sinx$，$x\\in[0，+\\infty)$ 或者仅有负周期；\n\n常函数 $f(x)$$=$$c$($c$为常数) 没有最小正周期，如 $f(x)=c$ ，则 $f(x+T)$$=$$c$ ，此时的 $T$ 没有最小的正数。 \n\n函数的周期性从数上理解，是说函数的自变量 $x$ 增加 $T$ 后，函数值重复出现；从形上理解，是说函数的图象左右平移 $T$ 后，函数的图象和原图象重合。\n\n## 常见给出方式\n\n* 以图像的形式给出；解读图像，从图像中我们就可以找出周期$T$，如下图周期 $T=2\\pi$ .\n\n \n\n* 以周期的定义式给出； \n\n 常见定义式：$f(x+4)=f(x)\\Longrightarrow T=4$，注意 $f(x-4)=f(x)①$ 与 $f(x+4)=f(x)②$ 是等价的，用 $x+4$ 替换 ① 中的 $x$，整理即为 ② ； \n\n 定义式的常见变形：$f(x+2)=f(x-2)$或者$f(x+3)=f(x-1) \\Longrightarrow T=4$\n\n 函数 $f(x+1)$ 是周期为 $2$ 的周期函数，故 $f(x)$ 也是周期为 $2$ 的周期函数，又或函数 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的周期函数，则 $f(x+1)$ 也是周期为 $2$ 的周期函数，\n\n* 以周期性的结论给出(不妨设$a>0$)； \n\n结论1：$f(x+a)=-f(x)$或者变形 $f(x+a)+f(x)=0\\Longrightarrow T=2a$；推导：[^wh01]\n\n[^wh01]:【常见结论1推导过程】：\n由题目可知，$f(x+a)=-f(x)$，则$f(x+2a)=f[(x+a)+a]$\n$\\xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)\\xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-[-f(x)]=f(x)$\n从而，$\\Longrightarrow T=2a$。\n\n引申1：$f(x+a)=b-f(x)$或者变形$f(x+a)+f(x)=b\\Longrightarrow T=2a$；推导：[^wh02]\n\n[^wh02]:【常见结论1的引申推导】：\n$f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-[b-f(x)]=f(x)\\Longrightarrow T=2a$\n具体例子，$f(x)+f(x+4)=16$，周期$T=8$。\n\n结论2：$f(x+a)=\\cfrac{k}{f(x)}(k\\neq 0)$或者变形$f(x+a)\\cdot f(x)=k \\Longrightarrow T=2a$；推导：[^wh03]\n\n[^wh03]:【常见结论2推导过程】：\n$f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\\cfrac{k}{f(x+a)}=\\cfrac{k}{\\cfrac{k}{f(x)}}= f(x)$，从而 $\\Longrightarrow T=2a$\n常见的应用如 $k=1$ 或 $-1$，如 $f(x+a)$$=$$\\cfrac{1}{f(x)}$，则可知 $T=2a$.\n又或者再添加个赋值法考查，比如已知 $f(x+1)=\\cfrac{1}{f(x-1)}$，也即告诉你 $T=4$，说明如下：\n赋值或换元，令 $x+1$ 替换 $x$，得到 $f(x+2)=\\cfrac{1}{f(x)}$，即 $T=4$ .\n\n* 以三个连续自变量的形式给出，有点类似 反斐波那契数列 [^wh076]\n\n给出表达式：$f(x+2)$$=$$f(x+1)$$-$$f(x)\\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\\Longrightarrow T=6$；推导：[^wh04]\n\n[^wh04]:【三个连续自变量的形式推导过程】\n由已知$f(x+2)=f(x+1)-f(x)①$，\n用$x-1$代换$x$，得到由此得到$f(x+1)=f(x)-f(x-1)②$，\n①②两式相加得到$f(x+2)=-f(x-1)$，\n即$f(x+3)=-f(x)$，故周期为$T=6$，\n\n[^wh076]: 斐波那契数列的定义表达式为$a_1=1$，$a_2=1$，且满足 $a_{n+1}$ $=$ $a_n$ $+$ $a_{n-1}$，$n$ $\\geqslant$ $2$；\n而此处的表达式对应的数列表达式为 $a_{n+2}$ $=$ $a_{n+1}$ $-$ $a_{n}$，即其表达式不符合斐波那契数列要求.\n\n* 以奇偶性和对称性结合形式给出周期性；\n\n引例，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(2-x)=f(x)$，则可知函数的周期$T=4$；推导：[^wh05]\n\n[^wh05]:分析：则由$\\begin{align*} f(2-x)&=f(x)\\\\- f(-x)&= f(x)\\end{align*}\\Bigg\\}$\n$\\Longrightarrow f(2-x)=-f(-x)\\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\\Longrightarrow$周期$T=4$\n\n* 以轴对称和中心对称结合形式给出周期性；\n\n引例，已知函数$f(x)$的图像关于点$(3,0)$对称，且满足$f(2-x)=f(x)$，则可知函数的周期$T=8$；推导：[^wh06]\n\n[^wh06]:分析：由函数$f(x)$的图像关于点$(3,0)$对称，即有$f(x)+f(6-x)=0$，\n则由$\\begin{align*} f(x)&=f(2-x)\\\\ f(x)&=-f(6-x)\\end{align*}\\Bigg\\}$$\\Longrightarrow f(2-x)=-f(6-x)$\n$\\Longrightarrow f(2-x)=-f[4+(2-x)]\\Longrightarrow f(x)=-f(4+x)\\Longrightarrow$周期$T=8$\n\n* 以和为定值的方式给出；\n\n引例，函数$f(x)$ 满足 $f(x)+f(x+1)+f(x+2)$为定值 $a$其实就是上述 $f(x)+f(x+a)=b$，两项和为定值向三项和为定值的拓展，则函数$f(x)$ 为周期函数；[^wh16]\n\n[^wh16]:分析：由于$f(x)+f(x+1)+f(x+2)$为定值 $a$，则$f(x)+f(x+1)+f(x+2)=a$，\n$f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=a$，即$f(x)+f(x+1)+f(x+2)=f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)$，\n故$f(x+3)=f(x)$，故函数的周期$T=3$；\n\n\n* 以积为定值的方式给出；\n\n引例，已知非零函数 $f(x)$ 满足 $f(x)\\cdot f(x+1)\\cdot f(x+2)$ 为定值 $k$，则函数 $f(x)$ 为周期函数；[^wh17]\n\n[^wh17]:分析：由于$f(x)\\cdot f(x+1)\\cdot f(x+2)=k$，依托赋值法令 $x\\rightarrow x+1$ 可以得到，\n则$f(x+1)\\cdot f(x+2)\\cdot f(x+3)=k$，即$f(x)\\cdot f(x+1)\\cdot f(x+2)=f(x+1)\\cdot f(x+2)\\cdot f(x+3)$，\n两边同除以 $f(x+1)\\cdot f(x+2)$，得到 $f(x+3)=f(x)$，故函数的周期 $T=3$ .\n\n## 其他给出方式\n\n* 分段函数的部分周期性\n\n如已知$f(x)$的定义域为$R$，且$f(x)=\\begin{cases}2^{-x}-1，&x\\leq 0 \\\\f(x-1)，&x>0\\end{cases}$，\n\n则函数在$x<0$上没有周期性，但是在$x>0$上有周期性，周期是$T=1$，\n\n \n\n* 以赋值法的模式给出\n\n比如表达式：$f(x+6)=f(x)+f(3)$，且$f(x)$为偶函数，$\\Longrightarrow T=6$(赋值法)；[^wh07]\n\n[^wh07]:提示：用到赋值法，令$x=-3$，则有$f(-3+6)=f(-3)+f(3)$，再由奇偶性推出$f(3)=0$，从而$f(x+6)=f(x)$，故$T=6$。\n同理，$f(x+4)=f(x)+f(2)$可以推出周期$T=4$。\n引申：$f(x+6)=f(x)+k\\cdot f(3)(k\\in N^*)$，且 $f(x)$ 为偶函数，$\\Longrightarrow T=6$(赋值法)\n推理：令$x=-3$，则有$f(-3+6)=f(-3)+k\\cdot f(3)$，即$f(3)=f(-3)+k\\cdot f(3)$，再由奇偶性可得 $f(3)=f(3)+k\\cdot f(3)$， 推出 $f(3)=0$ ，从而$f(x+6)=f(x)$，故$T=6$。\n\n拓展引申：仿上同理说明， $f(x+6)=f(x)+k\\cdot f(3)$，且$f(x)$为偶函数，$\\Longrightarrow T=6$ (赋值法)；\n\n* 以赋值法[更难]的模式给出\n\n引例：已知函数$f(x)$满足$f(1)=\\cfrac{1}{2}$，且$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，求$f(0)+f(1)+$ $f(2)+$ $\\cdots+$ $f(2016)$的值。[^wh08]\n\n[^wh08]:分析：令$x=y=0$，则有$2f(0)=2f^2(0)$，得到$f(0)=0或f(0)=1$；\n再令$x=1，y=0$，则有$2f(1)=2f(1)f(0)$，得到$f(0)=1$；\n又题目已知$f(1)=\\cfrac{1}{2}$，令$y=1$，则有$f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=f(x)$，\n即就是$f(x+1)+f(x-1)=f(x)①$，由此得到$f(x+2)+f(x)=f(x+1)②$，\n①②两式相加得到$f(x+2)=-f(x-1)$，即$f(x+3)=-f(x)$，故周期为$T=6$，\n\n* 以综合表达式的形式给出；\n\n比如给出$f(x+2)=\\cfrac{1}{2}f(x)$，意味着周期性和伸缩性同时起作用。\n\n* 以新定义和函数的迭代形式给出：\n\n$A.0$ $B.2$ $C.4$ $D.5$
\n\n解：用 $x+1$ 替换 $f(x+1)$$=$$\\cfrac{1}{f(x-1)}$ 中的 $x$，整理得到\n\n$f(x+2)$$=$$\\cfrac{1}{f(x)}$，故 $f(x)$ 的周期 $T=4$，故 $f(2022)=f(4\\times505+2)=f(2)$，\n\n再令 $x=1$，代入 $f(2-x)$$=$$f(x+1)$，得到 $f(2)=f(1)$，\n\n又由于 $x\\in [\\cfrac{1}{2},1]$ 时，$f(x)=6x-2$，则 $f(1)=6\\times 1-2=4$，\n\n故 $f(2022)=f(2)=f(1)=4$，故选 $C$ .\n\n\n\n## 数列周期\n\n* 由于数列是特殊的函数，故数列的周期推导过程其实也与函数的周期推导是一致的。\n\n比如数列$\\{a_n\\}$满足关系：$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$，则可以推出数列的周期$T=6$；\n\n解释：$f(n+2)=f(n+1)-f(n)\\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\\Longrightarrow T=6$\n\n## 另类应用既然图像的左右平移可能会体现周期性，那么当我们需要函数图像左右平移时，自然也可以使用周期性来刻画，从而实现形向数的转化。\n\n比如，写出一个图象关于直线 $x＝2$ 对称且在 $[0, 2]$ 上单调递增的偶函数$f(x)$＝___________．\n\n详析： 由 $[0, 2]$ 上单调递增，借助几何直观，我们会想到做一条线段，最简单的如 $y=x$ ，又由于图象关于直线 $x＝2$ 对称，故在 $[2, 4]$ 上做线段 $y=4-x$，又由于是偶函数，则将 $[0, 4]$ 上的图像关于 $y$ 轴对称到 $[-4, 0]$ 上，即得到了满足题意的[函数图像](https://img2022.cnblogs.com/blog/992978/202204/992978-20220403083554232-943058110.png)的大致图样，但问题随之来了，怎么用解析式来刻画这个函数呢，硬着头皮上，将我们刚才想到的图像数字化，比如$[0, 4]$ 上可以用两个分段函数组合，比如 $y=x,x\\in [0,2]$ 和 $y=4-x,x\\in(2,4]$，其中$[-4,0)$上利用对称求得解析式即可，最后用四段的分段函数表达即可，但我们感觉拉跨，此时可以观察 $[0, 4]$ 上的图像是 绝对值函数 $y=|x|$ 倒扣加上平移得到的，故想到 $x\\in[0,4]$ 时，$y=2-|x-2|$，那么 $x\\in[-4,0)$ 上可以利用 $y=f(-x)$ 来表达，但问题又来了，函数不满足对称性，因为是定义在$[-4,4]$上的，并不关于$y=2$对称，我们需要将基本图像($[0，4]$这一段上的图像)向左右按周期的整数倍无限延伸才行，故采用周期的表达即可，\n\n故得到满足题意的函数为 $f(x)=\\left\\{\\begin{array}{l}2-|x-2|，&x\\in[0,4]\\\\f(x-4)，&x>4\\\\f(x+4)，&x<-4\\end{array}\\right.$ \n\n## 周期补遗\n\n>* ~~以下的给出方式，极其少见，仅仅作整理之用，不需要太过理会，这话需要更新。~~ 20250513更新，在现行教材的变化下，题目难度有所增加，我们还是需要注意以下的变换。\n\n补遗:one:：已知$f(x+a)=\\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则周期为$T=2a$；\n \n[推导过程]：由于$f(x+a)=\\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}$，\n\n故$f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\\cfrac{1-f(x+a)}{1+f(x+a)}=\\cfrac{1-\\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}}{1+\\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}}$\n\n$=\\cfrac{[1-\\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}][1+f(x)]}{[1+\\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}][1+f(x)]}=f(x)$，故$T=2a$；\n\n补遗:two:：已知$f(x+a)=\\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则周期为$T=4a$；[其实若能赋值验证，比下面的推导更简单]\n\n[推导过程]：由于 $f(x+a)=\\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}$，\n\n故$f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\\cfrac{1+f(x+a)}{1-f(x+a)}=\\cfrac{1+\\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}}$\n\n$=\\cfrac{[1+\\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}][1-f(x)]}{[1-\\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}][1-f(x)]}=\\cfrac{2}{-2f(x)}=-\\cfrac{1}{f(x)}$，\n\n故 $f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-\\cfrac{1}{f(x+2a)}=-\\cfrac{1}{-\\cfrac{1}{f(x)}}=f(x)$，故$T=4a$；\n\n\n\n补遗:three:：已知$f(x+a)$$=$$-\\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}$$=$$\\cfrac{f(x)-1}{f(x)+1}$，则周期为$T=4a$；\n\n[推导过程]：由于 $f(x+a)$$=$$\\cfrac{f(x)-1}{f(x)+1}$，\n\n则 $f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\\cfrac{f(x+a)-1}{f(x+a)+1}=\\cfrac{\\cfrac{f(x)-1}{f(x)+1}-1}{\\cfrac{f(x)-1}{f(x)+1}+1}$$=$$\\cfrac{-2}{2f(x)}$$=$$\\cfrac{-1}{f(x)}$，\n\n故 $f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-\\cfrac{1}{f(x+2a)}=-\\cfrac{1}{-\\cfrac{1}{f(x)}}=f(x)$，故$T=4a$；\n\n引申探究：已知 $a_{n+1}$$=$$\\cfrac{a_n-1}{a_n+1}$，则 $T=4$ .\n\n提示：上式即可看成 $f(n+1)=\\cfrac{f(n)-1}{f(n)+1}$，仿上可以证明 $T=4$ .",
"BlogId": 294450,
"Description": "收集整理函数的周期性的形的刻画和数的表达等。",
"DateUpdated": "2026-04-03T09:19:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": "periodicity-of-function",
"CreatedTime": "2017-10-15T21:26:08.097",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前情概要 当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的奇偶性周期性习题； 周期概念 (1). 周期函数：对于函数 \\(y＝f(x)\\)，如果存在一个非零常数 \\(T\\)，使得当 \\(x\\) 取定义域内的任何值时，都有 \\(f(x+T)\\)\\(=\\)\\(f(x)\\)，那么[1]就称函数",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 7687121,
"Title": "指数函数习题",
"DateAdded": "2017-10-18T15:55:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n* 指数函数的图像\n\n \n\n## 引出过程\n\n* 加法，减法；一级运算；乘除二级运算；乘方开方三级运算；\n\n* 乘方引出幂值，幂值引出方根，再引出根式，\n\n* 分数指数幂，整数指数幂+分数指数幂$\\Rightarrow$有理数指数幂，\n\n* 无理数指数幂$\\Rightarrow$实数指数幂\n\n* 引出$y=a^x$，$x\\in R$，为保证总有意义，限制$a>0，a\\neq 1$，指数函数。\n\n## 相关延申\n\n* 指数函数$f(x)=a^x$，其抽象函数为$f(x)\\cdot f(y)=f(x＋y)$；$\\cfrac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$； \n\n## 典例剖析\n\n$A.\\cfrac{\\sqrt{2}}{2}$ $B.\\sqrt{2}$ $C.\\cfrac{1}{2}$ $D.2$
\n\n分析：分类讨论如下，\n\n当$a>1$时，满足$a^4-a^2=2$，逐项验证，$a=\\sqrt{2}$满足；\n\n当$0$4^x=(2^2)^x=(2^x)^2$；
$9^{x-1}=(3^2)^{x-1}=(3^{x-1})^2$；
$2^x+2^x=2^{x+1}$；
$2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}$；
$2^{x+1}-2^x=2^x\\cdot 2-2^x=2^x$；
$2^{x+1}+2^x=3\\cdot 2^x$；
$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$
$2^n+2^n=2^{n+1};$
$2^{n+1}-2^n=2^n;$
$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$；
$2^{n+1}+2^n=3\\cdot 2^n$；
$2^{-(n+1)}\\cdot 2=2^{-n}$；
$2^n\\cdot 2^n=2^{2n}$；
$3^{n-1}-3^n=-2\\cdot 3^{n-1}$；
$2^{n+1}÷2^n=2;$
$\\cfrac{1}{2^n}+\\cfrac{1}{2^{n+1}}=\\cfrac{3}{2^{n+1}}$；
$3^{n-1}\\cdot 3^n=3^{2n-1}$；
$2^{n+1}\\cdot 2^n=2^{2n+1};$
$x^{\\cfrac{1}{2}}+x^{-\\cfrac{1}{2}}=\\sqrt{5}$；
$x^{\\cfrac{3}{2}}+x^{-\\cfrac{3}{2}}=2\\sqrt{5}$；
$x^2+x^{-2}=7$；
$A.2$ $B.4$ $C.\\cfrac{10}{3}$ $D.3$
\n\n解析：由指数式 $3^{\\cfrac{3}{a}}=2$，可得到对数式 $\\log_3^\\;2=\\cfrac{3}{a}$，\n\n两边同时取倒数， 得到 $\\cfrac{1}{\\log_3^\\;2}=\\cfrac{a}{3}$，即 $log_2^\\;3=\\cfrac{a}{3}$，\n\n故 $2^{\\cfrac{a}{3}}+2^{-\\cfrac{a}{3}}=2^{\\log_2^\\;3}+2^{-\\log_2^\\;3}=3+\\cfrac{1}{3}=\\cfrac{10}{3}$，故选 $C$.\n\n\n\n求解$log_3(log_3t)\\ge 0=log_31$得到$t\\ge 3②$；
\n\n求解$log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31$得到$3
$A.0$ $B.1$ $C.\\cfrac{1}{2}$ $D.2$
\n\n\n\n分析：由题目可知，$M(\\cfrac{1}{3},\\cfrac{2}{3})$，$N(\\cfrac{2}{3},\\cfrac{1}{3})$，将其分别代入函数$y＝x^a$，$y＝x^b$\n\n得到$\\cfrac{2}{3}=(\\cfrac{1}{3})^a$，$\\cfrac{1}{3}=(\\cfrac{2}{3})^b$，\n\n则$a=log_{\\frac{1}{3}}\\frac{2}{3}$，$b=log_{\\frac{2}{3}}\\frac{1}{3}$，显然有$ab=1$，则$a=\\cfrac{1}{b}$\n\n故$a-\\cfrac{1}{b}=0$，故选$A$。\n\n\n\n$A.(-1,0)$ $B.(-\\cfrac{1}{3},1)$ $C.(0,1)$ $D.(-\\infty,0)\\cup(1,+\\infty)$
\n\n解析： 函数 $y=f(x)=x^{\\frac{2}{3}}$，偶函数 ，故原不等式等价于 $f(|x-1|)>f(|3x+1|)$，\n\n又函数 $y=f(x)=x^{\\frac{2}{3}}$在 $[0,+\\infty)$上单调递增，故有 $|x-1|>|3x+1|$，\n\n两边平方得到， $|x-1|^2>|3x+1|^2$，解得，$x\\in (-1,0)$，故选 $A$ .\n",
"BlogId": 294450,
"Description": "幂函数习题",
"DateUpdated": "2025-09-17T08:57:00",
"IsMarkdown": true,
"EntryName": null,
"CreatedTime": "2017-10-27T20:52:54.96",
"IsActive": true,
"AutoDesc": "前言 一般地，形如\\(f(x)=x^{\\alpha}\\)(\\(\\alpha\\in R\\))的函数称为幂函数，其中\\(x\\)为自变量，\\(\\alpha\\)为常数，既然是形式定义，那么当题目告诉我们，函数\\(h(x)=(m^2-2m+2)x^m\\)为幂函数，则\\(m^2-2m+2=1\\)，解得\\(m=1",
"AccessPermission": "Anonymous"
},
{
"Id": 7745266,
"Title": "函数的凹凸性",
"DateAdded": "2017-10-27T21:27:00",
"SourceUrl": null,
"PostType": "BlogPost",
"Body": "## 前言\n\n函数的凹凸性是函数的性质之一，其主要是为了刻画函数的单调性中增长率的不同变化情形而引入的，有了它的加盟，我们对函数的单调性就能描述的更准确，更细腻。\n\n## 函数凹凸性\n\n* 在高中阶段，有的题目中会涉及到函数的凹凸性，简单做个介绍。如图所示，函数$y=f(x)$就是上凸函数的图像例子。\n\n\n\n* 那么高中阶段怎么定义函数的凹凸性呢？\n\n\n\n如上图中的函数$f(x)$，在区间$D$上，如果对任意的$x_1$，$x_2$，从形上直观的看，会发现其图像是向上凸起的，从函数值的角度来总结描述会发现，其总满足$f(\\cfrac{x_1+x_2}{2})>\\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，那么就说函数在区间$D$上是上凸函数；\n\n\n\n同理，如上图中的函数$f(x)$，在区间$D$上，如果对任意的$x_1$，$x_2$，从形上直观的看，会发现其图像是向下凹陷的，从函数值的角度来总结描述会发现，其总满足$f(\\cfrac{x_1+x_2}{2})<\\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，那么就说函数在区间$D$上是下凹函数；\n\n## 数学语言\n\n注意，通过上述概念和图像，需要我们抽象出其数学符号语言和其对应的图形语言；\n\n## 已学检索\n\n我们高中学过的上凸函数如$f(x)=lnx$，$f(x)=\\sqrt{x-1}$，再比如函数$f(x)=-x^2$等；下凹函数如$f(x)=x^2$，$y=2^x$等，还有一部分上凸一部分下凹的函数如$f(x)=x^3$等。\n\n* 函数的凹凸性反应了函数图像变化的一种特点，它并不能直接反应单调性。\n\n函数单调递增或递减的五种代表形式，主要依据函数的切线的变化情况来确定；\n\n
增长率逐渐增大型：如函数$y=m(x)$；
增长率逐渐减小型：如函数$y=n(x)$；
\n\n
增长率恒定不变型：如函数$y=f(x)$；
增长率先慢后快型：如函数$y=g(x)$；
\n\n
增长率先快后慢型：如函数$y=h(x)$；
\n\n\n\n* 函数的导数与函数的凹凸性：\n\n函数$y=f(x)$在区间$[a，b]$满足$f'(x)>0$，则函数在区间$[a，b]$上单调递增；\n\n满足$f'(x)<0$，则函数在区间$[a，b]$上单调递减。\n\n若$f''(x)>0$，则函数$f(x)$为凹函数；若$f''(x)<0$，则函数$f(x)$为凸函数。\n\n引例，如函数$y=f(x)=x^3$，$f'(x)=3x^2\\ge 0$，故函数$f(x)=x^3$在$(-\\infty，+\\infty)$上单调递增，\n\n$f''(x)=6x$，当$x>0$时，$f''(x)>0$，当$x<0$时，$f''(x)<0$，\n\n故函数$f(x)=x^3$，在区间$(0，+\\infty)$上为凹函数，在区间$(-\\infty，0)$上为凸函数。\n\n## 凹凸性应用：\n\n
![](\"https://images2018.cnblogs.com/blog/992978/201805/992978-20180519100538315-1234476921.png\")
\n\n当杯中水的高度$h$沿着上凸形曲线$OA$增长时，由于上凸形曲段$OA$的斜率是由大到小变化的，故容器必然会是上大下小形的，\n\n当杯中水的高度$h$沿着下凹形曲线$OA$增长时，由于下凹形曲线$OA$的斜率是由小到大变化的，故容器必然会是下大上小形的，\n\n\n\n解法:one:：由$f(a)=f(b)$，即$|1-\\cfrac{1}{a}|=|1-\\cfrac{1}{b}|$，结合$f(x)$的图象可知，$\\cfrac{1}{2}\n\n## 典例剖析\n\n\n\n\n\n\n